Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Statistica. Antonio Azzollini

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1 Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Statistica Antonio Azzollini Anno accademico 2016/2017

2 Le medie Le medie si applicano ai caratteri quantitativi, sia intervallari che razionali. Esse sono misure sintetiche che consentono il passaggio da una pluralità di informazioni ad una sola modalità. Fra tutti i tipi di medie si distinguono: medie lasche o di posizione determinate in base alla frequenza o alla posizione occupata nella graduatoria delle osservazioni individuali. (Esempi: Mediana, Quartili, Moda) medie analitiche calcolate con operazioni algebriche sui valori del carattere (Esempi: Media aritmetica, media geometrica, media armonica).

3 Le medie La media aritmetica Essa si applica solo ai caratteri quantitativi. Stabilisce l indice centrale dei dati: si calcola dalla somma di valori numerici presi in considerazione diviso la loro numerosità. La media aritmetica insieme di una distribuzione statistica { } x 1, x 2,, xn n di un carattere quantitativo considerato su una popolazione è data dalla seguente formula ( ) = 1 Nn µ = 1 n x 1 + x 2 +!+ x n N N Nn i=1 x i Per la media aritmetica si usa la notazione della popolazione. X quando è riferita ad un campione

4 Le medie La media aritmetica Osserviamo che: Per il suo calcolo vengono utilizzati tutti i valori. Un insieme di dati possiede una sola media aritmetica. La media aritmetica risente di eventuali valori anomali. Se ai dati viene aggiunta una costante, la media risulta traslata di quella costante.

5 Le medie La media aritmetica Osserviamo che: Per il suo calcolo vengono utilizzati tutti i valori. Un insieme di dati possiede una sola media aritmetica. La media aritmetica risente di eventuali valori anomali. Se ai dati viene aggiunta una costante, la media risulta traslata di quella costante.

6 Le medie La media aritmetica Osserviamo che: Per il suo calcolo vengono utilizzati tutti i valori. Un insieme di dati possiede una sola media aritmetica. La media aritmetica risente di eventuali valori anomali. Se ai dati viene aggiunta una costante, la media risulta traslata di quella costante.

7 Le medie La media aritmetica { } { } µ = 22 X = 1,2,3,4,5 X = 1,2,3,4,100 { } µ = µ = 3 X = 1,2,3,4,15 X = 1,2,3,4, { } µ = 202 La media aritmetica non è una statistica robusta!

8 Le medie La media aritmetica Osserviamo che: Per il suo calcolo vengono utilizzati tutti i valori. Un insieme di dati possiede una sola media aritmetica. La media aritmetica risente di eventuali valori anomali. Se ai dati viene aggiunta una costante, la media risulta traslata di quella costante.

9 Le medie La media aritmetica Esempio: per i dati (3,4,8) la media è 5 Esempio: aggiungendo il valore 2, i dati diventano (5,6,10) e la media è 5+2=7 Esempio: calcolando la somma delle differenze fra ciascun valore e la media si ha (3-5)+(4-5)+(8-5)=0

10 Le medie La media aritmetica Osserviamo che: Per il suo calcolo vengono utilizzati tutti i valori. Un insieme di dati possiede una sola media aritmetica. La media aritmetica risente di eventuali valori anomali. Se ai dati viene aggiunta una costante, la media risulta traslata di quella costante. La somma delle differenze fra ciascun valore osservato e la media è nulla (ossia la somma degli scarti è nulla) Nn ( x i - µ )=0 i=1

11 Le medie La media aritmetica Esempio: per i dati (3,4,8) la media è 5 Esempio: calcolando la somma delle differenze fra ciascun valore e la media si ha (3-5)+(4-5)+(8-5)=0

12 Le medie La media aritmetica In riferimento ad un carattere trasferibile, si dice ammontare del carattere la somma dei valori individuali (che quindi non varia al trasferirsi di una modalità da una unità individuale all'altra). La media aritmetica è quella costante che, sostituita a ciascun valore individuale della distribuzione del carattere. Infatti { } x 1, x 2,, x nn, lascia invariato l ammontare µ = 1 Nn Nn Nn x x i i i=1 1=1 = Nnµ A m m o n t a r e d e l l a distribuzione originale A m m o n t a r e d e l l a distribuzione di sole µ

