Materiale didattico per il corso di Statistica I Prima esercitazione

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Raffaella Napoli
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1 Materiale didattico per il corso di Statistica I Prima esercitazione Claudia Furlan 1 Anno Accademico Ringrazio Carlo Gaetan, Nicola Sartori e Aldo Solari per il materiale, aggiunte e correzioni.

2 Esercitazione 1 Istogrammi, distribuzioni di frequenze, misure di posizione 1.1 Strumenti di Base Sommatoria Siano a i e b i, i = 1,..., n, due serie di numeri e c una costante qualsiasi. Si definisce la sommatoria nel modo seguente: Alcune proprietà n a i = a 1 + a a n. 1. n c = c + c c = n c. 2. n c a i = c a 1 + c a c a n = c (a 1 + a a n ) = c n a i. 3. n (a i + b i ) = n a i + n b i. 4. ( n a i) c n ac i. Ad esempio, con n = 2 e c = 2, si ha ( n a i) 2 = (a 1 +a 2 ) 2 = a a 1 a 2 +a 2 2 a a 2 2 = n a2 i. 5. n (a i b i ) n a n i b i. Ad esempio, con n = 2, si ha n (a i b i ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 (a 1 + a 2 ) (b 1 + b 2 ) = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2 = n a n i b i. 1

3 1.1.2 Produttoria Siano a i e b i, i = 1,..., n, due serie di numeri e c una costante qualsiasi. Si definisce la produttoria nel modo seguente: Alcune proprietà 1. n c = c c... c = cn. n a i = a 1 a 2... a n. 2. n c a i = c a 1 c a 2... c a n = c n (a 1 a 2... a n ) = c n n a i. 3. n (a i b i ) = n a i n b i. 4. ( n a i) c = n ac i. 5. n (a i + b i ) n a i + n b i Logaritmo Il logaritmo in base b del numero reale positivo, l = log b, si definisce come l esponente l da dare a b per ottenere, ossia: = b l. Le basi più comunemente utilizzate sono quella naturale, ossia il numero neperiano e = 2, , e la base 10. Alcune proprietà 1. log b 1 = log b b = lim log 0 + b = ; lim log b = log b ( y) = log b + log b y (più in generale, log b ( n i) = n log b i ). 5. log b ( c ) = c log b. 6. log b (/y) = log b ( y 1 ) = log b + log b y 1 = log b log b y. 7. Cambio di base: log b = log b c log c. 2

4 1.2 Esercizi Esercizio 1 1. Dati i seguenti valori di X: 1 = 3; 2 = 1; 3 = 4; 4 = 6; 5 = 5; calcolare: 5 i, 5 i, 5 i j=1 j 2. Provate che ( n i) 2 = n 2 i + 2 n n j>i i j 3. Provate che se f(a) = n ( i a) 2 allora f (a) = 2 n ( i a) Esercizio 2 Quale delle seguenti variabili è una variabile categoriale 1. L età degli studenti in questo corso 2. I programmi preferiti dalle studentesse di questo corso 3. Il numero degli studenti di questo corso che guardano la trasmissione Il Grande Fratello 4. Le tasse universitarie pagate dagli studenti di questo corso 5. Il voto riportato all esame di matematica 6. L aver superato l esame di matematica Esercizio 3 Il docente di un corso universitario ha raccolto alcuni dati concernenti gli studenti che hanno sostenuto un particolare esame. La tabella riporta i dati relativi ai primi quattro studenti. Voto Anno di corso Residenza Diploma Sup. Frequentante 28 I Treviso Liceo S 21 IV Venezia Ist. Tecnico N 18 I Verona Ist. Comm. S 21 II Padova Ist. Prof. S 1. Qual è l unità statistica? Qual è la popolazione di riferimento? 2. Quali caratteri sono rilevati? 3. Quali sono le modalità rilevate del Diploma Superiore? 4. Quali sono le modalità rilevate del Voto e quali quelle possibili? 3

