Statistica. Esercitazione 4 17 febbraio 2011 Medie condizionate. Covarianza e correlazione
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- Artemisia Leonardi
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1 Corso di Laurea in Scienze dell Organizzazione Facoltà di Sociologia, Università degli Studi di Milano-Bicocca a.a. 2010/2011 Statistica Esercitazione 4 17 febbraio 2011 Medie condizionate. Covarianza e correlazione Esercizio 1 - Medie condizionate. Proprietà associativa della media aritmetica. La seguente tabella di contingenza riporta i risultati della rilevazione congiunta dei fenomeni X=Attività fisica e Y =livello di colesterolo (mg/dl) per una popolazione di 220 studenti: X, Y scarsa o nulla moderata o elevata Verificare se c è indipendenza tra X e Y Calcolare le medie condizionate di Y dato X = x i e verificare se c è indipendenza in media di Y da X. Calcolare la media marginale di Y sfruttando la proprietà associativa. X, Y f i scarsa o nulla moderata o elevata f j n = 220
2 Per verificare se c è o meno indipendenza tra i due fenomeni, calcoliamo le distribuzioni di frequenze condizionate, per esempio di Y dato X = x i : X, Y scarsa o nulla moderata o elevata Essendo , e , si conclude che X e Y non sono indipendenti. La media condizionata ȳ x 1 si calcola, considerando i valori centrali delle classi di Y, come ȳ x 1 = = 222 mentre l altra media condizionata ȳ x 2 = = 200 Com era lecito aspettarsi, il livello medio di colesterolo è più alto tra quelli che praticano poca attività sportiva ripetto a quelli che la praticano in maniera moderata o elevata. Essendo le due medie condizionate diverse tra loro, si conclude che Y non è indipendente in media da X. La media marginale di Y vale: ȳ = 1 ( ) = ma si può calcolare sfruttando la proprietà associativa: ȳ = 1 ( ) = Esercizio 2 - Diagramma di dispersione e covarianza Per la seguente serie doppia x y calcolare la covarianza σ xy e tracciare il diagramma di dispersione (x, y). Calcolare il coefficiente di correlazione lineare e commentare il risultato. 2
3 Risulta x = 16, ȳ = 25. direttamente la definizione: σ xy = 1 n n (x i x)(y i ȳ) Si può calcolare la covarianza tra X e Y usando = 1 [(10 16)(30 25) + (12 16)(32 25) + (15 16)(28 25)+ 5 (20 16)(20 25) + (23 16)(15 25)] = 1 5 ( ) = = 30.2 oppure utilizzando la formula alternativa, calcolando µ xy = 1 n n x i y i = 1 ( ) = 1849/5 5 e quindi σ xy = µ xy xȳ = 1849/ = 30.2 Il segno negativo di σ xy indica che al crescere di X mediamente Y decresce (si veda anche figura 1). Risulta poi σ 2 x = 23.6 e σ 2 y = 41.6, quindi ρ xy = σ xy σ x σ y = = che indica una relazione lineare (negativa) molto forte. Esercizio 3 - Covarianza e correlazione In un quartiere cittadino si sono rilevati in appartamenti il numero di televisori (Y ) ed il numero di persone (X) che vi abitano. Si sono ottenuti i risultati riassunti nella tabella a doppia entrata seguente: Calcolare: 1. le frequenze marginali di X e Y ; X,Y
4 2. le frequenze condizionate; 3. le frequenze teoriche sotto l ipotesi di indipendenza statistica; 4. l indice di connessione χ 2 ; 5. le medie marginali di X e Y ; 6. le medie condizionate di Y, verificando la proprietà di associatività; 7. momento misto, varianze, covarianza e indice di correlazione, commentando i risultati. 1. ella seguente tabella sono riportati i valori delle frequenze marginali di riga e di colonna: X,Y 1 2 f i f j Dalla tabella precedente si possono ottenere facilmente le frequenze condizionate di Y dato X: e di X dato Y : X,Y X,Y
5 3. Calcoliamo ora le frequenze teoriche sotto l ipotesi di indipendenza tra le due variabili X e Y ; la formula da utilizzare è: f ij = f i f j per ogni i = 1,..., k e quindi si ottiene la tabella teorica di i.s.: j = 1,..., h X,Y 1 2 fi f j È possibile a questo punto calcolare l indice di connessione, utilizzando la formula k f χ 2 ij 2 = ( 1) f i f j che coi nostri dati dà χ 2 = ( ) = ( ) = Ora, essendo il valore di χ 2 max pari a min {h 1, k 1} = min {1, 3} = 1 =, segue che il valore dell indice di connessione normalizzato è pari a: χ 2 ( ) = = e quindi si conclude che c è una connessione tra X e Y pari al 25.3% di quella massima ottenibile con le frequenze marginali osservate. 5. Calcoliamo ora le medie marginali di X e Y. Si ottiene: x = 1 k x i f i = 1 ( ) = 2.23 ȳ = 1 y j f j = 1 ( ) =
6 6. Per le medie condizionate: ȳ x 1 = 1 f 1 y j f 1j = = 1 ȳ x 2 = 1 f 2 ȳ x 3 = 1 f 3 ȳ x 4 = 1 f 4 y j f 2j = y j f 3j = y j f 4j = = = 1.6 = Verifichiamo per Y la proprietà di associatività delle medie condizionate: 1 k ȳ x i f i = 1 ( ) = 1.36 = ȳ 7. Applicando le formule note dalla teoria, per il momento misto si ha: µ XY = 1 f ij x i y j = = 1 i j ( ) = 325 = 3.25 e, quindi, per la covarianza: σ XY = µ XY xȳ = = In alternativa, si può calcolare la covarianza partendo direttamente dalla definizione, ovvero: σ XY = 1 f ij (x i x)(y j ȳ) = = i j Le varianze di X e Y sono calcolabili con le formule: σ x = 1 k 1 f i x 2 i x2 = ( ) = =
7 σ y = 1 f j yj 2 ȳ2 = Adesso è possibile calcolare il valore di ρ XY : 1 ( ) = = 0.48 ρ xy = σ xy σ x σ y = = che ci indica una correlazione lineare positiva moderata tra X e Y. y x Figura 1: Diagramma di dispersione per la serie doppia dell esercizio 3. 7
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