13 Le medie La media aritmetica Supponendo che un dato x i si ripeta con frequenza Nn i {x 1, x 2,, x k 1 k N Nn j =,, k j=1 N La media aritmetica si ottiene attraverso la formula µ = 1 n N k i=1 n i x i N

14 Le medie La media aritmetica Popolazione in esame: 88 studenti iscritti al corso di Economia Carattere osservato: voto conseguito all esame di statistica X = 29,29,24,20,22,28,19,19,21,26,20,24,21,19,25, 25,23,28,22,29,26,23,28,30,20,27,22,27,20,24, 25,18,26,29,29,23,23,24,22,25,27,26,23,18,19, 26,22,25,20,26,22,24,20,22,21,29,30,19,24,24, 26,26,29,30,29,25,28,26,22,27,27,29,26,26,22, 27,24,29,30,20,24,24,21,18,22,28,23,21 µ = ! = 24,32

15 Le medie Media aritmetica per una distribuzione di frequenze x i n i x X = x i 1 i Nn i n i Totale 88 2,140 La media aritmetica µ = T n = 1 n { } con (con gli elementi ripetuti) T = Nn x i i=1 k X = x n n volte, n = n j N j N j N j=i N (con N k elementi distinti) k j=i N=88 Nn j x j = = 24,32

16 Le medie La media aritmetica per classi di modalità Ricordate la distribuzione statistica relativa al numero di ore settimanali trascorse a studiare? 15,0; 23,7; 19,7; 15,4; 18,3; 23,0; 14,2; 20,8; 13,5; 20,7; 17,4; 18,6; 12,9; 20,3; 13,7; 21,4; 18,3; 29,8; 17,1; 18,9; 10,3; 26,1; 15,7; 14,0; 17,8; 33,8; 23,2; 12,9; 27,1; 16,6.

17 Le medie La media aritmetica per classi di modalità Ricordate la distribuzione statistica relativa al numero di ore settimanali trascorse a studiare? 15,0; 23,7; 19,7; 15,4; 18,3; 23,0; 14,2; 20,8; 13,5; 20,7; 17,4; 18,6; 12,9; 20,3; 13,7; 21,4; 18,3; 29,8; 17,1; 18,9; 10,3; 26,1; 15,7; 14,0; 17,8; 33,8; 23,2; 12,9; 27,1; 16,6. La media è µ = (15,0+23,7+19, ,1+16,6)/30=19

18 Le medie La media aritmetica per classi di modalità Ricordate la distribuzione statistica relativa al numero di ore settimanali trascorse a studiare? 15,0; 23,7; 19,7; 15,4; 18,3; 23,0; 14,2; 20,8; 13,5; 20,7; 17,4; 18,6; 12,9; 20,3; 13,7; 21,4; 18,3; 29,8; 17,1; 18,9; 10,3; 26,1; 15,7; 14,0; 17,8; 33,8; 23,2; 12,9; 27,1; 16,6. La media è µ = (15,0+23,7+19, ,1+16,6)/30=19 Come calcoleremmo la media se i dati ci fossero forniti attraverso una distribuzione per classi di frequenza?

19 Le medie La media aritmetica per classi di modalità µ = centri delle classi frequenze assolute taglia Prima scuola Classi [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34] Centri Classi Frequ enze ((12x5)+(16x9)+(20x9)+...+(32x1) ) + ( 16,5 +!+ 32,5 µ = 12, = 119,1

20 Le medie La media aritmetica per classi di modalità µ = centri delle classi frequenze assolute taglia Prima scuola Classi [10;14) [14;18) [18;22) [22;26) [26;30) [30;34] Centri Classi Frequ enze ((12x5)+(16x9)+(20x9)+...+(32x1) ) + ( 16,5 +!+ 32,5 µ = 12, = 119,1 Osserviamo che la media è pressappoco la stessa: è un caso?

