Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Statistica. Antonio Azzollini
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1 Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Statistica Antonio Azzollini Anno accademico 2017/2018
2 Le medie La mediana La mediana M di un insieme di dati (ordinato) è il suo valore centrale È una statistica robusta perché non risente di eventuali valori anomali. Esempio. L età di un campione di 5 studenti è: 21,25 19, 20, 22. Campione ordinato: 19, 20, 21, 22, 25. La mediana è M = 21
3 Le medie La mediana Esempio. L altezza in centimetri di 4 giocatori di basket è: 186, 189, 190, 185. La mediana è 185, 186,?, 189, 190. Una possibile scelta è porre M = = 187,5 Più in generale
4 Le medie La mediana x 1, x 2,, x n rappresenta l insieme di dati, il campione casuale deve x 1 essere ordinato: ( ) x ( 2)! x ( n). ( j) di un elemento x i appartenente ad un campione indica che Il rango questo occupa la j -esima posizione quando il campione è ordinato. Poi si determina il rango per la mediana: r = n +1. ( ) 0,5.
5 Le medie La mediana x 1, x 2,, x n rappresenta l insieme di dati, il campione casuale deve x 1 essere ordinato: ( ) x ( 2)! x ( n). ( j) di un elemento x i appartenente ad un campione indica che Il rango questo occupa la j -esima posizione quando il campione è ordinato. Poi si determina il rango per la mediana: r = n +1. ( ) 0,5 Se n è dispari il rango sarà un numero intero e si pone M = x ( r)..
6 Le medie La mediana x 1, x 2,, x n rappresenta l insieme di dati, il campione casuale deve x 1 essere ordinato: ( ) x ( 2)! x ( n). ( j) di un elemento x i appartenente ad un campione indica che Il rango questo occupa la j -esima posizione quando il campione è ordinato. Poi si determina il rango per la mediana: r = n +1. ( ) 0,5 Se n è dispari il rango sarà un numero intero e si pone M = x ( r) Se n è pari il rango è n 2 + 0,5 e si pone..
7 Le medie La mediana x 1, x 2,, x n rappresenta l insieme di dati, il campione casuale deve x 1 essere ordinato: ( ) x ( 2)! x ( n). ( j) di un elemento x i appartenente ad un campione indica che Il rango questo occupa la j -esima posizione quando il campione è ordinato. Poi si determina il rango per la mediana: r = n +1. ( ) 0,5 Se n è dispari il rango sarà un numero intero e si pone M = x ( r) Se n è pari il rango è n 2 + 0,5 e si pone.. M = x n x n 2 0,5. Così facendo ritroviamo il secondo esempio: 185;186;187,5;189;190
8 Le medie La mediana per distribuzioni di frequenze #Stanze #Appartamenti Frequenze cumulate Il rango è r = ( n +1) 0,5 = = 3.175,5.
9 Le medie La mediana per distribuzioni di frequenze #Stanze #Appartamenti Frequenze cumulate Il rango è r = ( n +1) 0,5 = = 3.175, ,1,...,1 2,2,...,2 3,3,...,3 4,4,...,4 300 volte 500 volte 2000 volte 3000 volte L elemento di posizione è 4, come pure l elemento di posizione Pertanto possiamo porre M = 4.