5 Esercizio 4 In un gruppo di 20 persone sono state rilevate due variabili, il sesso e l età F M M M F M F F M F M F M F M M M F F F 1. Si costruisca la distribuzione per classi dell età (utilizzando le classi 19-29, 30-44, 45-59, 60 e oltre) e si calcolino le frequenze assolute, relative, percentuali, le cumulate, e le densità di frequenza. Si disegni un opportuno istogramma. 2. Si rappresenti la funzione di ripartizione empirica e se ne calcoli il valore nel punto Si disegni il diagramma a scatola con baffi, partendo dai dati originari. Esercizio 5 In questo grafico mostriamo la funzione di ripartizione empirica degli arrivi giornalieri in un hotel rilevata nel mese di aprile (notiamo che il cerchietto indica che il punto è incluso). Arrivi in Hotel Fn() Dite quali delle seguenti affermazioni sono vere 1. Il 50% degli arrivi giornalieri è inferiore o uguale a 6 4

6 2. il massimo delle osservazioni è superiore o uguale a 11 arrivi 3. il minimo delle osservazioni è superiore a 3 arrivi Esercizio 6 Abbinate ad ogni istogramma delle densità di frequenza la corrispondente funzione di ripartizione empirica. Istogramma 1 Funzione di ripartizione A Density Fn() Istogramma 2 Funzione di ripartizione B Density Fn() Istogramma 3 Funzione di ripartizione C Density Fn() Esercizio 7 Si ipotizzi di volere investire un capitale iniziale pari a C, per 10 anni. Si ipotizzi di aver scelto un tasso di 0, 03 per i primi 3 anni, un tasso di 0, 015 per i seguenti 2 anni e un tasso di 0, 02 per gli ultimi 5 anni. Si calcoli il tasso medio. 5

7 Esercizio 8 Si è rilevato il numero di clienti giornalieri di un negozio per 14 giorni: 4, 10, 3, 15, 15, 7, 4, 7, 9, 25, 6, 4, 8, 8. Si calcolino: le frequenze assolute, relative e cumulate; la media, la mediana, il primo e il terzo quartile, lo scarto interquantile. Si disegni il diagramma a scatola con baffi. Esercizio 9 Simon Newcomb misurò il tempo necessario affiché la luce andasse dal suo laboratorio sul fiume Potomac ad uno specchio alla base del Washington Monument e ritornasse indietro, per una distanza totale di circa 7400 metri. Egli fece 66 misurazioni qui sotto riportate (milionesimi di secondo) Si rappresenti la distribuzione dei dati mediante un diagramma a scatola. 2. Si calcoli un opportuno indice di posizione per la velocità della luce. Esercizio 10 È riportata di seguito una tabella che riassume le lunghezze di 100 foglie di platano, misurate al millimetro più prossimo, dopo 10 giorni di siccità. A partire dalla tabella di frequenza Lunghezza Freq. Freq. cumulata Si disegni per queste osservazioni un opportuno istogramma. Si calcolino mediana, primo quartile, terzo quartile, scarto interquartile e media. È noto che l effetto di un giorno di pioggia continuata è di aumentare la lunghezza delle foglie di una quota percentuale pari al 10% più una quota fissa pari a 0.5 mm. Si calcolino mediana, scarto interquartile e media dopo un giorno di pioggia continuata. 6

8 Esercizio 11 Il diametro del fusto di una pianta viene misurato attraverso uno strumento chiamato Cavalletto. Esso è simile ad un grosso calibro. La misura viene effettuata tenendo il cavalletto in posizione perpendicolare al fusto ad una altezza dal terreno di 1.30m con una precisione non superiore al cm. Nell autunno del 1999 sono stati misurati i diametri di 1887 Abeti rossi (Picea Abiens) presenti in una zona di bosco a San Vito di Cadore. Le misure sono le seguenti: D f D f D f D f D f D f D: diametro in cm, f: frequenza assoluta. Di solito, per dati riferiti al diametro del fusto, l informazione disponibile è già parzialmente sintetizzata attraverso l uso di classi (chiamate classi diametriche) di ampiezza 5cm centrate nei valori: 20,25,30,,65,70, 75. Si costruisca questo nuovo insieme di dati e si calcolino, per ogni classe, le frequenza relative, assolute e cumulate. Si valuti se sia necessario calcolare le densità delle osservazioni per un eventuale istogramma. Si calcoli la media con i dati originari e con i dati raggruppati; si commenti l approssimazione indotta dall uso delle classi. 7

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