21 Le medie La media pesata La media pesata (o ponderata) di un insieme di numeri a ciascuno dei quali sia assegnato un coefficiente (peso) è data dalla seguente formula: π = numeri pesi pesi Materia CFU Voto Materia CFU Voto Materia CFU voto Matematica generale Voto medio di uno studente alla fine del primo anno del corso di economia 6 21 Diritto privato Economia aziendale Economia politica Economia e Gestione delle imprese Geografia economica 6 27 π = 1 52 ( ) = 24,96 µ = 1 6 ( ) = 24,83

22 Le medie La media pesata Rientra nel caso della media pesata la media di una distribuzione di frequenze del tipo: #Stanze #Appartamenti , , L a f r e q u e n z a assoluta con la quale si presenta ciascuna modalità p u ò e s s e r e interpretata come peso. π = ( ! ) = 3,58 µ = 1 7 ( ) = 4

23 Le medie La media geometrica La media geometrica di un insieme di numeri è la radice n-esima del loro prodotto: σ = n x 1 x 2!x n Viene utilizzata quando si vuole analizzare il variare di un fenomeno nel tempo, come ad esempio il tasso di variazione dei prezzi o i tassi di rendimento di capitali. La media geometrica è tale che σ σ! σ = x 1 x 2! x n n volte

24 Le medie La media geometrica Esempio. Un impiegato ha ricevuto un 5% di aumento di stipendio nel 2014 e un 15% di aumento nell anno successivo. Quant è la percentuale di crescita media? 5% di aumento da 100 a % di aumento da 100 a 115 parametri: 1,05 e 1,15 σ 2 = 1,15 1,05 = 1,09886 L aumento medio è del 9,89% L impiegato che all inizio del 2014 aveva fine del 2015 ha 1,05 1,15 = 1,21 1, alla fine del 2014 ha1,05 ed alla σ σ = 1,05 1,15

25 Le medie La media armonica La media armonica di un insieme di numeri è l inverso della media aritmetica degli inversi. Serve per esempio a ricavare un valore centrale sulla velocità per dati che si riferiscono ad intervalli temporali diversi. δ = n n i=1 1 x i. La media armonica è tale che 1 δ + 1 δ +!+ 1 δ = 1 x x 2 +!+ 1 x n

26 Le medie La media armonica Esempio. Si determini la velocità media di un quartetto di staffetta 4X100 sapendo che le veloctà medie individuali osservate sono, in m/s V1=9,60, V2=10,05, V3=10,00, V4=10,10.

27 Le medie La media armonica Esempio. Si determini la velocità media di un quartetto di staffetta 4X100 sapendo che le veloctà medie individuali osservate sono, in m/s V1=9,60, V2=10,05, V3=10,00, V4=10,10. Per mostrare che la velocità media si calcola attraverso la media armonica, si osservi che VM = spazio totale/tempo totale.

28 Le medie La media armonica Esempio. Si determini la velocità media di un quartetto di staffetta 4X100 sapendo che le veloctà medie individuali osservate sono, in m/s V1=9,60, V2=10,05, V3=10,00, V4=10,10. Per mostrare che la velocità media si calcola attraverso la media armonica, si osservi che VM = spazio totale/tempo totale. Lo spazio totale è 4x100=400, mentre i tempi sono T1=100/V1, T2=100/V2, T3=100/V3, T4=100/V4

29 Le medie La media armonica Esempio. Si determini la velocità media di un quartetto di staffetta 4X100 sapendo che le veloctà medie individuali osservate sono, in m/s V1=9,60, V2=10,05, V3=10,00, V4=10,10. Per mostrare che la velocità media si calcola attraverso la media armonica, si osservi che VM = spazio totale/tempo totale. Lo spazio totale è 4x100=400, mentre i tempi sono T1=100/V1, T2=100/V2, T3=100/V3, T4=100/V4 Dunque VM = numeri 4x100 pesi T1+T2+T3 pesi +T4

30 Le medie La media armonica Esempio. Si determini la velocità media di un quartetto di staffetta 4X100 sapendo che le veloctà medie individuali osservate sono, in m/s V1=9,60, V2=10,05, V3=10,00, V4=10,10. Per mostrare che la velocità media si calcola attraverso la media armonica, si osservi che VM = spazio totale/tempo totale. Lo spazio totale è 4x100=400, mentre i tempi sono T1=100/V1, T2=100/V2, T3=100/V3, T4=100/V4 Dunque VM = numeri 4x100 pesi numeri 4x100 pesi pesi = T1+T2+T3 pesi +T4 T1+T2+T3 1 pesi r +T = si + V1 x 1 V2 x 2 V3 x 1 V4 x V1 x 1 V2 x V3 x 1 V4 x 2

31 Le medie La mediana La mediana M di un insieme di dati (ordinato) è il suo valore centrale È una statistica robusta perché non risente di eventuali valori anomali. Esempio. L età di un campione di 5 studenti è: 21,25 19, 20, 22. Campione ordinato: 19, 20, 21, 22, 25. La mediana è M = 21