10 Le medie La moda È l elemento che compare più spesso nel campione. Colore dei capelli N di persone Neri 10 Moda #Stanze #Appartamenti Castani Rossi 1 Biondi 5 Moda Totale
11 Le medie La moda Una distribuzione si dice unimodale se ammette un solo valore modale, bimodale se ne ammette due (ossia se esistono due valori che compaiono entrambi con la frequenza massima), trimodale se ne ammette tre e multimodale se ne ammette più di tre , ,5 0 A B C D E 0 A B C D E Unimodale Bimodale
12 Le medie La moda Quando si ha a che fare con classi di modalità, la moda è il punto medio della classe con frequenza più elevata. Peso in grammi Neonati In questo caso il valore della moda è
13 Poligono di frequenza L area sottesa dall istogramma delle frequenze relative (e dal poligono delle frequenze) è uguale a 1. 0,35 0,263 0,175 0,088 0 A B C D E F
14 Simmetria Un poligono di frequenza simmetrico ha questa forma: moda = media = mediana coda sinistra coda destra
15 Simmetria Un poligono di frequenza simmetrico ha questa forma: moda = media = mediana coda sinistra coda destra Un poligono di frequenza è asimmetrico quando ha una di queste forme: moda mediana media coda destra coda sinistra
16 Simmetria Possibile indice: media mediana? Modalità Frequenza Moda = 7 Media = Modalità Frequenza Moda = 1 Media =
17 Simmetria r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15
18 Simmetria Modalità Frequenza Frequenza cumulata mediana r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15 x 14 = x 15 = 5 M = 5
19 Simmetria Modalità Frequenza Frequenza cumulata mediana r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15 x 14 = x 15 = 5 M = 5 r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15
20 Simmetria Modalità Frequenza Frequenza cumulata r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 mediana La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15 x 14 = x 15 = 3 M = 3 r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15 x 14 = x 15 = 5 M = 5 mediana Modalità Frequenza Frequenza cumulata
21 Simmetria Modalità Frequenza Frequenza cumulata r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 mediana La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15 x 14 = x 15 = 3 M = 3 r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15 x 14 = x 15 = 5 M = 5 mediana Modalità Frequenza Frequenza cumulata In entrambi i casi: media - mediana =0!
22 Simmetria Introduciamo come indice di asimmetria la quantità A così definita Asimmetria: A = ( max M ) ( M min) Dove max individua il valore massimo della modalità e min quello minimo
23 Simmetria Introduciamo come indice di asimmetria la quantità A così definita Asimmetria: A = ( max M ) ( M min) Dove max individua il valore massimo della modalità e min quello minimo Modalità Frequenza Frequenza cumulata ( ) ( 5 1) = 2 A = 7 5 asimmetria negativa
24 Simmetria Introduciamo come indice di asimmetria la quantità A così definita Modalità Frequenza Frequenza cumulata Asimmetria: A = ( max M ) ( M min) Dove max individua il valore massimo della modalità e min quello minimo ( ) ( 3 1) = 2 A = 7 3 asimmetria positiva ( ) ( 5 1) = 2 A = 7 5 asimmetria negativa Modalità Frequenza Frequenza cumulata
25 Quartili Il primo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 25% dei dati. Il primo quartile può appartenere al campione casuale oppure no.
26 Quartili Il primo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 25% dei dati. Il primo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Mostriamo con un esempio come si determina Esempio. L età per un campione di 5 studenti è 21,25,19,20,22 1 passo: Il campione va ordinato: 19,20,21,22,25
27 Quartili Il primo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 25% dei dati. Il primo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Mostriamo con un esempio come si determina Esempio. L età per un campione di 5 studenti è 1 passo: Il campione va ordinato: 21,25,19,20,22 19,20,21,22,25 2 passo: Determinare il rango (la posizione) per il primo quartile: (n +1) 0,25 = 1,5. Dunque il primo quartile posizione 2. Q1 si colloca fra l elemento di posizione 1 e quello
28 Quartili Il primo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 25% dei dati. Il primo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Mostriamo con un esempio come si determina Esempio. L età per un campione di 5 studenti è 1 passo: Il campione va ordinato: 21,25,19,20,22 19,20,21,22,25 2 passo: Determinare il rango (la posizione) per il primo quartile: (n +1) 0,25 = 1,5. Dunque il primo quartile posizione 2. Q1 si colloca fra l elemento di posizione 1 e quello I decimali nel numero trovato mi servono per stabilire l'esatto valore del primo quartile come stabilito nel...
29 Quartili Il primo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 25% dei dati. Il primo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Mostriamo con un esempio come si determina Esempio. L età per un campione di 5 studenti è 1 passo: Il campione va ordinato: 21,25,19,20,22 19,20,21,22,25 2 passo: Determinare il rango (la posizione) per il primo quartile: (n +1) 0,25 = 1,5. Dunque il primo quartile posizione 2. Q1 si colloca fra l elemento di posizione 1 e quello I decimali nel numero trovato mi servono per stabilire l'esatto valore del primo quartile come stabilito nel... 1,5-1 3 passo: 19,Q1,20,21,22,25 Q1 = 19 + ( ) 0,5 = 19,5
30 Quartili Il primo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 25% dei dati. Il primo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Vediamo un altro esempio.
