Materiale didattico per il corso di Statistica I Prima esercitazione: SOLUZIONI

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1 Materiale didattico per il corso di Statistica I Prima esercitazione: SOLUZIONI Claudia Furlan 1 Anno Accademico Ringrazio Carlo Gaetan e Nicola Sartori e Aldo Solari per il materiale, aggiunte e correzioni.

2 0.1 Istogrammi, distribuzioni di frequenze, misure di posizione Esercizio x i 19, 5 x i 360, 5 i x j 48 j1 2. ( ) 2 x i n 1 x 2 i + 2 x i x j n N + \ {1} ji+1 Per dimostrare che un certo asserto in cui compare un numero naturale n vale per qualunque n N + \ {1} si può sfruttare il principio di induzione nel seguente modo: si dimostra che vale per n 2 (x 1 + x 2 ) 2 (x 1 + x 2 )(x 1 + x 2 ) x x 1 x 2 + x 2 x 1 + x 2 2 x x x 1 x 2 si assume come ipotesi che l asserto valga per un generico n 1, i.e. ( n 1 ) 2 x i n 1 n 2 x 2 i + 2 n 1 ji+1 x i x j e da tale assunzione si dimostra che vale anche per n, i.e. 1

3 ( ) 2 x i [( n 1 ) ] 2 x i + x n ( n 1 ) 2 ( n 1 ) x i + x 2 n + 2x n x i n 1 n 2 x 2 i + 2 n 1 ji+1 ( n 2 n 1 x 2 i + 2 x i ( n 2 x 2 i + 2 x i n 2 x 2 i + 2 n 1 x 2 i + 2 ji+1 ji+1 ( n 2 ) x i x j + x 2 n + 2x n x i + x n 1 ji+1 ji+1 ) n 2 x j + 2 x i x n + 2x n 1 x n x j ) + 2x n 1 x n x i x j + 2x n 1 x n x i x j Alternativamente, la formula si poteva dimostrare direttamente utilizzando le proprietà delle sommatorie ( ( x i ) 2 x i ) ( x i x j j1 x i x j + j i i 1 x i x j + i2 j1 n 1 x 2 i + 2 x i ) n 1 x 2 i ji+1 ji+1 x i x j x i x j + x 2 i 3. f(a) (x i a) 2, a R La funzione f(a) è una somma di termini quadratici in a. Quindi la sua derivata è la somma (la derivata di una somma di funzioni è la somma delle 2

4 derivate delle funzioni) di derivate di quadrati: f (a) d da f(a) d da (x i a) 2 d da (x i a) 2 2(x i a) 2 (x i a) Dal punto di vista analitico, si può ottenere che a è l unico valore n che rende minima la somma degli scarti al quadrato. Abbiamo infatti derivato rispetto ad a la funzione f(a), e uguagliando tale derivata a zero 2 f (a) 2 x i + 2na 0 a P n x i (x i a) 0 n x i si ha a x. Per tale valore, la derivata seconda di f(a) n f (a) 2n è sempre positiva per cui la soluzione trovata è certamente un minimo per la funzione. Dal punto di vista geometrico, si può constatare che la funzione f(a) (x i a) 2 na 2 2a x i + (x i ) 2 è una parabola con la concavità verso l alto (perchè il coefficiente di a 2 è n > 0) il cui minimo si verifica in corrispondenza del vertice, che possiede ascissa ( 2 n x i) 2n Utilizzando i dati dell Esercizio 1.1 otteniamo ( x 3.8, f( x) 14.8) x x 1 3; x 2 1; x 3 4; x 4 6; x 5 5; 3

5 Figura 1: f(a) n (x i a) 2 f(a) a Esercizio 2 1. I programmi preferiti dalle studentesse di questo corso 2. L aver superato l esame di matematica 3. Il voto riportato all esame di matematica se non attribuiamo alla modalità 30 e lode un valore numerico (vedi esercizio 3.4) Esercizio 3 1. Unità statistica: Il singolo studente di quel corso unuiversitario che ha sostenuto quel particolare esame. Pop. rif.: L insieme di tutte le unità statistiche. 2. Voto, Anno di corso, Residenza, Dip. Sup., Frequentante. 3. Liceo, Ist. Tecn. Ist. Comm., Ist. Prof. 4. Rilevate: {18, 21, 28} Possibili: {18, 19,..., 30, 32} dove il 32 sta a indicare il 30 e lode: in questo modo la variabile Voto è di tipo numerica. Se, invece, consideriamo il 30 e lode come modalità Voto risulta essere una variabile categoriale e le modalità possibili diventano: {18, 19,..., 30, 30 e lode}. Esercizio 4 1. Essendo l ultima classe aperta (60 e oltre), si decide di chiuderla a 70 (l ultima osservazione è 65 e arbitrariamente si è deciso per la decina successiva), perchè nel 4