32 Le medie La mediana Esempio. L altezza in centimetri di 4 giocatori di basket è: 186, 189, 190, 185. La mediana è 185, 186,?, 189, 190. Una possibile scelta è porre M = = 187,5 Più in generale

33 Le medie La mediana x 1, x 2,, x n rappresenta l insieme di dati, il campione casuale deve x 1 essere ordinato: ( ) x ( 2)! x ( n). ( j) di un elemento x i appartenente ad un campione indica che Il rango questo occupa la j -esima posizione quando il campione è ordinato. Poi si determina il rango per la mediana: r = n +1. ( ) 0,5...

34 Le medie La mediana x 1, x 2,, x n rappresenta l insieme di dati, il campione casuale deve x 1 essere ordinato: ( ) x ( 2)! x ( n). ( j) di un elemento x i appartenente ad un campione indica che Il rango questo occupa la j -esima posizione quando il campione è ordinato. Poi si determina il rango per la mediana: r = n +1. ( ) 0,5 Se n. è dispari il rango sarà un numero intero e si pone M = x ( r)..

35 Le medie La mediana x 1, x 2,, x n rappresenta l insieme di dati, il campione casuale deve x 1 essere ordinato: ( ) x ( 2)! x ( n). ( j) di un elemento x i appartenente ad un campione indica che Il rango questo occupa la j -esima posizione quando il campione è ordinato. Poi si determina il rango per la mediana: r = n +1. ( ) 0,5 Se n. è dispari il rango sarà un numero intero e si pone M = x ( r) Se n è pari il rango è n 2 + 0,5 e si pone

36 Le medie La mediana x 1, x 2,, x n rappresenta l insieme di dati, il campione casuale deve x 1 essere ordinato: ( ) x ( 2)! x ( n). ( j) di un elemento x i appartenente ad un campione indica che Il rango questo occupa la j -esima posizione quando il campione è ordinato. Poi si determina il rango per la mediana: r = n +1. ( ) 0,5 Se n. è dispari il rango sarà un numero intero e si pone M = x ( r) Se n è pari il rango è n 2 + 0,5 e si pone M = x n x n 2 0,5. Così facendo ritroviamo il secondo esempio: 185;186;187,5;189;190.

37 Le medie La mediana per distribuzioni di frequenze #Stanze #Appartamenti Frequenze cumulate ,000 2, ,000 5, , , ,350 Il rango è r = ( n +1) 0,5 = = 3.175,5

38 Le medie La mediana per distribuzioni di frequenze #Stanze #Appartamenti Frequenze cumulate ,000 2, ,000 5, , , ,350 Il rango è r = ( n +1) 0,5 = = 3.175, ,1,...,1 2,2,...,2 3,3,...,3 4,4,...,4 300 volte 500 volte 2000 volte 3000 volte L elemento di posizione è 4, come pure l elemento di posizione Pertanto possiamo porre M = 4.

39 Le medie La moda È l elemento che compare più spesso nel campione. Colore dei capelli N di persone Neri 10 Moda #Stanze #Appartamenti Castani Rossi 1 Biondi 5 Moda 3 2, , Totale

40 Le medie La moda Una distribuzione si dice unimodale se ammette un solo valore modale, bimodale se ne ammette due (ossia se esistono due valori che compaiono entrambi con la frequenza massima), trimodale se ne ammette tre e multimodale se ne ammette più di tre A B C D E 0 A B C D E Unimodale Bimodale

41 Le medie La moda Quando si ha a che fare con classi di modalità, la moda è il punto medio della classe con frequenza più elevata. Peso in grammi Neonati In questo caso il valore della moda è

42 Poligono di frequenza L area sottesa dall istogramma delle frequenze relative (e dal poligono delle frequenze) è uguale a A B C D E F

43 Simmetria Un poligono di frequenza simmetrico ha questa forma: moda = media = mediana coda sinistra coda destra

44 Simmetria Un poligono di frequenza simmetrico ha questa forma: moda = media = mediana coda sinistra coda destra Un poligono di frequenza è asimmetrico quando ha una di queste forme: moda mediana media coda destra coda sinistra