31 Quartili Il primo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 25% dei dati. Il primo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Vediamo un altro esempio. Esempio. L altezza di 4 giocatori di basket è 186,189,190,185 Determinare il rango per il primo quartile: ( n +1) 0,25 = 1,25 In questo caso il primo quartile è 185,Q1,186,189,190 Q1 = ( ) 0,25 = 185,25
32 Quartili Il terzo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 75% dei dati. Il terzo quartile può appartenere al campione casuale oppure no.
33 Quartili Il terzo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 75% dei dati. Il terzo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Esempio. L età per un campione di 5 studenti è Il campione va ordinato: 21,25,19,20,22 19,20,21,22,25 ( ) 0,75 = 4,5 Determinare il rango per il terzo quartile: n +1 Il terzo quartile Q3 si colloca fra l elemento di posizione 4 e quello di posizione 5 19,20,21,22,Q3,25. Q3 = ( ) 0,5 = 23,5.
34 Quartili Il terzo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 75% dei dati. Il terzo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Esempio. L età per un campione di 5 studenti è Il campione va ordinato: 21,25,19,20,22 19,20,21,22,25 ( ) 0,75 = 4,5 Determinare il rango per il terzo quartile: n +1 Il terzo quartile Q3 si colloca fra l elemento di posizione 4 e quello di posizione 5 19,20,21,22,Q3,25. Q3 = ( ) 0,5 = 23,5. Esempio. L altezza di 4 giocatori di basket è 186,189,190,185. Determinare il rango per il terzo quartile: n +1 ( ) 0,75 = 3,75 In questo caso il terzo quartile è 185,186,189,Q3,190 Q3 = ( ) 0,75 = 189,75.
35 Box-plot
36 Box-plot Il Box-plot (o diagramma a scatola e baffi) è un diagramma che fornisce una rappresentazione grafica della distribuzione dei dati, evidenziando dove cade la maggioranza dei valori, e di quei valori che differiscono di parecchio dalla norma, cosiddetti dati anomali.
37 Box-plot Il Box-plot (o diagramma a scatola e baffi) è un diagramma che fornisce una rappresentazione grafica della distribuzione dei dati, evidenziando dove cade la maggioranza dei valori, e di quei valori che differiscono di parecchio dalla norma, cosiddetti dati anomali. I capisaldi nella rappresentazione di un box-plot sono
38 Box-plot Il Box-plot (o diagramma a scatola e baffi) è un diagramma che fornisce una rappresentazione grafica della distribuzione dei dati, evidenziando dove cade la maggioranza dei valori, e di quei valori che differiscono di parecchio dalla norma, cosiddetti dati anomali. I capisaldi nella rappresentazione di un box-plot sono x 1, x 2,, x n Q0 = min( ) Q1 = 1 quartile Q2 = mediana o 2 quartile Q3 = 3 quartile; Q4 = max( x, x,, x 1 2 n ) IQR = Q3 - Q1 = campo di variazione interquartile
39 Box-plot Il Box-plot (o diagramma a scatola e baffi) è un diagramma che fornisce una rappresentazione grafica della distribuzione dei dati, evidenziando dove cade la maggioranza dei valori, e di quei valori che differiscono di parecchio dalla norma, cosiddetti dati anomali. I capisaldi nella rappresentazione di un box-plot sono x 1, x 2,, x n Q0 = min( ) Q1 = 1 quartile Q2 = mediana o 2 quartile Q3 = 3 quartile; Q4 = max( x, x,, x 1 2 n ) IQR = Q3 - Q1 = campo di variazione interquartile Introduciamo infine il numero IQR = Q3 - Q1 = campo di variazione interquartile.
40 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8.
41 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Primo quartile: ( ) 0,25 = 7,75 Si colloca fra le posizioni 7 e 8 e ed è pari a Il suo valore è fra 14, , ,2 ( ) 0,75 = 14,8.
42 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Primo quartile: ( ) 0,25 = 7,75 Si colloca fra le posizioni 7 e 8 e ed è pari a Il suo valore è fra 14, , ,2 Mediana: ( ) 0,5 = 15,5 Si colloca fra le posizioni 15 e 16 Punto medio fra 18,3 e 18,3 ossia 18,3. ( ) 0,75 = 14,8.