6 calcolo delle densità degli intervalli occorre conoscere l ampiezza di tutti gli intervalli. Nella tabella seguente vengono riportate: f i : le frequenze assolute p i f i /N: le frequenze relative (dove N i f i) (p i )% p i : le frequenze percentuali F i : le frequenze assolute cumulate P i : le frequenze relative cumulate δ i f i /a i dove a i è l ampiezza della classe di riferimento (alternativamente si possono calcolare con le frequenze relative δ i p i /a i : cambierà la scala del grafico ma non la forma). y i f i p i (p i )% F i P i δ i [19, 30) [30, 45) [45, 60) [60, 70) densita eta Figura 2: Istogramma, esercizio La funzione di ripartizione empirica la facciamo sui dati originari e non sui dati raggruppati (come svolto in aula): vedasi il relativo grafico 1.2. I dati ordinati sono: 21, 23, 26, 30, 32, 33, 34, 38, 40, 40, 41, 47, 47, 49, 50, 53, 55, 61, 65, 65. Gli intervalli si fissano attraverso le modalità osservate (valori distinti); si considera come x l inizio dell intervallo, si calcola il valore della funzione di ripartizione empirica in tale x e la si disegna costante in tutto l intervallo. Visto che la funzione di ripartizione empirica, calcolata in x, è il numero di valori inferiori o uguali a x / numero di osservazioni: 5

7 vale 0 per x < 21, perché non ci sono valori inferiori a 21; vale 1/20 per 21 x < 23, perché c è un solo valore minore o uguale a 21 (il 22 non si presenta, quindi ce n è uno solo anche minore o uguale a 22); vale 2/20 per 23 x < 26, perché ci sono 2 valori minori o uguali a 23 (oppure a 24 e 25 che non sono stati osservati); vale 3/20 per 26 x < 30, perché ci sono 3 valori minori o uguali a 23 (oppure a 27, 28, 29),... vale 10/20 per 40 x < 41 perché ci sono 10 valori minori o uguali a 40,... vale 1 per x 65, in quanto dall ultimo valore in poi prende valore 1: tutti i valori osservati sono inferiori o uguali a 65 (o a valori più grandi 66, 67,...). La funzione di ripartizione empirica in 57, vale Fn(x) eta Figura 3: Funzione di ripartizione empirica, esercizio4 3. Per il diagramma a scatola con baffi si tiene conto dei seguenti valori: 1. La mediana è quel valore di posto , cioè 40. Alternativamente la mediana può essere considerata come il valore che lascia a sinistra e a destra il 50% delle osservazioni. La mediana, quindi, è la media tra il valore di posto e quello di posto Il valore di posto 10 è 40 e quello di posto 11 è 41. Di conseguenza la mediana 6