45 Simmetria Possibile indice: media mediana? Modalità Frequenza Moda = 7 Media = Modalità Frequenza Moda = 1 Media =

46 Simmetria r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15

47 Simmetria Modalità Frequenza Frequenza cumulata mediana r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15 x 14 = x 15 = 5 M = 5

48 Simmetria Modalità Frequenza Frequenza cumulata mediana r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15 x 14 = x 15 = 5 M = 5 r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15

49 Simmetria Modalità Frequenza Frequenza cumulata r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 mediana La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15 x 14 = x 15 = 3 M = 3 r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15 x 14 = x 15 = 5 M = 5 mediana Modalità Frequenza Frequenza cumulata

50 Simmetria Modalità Frequenza Frequenza cumulata r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 mediana La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15 x 14 = x 15 = 3 M = 3 r = ( n +1) 0,5 = 29 2 = 14,5 La mediana si trova fra l elemento di posizione 14 e quello di posizione 15 x 14 = x 15 = 5 M = 5 mediana Modalità Frequenza Frequenza cumulata In entrambi i casi: media - mediana =0!

51 Simmetria Introduciamo come indice di asimmetria la quantità A così definita Asimmetria: A = ( max M ) ( M min) Dove max individua il valore massimo della modalità e min quello minimo

52 Simmetria Introduciamo come indice di asimmetria la quantità A così definita Asimmetria: A = ( max M ) ( M min) Dove max individua il valore massimo della modalità e min quello minimo Modalità Frequenza Frequenza cumulata ( ) ( 5 1) = 2 A = 7 5 asimmetria negativa

53 Simmetria Introduciamo come indice di asimmetria la quantità A così definita Modalità Frequenza Frequenza cumulata Asimmetria: A = ( max M ) ( M min) Dove max individua il valore massimo della modalità e min quello minimo ( ) ( 3 1) = 2 A = 7 3 asimmetria positiva ( ) ( 5 1) = 2 A = 7 5 asimmetria negativa Modalità Frequenza Frequenza cumulata

54 Quartili Il primo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 25% dei dati. Il primo quartile può appartenere al campione casuale oppure no.

55 Quartili Il primo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 25% dei dati. Il primo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Mostriamo con un esempio come si determina Esempio. L età per un campione di 5 studenti è 21,25,19,20,22 1 passo: Il campione va ordinato: 19,20,21,22,25

56 Quartili Il primo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 25% dei dati. Il primo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Mostriamo con un esempio come si determina Esempio. L età per un campione di 5 studenti è 1 passo: Il campione va ordinato: 21,25,19,20,22 19,20,21,22,25 2 passo: Determinare il rango (la posizione) per il primo quartile: (n +1) 0,25 = 1,5. Dunque il primo quartile posizione 2. Q1 si colloca fra l elemento di posizione 1 e quello

57 Quartili Il primo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 25% dei dati. Il primo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Mostriamo con un esempio come si determina Esempio. L età per un campione di 5 studenti è 1 passo: Il campione va ordinato: 21,25,19,20,22 19,20,21,22,25 2 passo: Determinare il rango (la posizione) per il primo quartile: (n +1) 0,25 = 1,5. Dunque il primo quartile posizione 2. Q1 si colloca fra l elemento di posizione 1 e quello I decimali nel numero trovato mi servono per stabilire l'esatto valore del primo quartile come stabilito nel...

58 Quartili Il primo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 25% dei dati. Il primo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Mostriamo con un esempio come si determina Esempio. L età per un campione di 5 studenti è 1 passo: Il campione va ordinato: 21,25,19,20,22 19,20,21,22,25 2 passo: Determinare il rango (la posizione) per il primo quartile: (n +1) 0,25 = 1,5. Dunque il primo quartile posizione 2. Q1 si colloca fra l elemento di posizione 1 e quello I decimali nel numero trovato mi servono per stabilire l'esatto valore del primo quartile come stabilito nel... 1,5-1 3 passo: 19,Q1,20,21,22,25 Q1 = 19 + ( ) 0,5 = 19,5

59 Quartili Il primo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 25% dei dati. Il primo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Vediamo un altro esempio....

60 Quartili Il primo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 25% dei dati. Il primo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Vediamo un altro esempio.. Esempio. L altezza di 4 giocatori di basket è 186,189,190,185 Determinare il rango per il primo quartile: ( n +1) 0,25 = 1,25 In questo caso il primo quartile è 185,Q1,186,189,190 Q1 = ( ) 0,25 = 185,25...