43 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Primo quartile: ( ) 0,25 = 7,75 Si colloca fra le posizioni 7 e 8 e ed è pari a Il suo valore è fra 14, , ,2 Mediana: ( ) 0,5 = 15,5 Si colloca fra le posizioni 15 e 16 Punto medio fra 18,3 e 18,3 ossia 18,3. ( ) 0,75 = 14,8. Terzo quartile: ( ) 0,75 = 23,25 Si colloca fra le posizioni 23 e 24 Il suo valore è fra 21, 4e 23 ed è pari a. ( ) 0,25 = 21,8 21, ,4
44 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Primo quartile: ( ) 0,25 = 7,75 Si colloca fra le posizioni 7 e 8 e ed è pari a Il suo valore è fra 14, , ,2 Mediana: ( ) 0,5 = 15,5 Si colloca fra le posizioni 15 e 16 Punto medio fra 18,3 e 18,3 ossia 18,3. ( ) 0,75 = 14,8. Terzo quartile: ( ) 0,75 = 23,25 Si colloca fra le posizioni 23 e 24 Il suo valore è fra 21, 4e 23 ed è pari a. ( ) 0,25 = 21,8 21, , Box plot ore di studio
45 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Primo quartile: ( ) 0,25 = 7,75 Si colloca fra le posizioni 7 e 8 e ed è pari a Il suo valore è fra 14, , ,2 Mediana: ( ) 0,5 = 15,5 Si colloca fra le posizioni 15 e 16 Punto medio fra 18,3 e 18,3 ossia 18,3. ( ) 0,75 = 14,8. Terzo quartile: ( ) 0,75 = 23,25 Si colloca fra le posizioni 23 e 24 Il suo valore è fra 21, 4e 23 ed è pari a. ( ) 0,25 = 21,8 21, , Q1 10 Box plot ore di studio
46 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Primo quartile: ( ) 0,25 = 7,75 Si colloca fra le posizioni 7 e 8 e ed è pari a Il suo valore è fra 14, , ,2 ( ) 0,75 = 14,8. 30 Box plot ore di studio Mediana: ( ) 0,5 = 15,5 Si colloca fra le posizioni 15 e 16 Punto medio fra 18,3 e 18,3 ossia 18,3. Terzo quartile: ( ) 0,75 = 23,25 Si colloca fra le posizioni 23 e 24 Il suo valore è fra 21, 4e 23 ed è pari a. ( ) 0,25 = 21,8 21, , Q2
47 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Primo quartile: ( ) 0,25 = 7,75 Si colloca fra le posizioni 7 e 8 e ed è pari a Il suo valore è fra 14, , ,2 ( ) 0,75 = 14,8. 30 Box plot ore di studio Mediana: ( ) 0,5 = 15,5 Si colloca fra le posizioni 15 e 16 Punto medio fra 18,3 e 18,3 ossia 18,3. Terzo quartile: ( ) 0,75 = 23,25 Si colloca fra le posizioni 23 e 24 Il suo valore è fra 21, 4e 23 ed è pari a. ( ) 0,25 = 21,8 21, , Q3
48 Dopo aver disegnato la "scatola" ora disegnamo i "baffi" La lunghezza di ciascun baffo "non supera" il valore convenzionale 1,5 ( Q3 Q1) Q3 Q1 = 7 quindi 1,5 7 = 10,5 Si confronta il valore del minimo con il valore Q1 10,5 = 14,6 10,5 = 4,1 e se ne prende il più grande. Poiché min = 10,3 > 4,1 allora il baffo inferiore è collocato in corrispondenza del minimo. Box-plot Box plot ore di studio
49 Box-plot Dopo aver disegnato la "scatola" ora disegnamo i "baffi" La lunghezza di ciascun baffo "non supera" il valore convenzionale 1,5 ( Q3 Q1) Q3 Q1 = 7 quindi 1,5 7 = 10,5 Box plot ore di studio Si confronta il valore del massimo con il valore 15 Q3+10,5 = 22,6 +10,5 = 33,1 e se ne prende il più piccolo. 10 Poiché max = 33,8 > 33,1 allora il baffo superiore è collocato in corrispondenza di 33,1.
50 Box-plot Un valore del campione casuale troppo distante dal resto del campione casuale si dice outlier o valore anomalo. Più precisamente un outlier è un dato che si trova al di sopra del baffo superiore o al di sotto del baffo inferiore del box-plot Box plot ore di studio 30 Poiché max = 33,8 > 33,1 allora33,8 è un outlier. Esso si disegna con un punto
51 Box-plot Dataset ore di studio 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Box plot ore di studio
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