8 è pari a ( )/2 40, 5. Tale valore lascia a sinistra e a destra proprio 10 osservazioni, cioè il 50% delle 20 osservazioni Il primo quartile Q 1 è quel valore di posto Tale valore è 32. Alternativamente il primo quartile può essere considerato come il valore che lascia a sinistra il 25% delle osservazioni (e di conseguenza a destra il 75% delle osservazioni). Esso risulta essere la media dei valori di posto e , cioè la media dei valori 32 e 33. Il primo quartile è, quindi, 32,5 e lascia a sinistra 5 osservazioni (25%) e a destra 15 osservazioni (75%). 3. Il terzo quartile Q 3 è quel valore di posto Tale valore è 50. Alternativamente il terzo quartile può essere considerato come il valore che lascia a sinistra il 75% delle osservazioni (e di conseguenza a destra il 25% delle osservazioni). Esso risulta essere la media dei valori di posto e , cioè la media dei valori 50 e 53. Il terzo quartile è, quindi, 51,5 e lascia a sinistra 15 osservazioni e a destra Lo scarto interquantile è: IQ Q 3 Q se si utilizza il primo metodo di calcolo dei quartili 2 [IQ Q 3 Q 1 51, 5 32, 5 19] 5. Per individuare il baffo superiore occorre calcolare la seguente quantità: Q 3 + 1, 5 IQ [Q 3 + 1, 5 IQ 51, , 5 80]. Il baffo superiore corrisponde all osservazioni immediatamente più bassa di 77 [80] che è Per individuare il baffo inferiore occorre calcolare la seguente quantità: Q 1 1, 5 IQ [Q 3 1, 5 IQ 32, 5 28, 5 4]. Il baffo inferiore corrisponde all osservazioni immediatamente più alta di 5 [4] che è I baffi contengono tutte le osservazioni, quindi non ci saranno osservazioni estreme da disegnare al di fuori dei baffi. Esercizio 5 1. falso: è circa il 60%. 2. vero: è uguale a falso: è uguale a 3. Esercizio B: la densità è piuttosto costante, di conseguenza la funzione di ripartizione empirica risulta grossomodo lineare. 1 Questi due metodi sono pressocché equivalenti in presenza di molti dati. Nel nostro caso danno luogo, comunque, a dei risultati molto simili. Queste considerazioni valgono anche per il calcolo del primo e terzo quartile, 2 I risultati ottenuti con il secondo metodo sono dati tra parentesi quadrate [ ] 7

9 Figura 4: Diagramma a scatola, esercizio e 2 risultano molto simili tra loro, come C e A. In questo caso, per riuscire a capire l abbinamento giusto si guarda la compatibilità dei valori assunti dalle osservazioni. In 1 e in C i valori vanno da 3 a 10 (circa). In 2 e in A i valori vanno da 0 a 15 (circa). Quindi 1-C e 2-A. 8

10 Esercizio 7 Il capitale al primo anno di investimento è pari a C 1 C(1 + 0, 03), al secondo anno a C 2 C 1 (1 + 0, 03) C(1 + 0, 03) 2 e così via fino ad arrivare al decimo anno di investimento: C 10 C(1 + 0, 03) 3 (1 + 0, 015) 2 (1 + 0, 02) 5. Se indichiamo con ī il tasso medio (applicato ogni anno) allora si può indicare lo stesso capitale come segue: C 10 C(1 + ī) 10. Uguagliando le due espressioni precedenti e, considerando ī come incognita, si trova: ī ((1 + 0, 03) 3 (1 + 0, 015) 2 (1 + 0, 02) 5 ) (1/10) In pratica, si è utilizzata la media geometrica. Esercizio 8 I valori ordinati sono i seguenti:. 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 15, 15, 25 Nella seguente tabella vengono scritte le frequenze assolute f i, quelle relative p i e le frequenze assolute cumulate F i. y i f i p i F i 3 1 0, , , , , , , , , La media si calcola come segue: i ȳ y i f i i f i 14 8, La mediana è la media dei valori ordinati di posto e In questo caso il valore di posto 7 è proprio 7 e quello di posto 8 è proprio 8 (coincidenza!), per cui la mediana è uguale a: (7 + 8)/2 7, Q 1 è il valore di posto , 5. Di conseguenza, non esistendo il posto 3, 5, prenderemo i valori di posto 3 e 4 e ne faremo la media. Essi sono 4 e 4: Q 1 (4 + 4)/2 4. 9