61 Quartili Il terzo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 75% dei dati. Il terzo quartile può appartenere al campione casuale oppure no..

62 Quartili Il terzo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 75% dei dati. Il terzo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Esempio. L età per un campione di 5 studenti è Il campione va ordinato: 21,25,19,20,22. 19,20,21,22,25 ( ) 0,75 = 4,5 Determinare il rango per il terzo quartile: n +1 Il terzo quartile Q3 si colloca fra l elemento di posizione 4 e quello di posizione 5 19,20,21,22,Q3,25. Q3 = ( ) 0,5 = 23,5.

63 Quartili Il terzo quartile è quel valore che lascia a sinistra il 75% dei dati. Il terzo quartile può appartenere al campione casuale oppure no. Esempio. L età per un campione di 5 studenti è Il campione va ordinato: 21,25,19,20,22. 19,20,21,22,25 ( ) 0,75 = 4,5 Determinare il rango per il terzo quartile: n +1 Il terzo quartile Q3 si colloca fra l elemento di posizione 4 e quello di posizione 5 19,20,21,22,Q3,25. Q3 = ( ) 0,5 = 23,5. Esempio. L altezza di 4 giocatori di basket è 186,189,190,185. Determinare il rango per il terzo quartile: n +1 ( ) 0,75 = 3,75 In questo caso il terzo quartile è 185,186,189,Q3,190 Q3 = ( ) 0,75 = 189,75.

64 Box-plot

65 Box-plot Il Box-plot (o diagramma a scatola e baffi) è un diagramma che fornisce una rappresentazione grafica della distribuzione dei dati, evidenziando dove cade la maggioranza dei valori, e di quei valori che differiscono di parecchio dalla norma, cosiddetti dati anomali.

66 Box-plot Il Box-plot (o diagramma a scatola e baffi) è un diagramma che fornisce una rappresentazione grafica della distribuzione dei dati, evidenziando dove cade la maggioranza dei valori, e di quei valori che differiscono di parecchio dalla norma, cosiddetti dati anomali. I capisaldi nella rappresentazione di un box-plot sono

67 Box-plot Il Box-plot (o diagramma a scatola e baffi) è un diagramma che fornisce una rappresentazione grafica della distribuzione dei dati, evidenziando dove cade la maggioranza dei valori, e di quei valori che differiscono di parecchio dalla norma, cosiddetti dati anomali. I capisaldi nella rappresentazione di un box-plot sono x 1, x 2,, x n Q0 = min( ) Q1 = 1 quartile Q2 = mediana o 2 quartile Q3 = 3 quartile; Q4 = max( x, x,, x 1 2 n ) IQR = Q3 - Q1 = campo di variazione interquartile

68 Box-plot Il Box-plot (o diagramma a scatola e baffi) è un diagramma che fornisce una rappresentazione grafica della distribuzione dei dati, evidenziando dove cade la maggioranza dei valori, e di quei valori che differiscono di parecchio dalla norma, cosiddetti dati anomali. I capisaldi nella rappresentazione di un box-plot sono x 1, x 2,, x n Q0 = min( ) Q1 = 1 quartile Q2 = mediana o 2 quartile Q3 = 3 quartile; Q4 = max( x, x,, x 1 2 n ) IQR = Q3 - Q1 = campo di variazione interquartile Introduciamo infine il numero IQR = Q3 - Q1 = campo di variazione interquartile

69 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8.

70 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Primo quartile: ( ) 0,25 = 7,75 Si colloca fra le posizioni 7 e 8 e ed è pari a Il suo valore è fra 14, , ,2 ( ) 0,75 = 14,8.

71 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Primo quartile: ( ) 0,25 = 7,75 Si colloca fra le posizioni 7 e 8 e ed è pari a Il suo valore è fra 14, , ,2 Mediana: ( ) 0,5 = 15,5 Si colloca fra le posizioni 15 e 16 Punto medio fra 18,3 e 18,3 ossia 18,3. ( ) 0,75 = 14,8.

72 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Primo quartile: ( ) 0,25 = 7,75 Si colloca fra le posizioni 7 e 8 e ed è pari a Il suo valore è fra 14, , ,2 Mediana: ( ) 0,5 = 15,5 Si colloca fra le posizioni 15 e 16 Punto medio fra 18,3 e 18,3 ossia 18,3. ( ) 0,75 = 14,8. Terzo quartile: ( ) 0,75 = 23,25 Si colloca fra le posizioni 23 e 24 Il suo valore è fra 21, 4e 23 ed è pari a. ( ) 0,25 = 21,8 21, ,4

73 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Primo quartile: ( ) 0,25 = 7,75 Si colloca fra le posizioni 7 e 8 e ed è pari a Il suo valore è fra 14, , ,2 Mediana: ( ) 0,5 = 15,5 Si colloca fra le posizioni 15 e 16 Punto medio fra 18,3 e 18,3 ossia 18,3. ( ) 0,75 = 14,8. Terzo quartile: ( ) 0,75 = 23,25 Si colloca fra le posizioni 23 e 24 Il suo valore è fra 21, 4e 23 ed è pari a. ( ) 0,25 = 21,8 21, , Box plot ore di studio

74 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Primo quartile: ( ) 0,25 = 7,75 Si colloca fra le posizioni 7 e 8 e ed è pari a Il suo valore è fra 14, , ,2 Mediana: ( ) 0,5 = 15,5 Si colloca fra le posizioni 15 e 16 Punto medio fra 18,3 e 18,3 ossia 18,3. ( ) 0,75 = 14,8. Terzo quartile: ( ) 0,75 = 23,25 Si colloca fra le posizioni 23 e 24 Il suo valore è fra 21, 4e 23 ed è pari a. ( ) 0,25 = 21,8 21, , Q1 10 Box plot ore di studio

75 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Primo quartile: ( ) 0,25 = 7,75 Si colloca fra le posizioni 7 e 8 e ed è pari a Il suo valore è fra 14, , ,2 ( ) 0,75 = 14,8. 30 Box plot ore di studio Mediana: ( ) 0,5 = 15,5 Si colloca fra le posizioni 15 e 16 Punto medio fra 18,3 e 18,3 ossia 18,3. Terzo quartile: ( ) 0,75 = 23,25 Si colloca fra le posizioni 23 e 24 Il suo valore è fra 21, 4e 23 ed è pari a. ( ) 0,25 = 21,8 21, , Q2

76 Box-plot 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Primo quartile: ( ) 0,25 = 7,75 Si colloca fra le posizioni 7 e 8 e ed è pari a Il suo valore è fra 14, , ,2 ( ) 0,75 = 14,8. 30 Box plot ore di studio Mediana: ( ) 0,5 = 15,5 Si colloca fra le posizioni 15 e 16 Punto medio fra 18,3 e 18,3 ossia 18,3. Terzo quartile: ( ) 0,75 = 23,25 Si colloca fra le posizioni 23 e 24 Il suo valore è fra 21, 4e 23 ed è pari a. ( ) 0,25 = 21,8 21, , Q3

77 Dopo aver disegnato la "scatola" ora disegnamo i "baffi" La lunghezza di ciascun baffo "non supera" il valore convenzionale 1,5 ( Q3 Q1) Q3 Q1 = 7 quindi 1,5 7 = 10,5 Si confronta il valore del minimo con il valore Q1 10,5 = 14,6 10,5 = 4,1 e se ne prende il più grande. Poiché min = 10,3 > 4,1 allora il baffo inferiore è collocato in corrispondenza del minimo. Box-plot Box plot ore di studio

78 Box-plot Dopo aver disegnato la "scatola" ora disegnamo i "baffi" La lunghezza di ciascun baffo "non supera" il valore convenzionale 1,5 ( Q3 Q1) Q3 Q1 = 7 quindi 1,5 7 = 10,5 Box plot ore di studio Si confronta il valore del massimo con il valore 15 Q3+10,5 = 22,6 +10,5 = 33,1 e se ne prende il più piccolo. 10 Poiché max = 33,8 > 33,1 allora il baffo superiore è collocato in corrispondenza di 33,1.

79 Box-plot Un valore del campione casuale troppo distante dal resto del campione casuale si dice outlier o valore anomalo. Più precisamente un outlier è un dato che si trova al di sopra del baffo superiore o al di sotto del baffo inferiore del box-plot Box plot ore di studio 30 Poiché max = 33,8 > 33,1 allora33,8 è un outlier. Esso si disegna con un punto

80 Box-plot Dataset ore di studio 10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7; 16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3; 20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8. Box plot ore di studio