11 4. Q 3 è il valore di posto , 5. Di conseguenza, non esistendo il posto 10, 5, prenderemo i valori di posto 10 e 11 e ne faremo la media. Essi sono 9 e 10: Q 3 (9 + 10)/2 9, IQ Q 3 Q 1 5, 5. Per il disegno del diagramma a scatola con baffi (oltre che alla mediana e al primo e al terzo quartile) occorre calcolare il baffo superiore e quello inferiore. Per individuare il baffo superiore occorre calcolare la seguente quantità: Q 3 + 1, 5 IQ 17, 75. Il baffo superiore corrisponde all osservazioni immediatamente più bassa di 17, 75 che è 15. Per individuare il baffo inferiore occorre calcolare la seguente quantità: Q 3 1, 5 IQ 4, 25. Il baffo inferiore corrisponde all osservazioni immediatamente più alta di 4, 25 che è 3. Rimane da disegnare l osservazione pari a 25 (che è esterna ai baffi) come pallino. Esercizio 9 1. Per il diagramma a scatola occorre calcolare: mediana27 primo quartile24 terzo quartile30.5 scarto interquantile6.5 baffo superiore40 baffo inferiore16 restano da disegnare con i pallini le osservazioni pari a -44 e Figura 5: Diagramma a scatola, esercizio9 10

12 2. Come indice di posizione per il tempo uso la mediana (pari a 27). Infatti, nel dataset si possono notare dei valori negativi dovuti probabilmente a degli errori di misurazione (il tempo non può essere negativo!): in questi casi, in cui ci sono dei valori anomali, la mediana risulta essere un indicatore di posizione più affidabile della media. Di conseguenza la velocità della luce risulta essere pari a: V el Distanza (in m) T empo (in s) / , m/s. Esercizio 10 Per disegnare l istogramma si calcolano le densità degli intervalli: Lunghezza y i Freq. Freq. cumulata δ i , , , dove y i è il valore centrale dell intervallo che useremo più avanti nel calcolo della media. densita lunghezza Figura 6: Istogramma, esercizio10 Per determinare la mediana quando disponiamo di osservazioni raggruppate in classi, procediamo nel modo seguente: La mediana è il quantile di ordine p 0,5 ed è per questo talora indicata con x 0,5. Per trovarla, dobbiamo individuare l unità statistica di posizione 0,5 n, che nel nostro caso corrisponde a 0,5 50 (essendo le osservazioni in numero pari, si potrebbe anche considerare la posizione intermedia tra la 11

13 cinquantesima e la cinquantunesima osservazione e ragionare quindi con 50,5: entrambi gli approcci sono accettabili e, soprattutto con n elevato, tendono a portare a risultati del tutto simili). Osservando le frequenze cumulate, ci rendiamo conto che questa unità statistica (quella di posizione 50) si trova nella classe , che contiene le unità che vanno dalla trentesima alla novantesima. Supponendo che i 60 individui appartenenti alla classe siano distribuiti uniformemente tra 145 e 150 (cioè equidistribuiti), possiamo usare l interpolazione lineare per calcolare la mediana. In particolare, se stabiliamo così la proporzione: x 0, troviamo x 0, (50 30) La procedura di interpolazione lineare seguita è illustrata nella Figura 1.6. Frequenza cumulata Mediana 150 Lunghezza Figura 7: Procedura di interpolazione lineare per la determinazione della mediana, esercizio 10 In generale, per determinare un generico quantile x p, con 0 p 1, con il metodo di interpolazione lineare troviamo: x p a + b a (p n F (a)), F (b) F (a) dove a e b sono rispettivamente l estremo inferiore e superiore della classe in cui cade x p e F (x) indica la frequenza assoluta cumulata associata alla modalità x. Ad esempio, per trovare il primo e il terzo quartile basta scegliere p 0,25 e p 0,75 rispettivamente. Quindi i risultati sono: Mediana146,667 12

14 primo quartile142,5 terzo quartile148,75 scarto interquantile6,25 La media è uguale: i ȳ y i f i i f i 127, , 5 10 Dopo un giorno di pioggia continuata si avrà: 145. Mediana , ,8337 Q , ,25 Q , ,125 IQ Q 3 Q media , Esercizio 11 Il nostro insieme di dati è già ordinato e quindi risulta facile costruire la tabella per i dati raggruppati in classi diametriche di 5cm: Classe y i f i p i F i y i : valore centrale della classe, f i : frequenza assoluta, p i : frequenza relativa, F i : frequenza cumulata (assoluta). Visto che gli intervalli sono tutti di eguale ampiezza non occorre calcolare le densità degli intervalli per disegnare l istogramma. Calcolo della media: con dati originari: 39,475 con dati raggruppati: 37,811 L approssimazione è dovuta al raggruppamento in classi. Più sono ampie le classi e più cattiva è l approssimazione. 13