Capitolo uno STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA

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1 Capitolo uno STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA La statistica unidimensionale si occupa di studiare una sola variabile statistica. La statistica bidimensionale o bivariata si occupa dello studio congiunto di due caratteri distinti della stessa unità statistica. Si costruisce una tabella a doppia entrata Dette ed Y le due variabili statistiche, la distribuzione delle frequenze delle loro modalità sono x 1, x 2,.x q e y 1, y 2, y p. Si ottiene la seguente tabella a doppia entrata Y y 1 y 2 y 3 Totale x f(x1,y1) f(x1,y2) 1 f(x1,y3) f(x1) somma x f(x2,y1) delle 2 f(x2) righe : x f(x3,y1) 3 f(x3) freq. x f(x4,y1) 4 f(x4) marg. di Totale f(y1) f(y2) f(y3) f(yi) n Somma delle colonne: frequenze marginali di Y La colonna dei totali e la riga dei totali sono le frequenze marginali della variabile e della variabile Y, sono dette distribuzioni marginali e rappresentano le distribuzioni di ognuno dei due caratteri considerati singolarmente (distribuzioni univariate). f(xi,yj)sono le frequenze congiunte. Le colonne e le righe interne della tabella sono le distribuzioni condizionate. Esempio 1 Sono stati classificati 205 appartamenti secondo il numero dei locali e il numero delle persone che li abitano. I risultati sono riassunti nella seguente tabella a doppia entrata 1 Y Dalla tabella si possono ricavare le due distribuzioni marginali ( UNIVARIATE) : varabile Y: distribuzione delle yj ( numero locali): y j f (yj) variabile :distribuzione delle xi ( numero di abitanti): x i f (xi)

2 2 LE DISTRIBUZIONI CONDIZIONATE in una tabella a doppia entrata + 90]/500= 1,0496 Y=Lunghezza auto ( m) =Capacità bagagliaio (dm 3 ) y1=[33,50[ y2=[3,50-4[ y3=[4-4,5] Totale x1=[90-160[ x2=[ [ x3=[ [ x4=[ ] Totale la riga colorata, interna alla tabella, rappresenta la distribuzione di Y condizionata alla modalità x1 cioè f(y x1) Y=Lunghezza auto ( m) =Capacità bagagliaio (dm 3 ) [3-3,50[ [3,50-4[ [4-4,5] Totale 1=[90-160[ allo stesso modo, fissando il valore di y1, si puo considerare la distribuzione condizionata di rispetto alla modalità y1 cioè f( y1) Y=Lunghezza auto ( m) =Capacità bagagliaio (dm 3 ) y1=[3-3,50[ 1=[90-160[ 8 2=[ [ 3 3=[ [ 1 4=[ ] 0 Totale 12

3 3 Come si rappresenta una tabella bivariata Classe birth weight madri non fumatrici madri fumatrici Frequenza marginale NON Fum. % Fum.% 1= ,13 0,21 2= ,40 0,62 3= ,08 2,27 4= ,75 5,17 5= ,18 12,40 6= ,24 19,42 7= ,37 22,31 8= ,68 18,60 9= ,87 9,92 10= ,36 6,20 11= ,64 2,07 12= ,48 0,83 13= ,81 0,00 Freq. Marg % 100% Si costruisce un diagramma a barre per ogni riga (o colonna) interna alla tabella, differenziando i diversi diagrammi per colore. Si affiancano, poi, le barre di diverso colore che corrispondono alla stessa modalità dell altro carattere. L ISTOGRAMMA A FIANCO,ottenuto considerando le percentuali di madri fumatrici e non fumatrici, mostra che le madri fumatrici hanno generato figli con peso basso alla nascita ( classi di peso 1,2,3,4,5,6), più spesso di quelle non fumatrici. ESERCIZI 1) La seguente tabella riporta la distribuzione di un gruppo di auto secondo lunghezza e dimensione del bagagliaio Y=Lunghezza auto ( m) =Capacità bagagliaio 3-3,50 3, ,5 Totale (dm 3 ) Totale Calcolare la varianza della distribuzione marginale delle xi [σ 2 =4486,2] 2) la seguente tabella riporta le età degli sposi per 100 coppie Età sposa Età Totale sposo Totale Determina la media aritmetica e la varianza della distribuzione marginale dell età della sposa [σ 2 =22,527] [M=26,15]

4 4 3)La seguente tabella riporta l esito di fine anno degli alunni di un Istituto scolastico divisi per classi = esito Y=classe 1=promossi 2=Respinti 3=con debito 1=prima =seconda =terza =quarta a.rappresentare la distribuzione dei dati b. Scrivere le frequenze marginali delle righe e delle colonne c. Calcolare la media e la varianza della distribuzione marginale degli esiti. [M=1,40 σ 2 =0,54] d. Calcolare la media e la varianza della distribuzione marginale delle classi [M=2,39 σ 2 =1,234] 4) Data la seguente tabella Y Tot Tot a. Rappresentarla graficamente b. Scrivere la distribuzione marginale di xi c. Calcolare la media aritmetica della distribuzione marginale delle yi [c. 2,37] 5) Sono state intervistate 100 donne, divise per età, sulla bontà di un certo prodotto ottenendo le seguenti risposte Risposta Età Positiva Negativa Non so a. Rappresenta la distribuzione dei dati b. Scrivi le frequenze marginali delle righe e delle colonne c. Attribuendo i valori 1,2,3 ai caratteri della risposta(positiva, negativa, non so) e i valori 2,3,4,5 ai caratteri dell età, calcolare le medie aritmetiche [Mx=1,72 ; My=3,57] 6) Sia Y la variabile voto dello scrutinio ed la variabile studente pendolare, studente residente, determinare Mx, My, σ 2 x, σ 2 y y: tot Pendol.= Residen.= tot [My=5,18 Mx=1,68 σ 2 y =1,01 σ 2 x=0,21]

5 INDIPENDENZA E DIPENDENZA STATISTICA DI DUE VARIABILI o MUTABILI Per determinare se due variabili statistiche sono dipendenti o indipendenti bisogna utilizzare le distribuzioni marginali delle frequenze della tabella a doppia entrata. La variabile x e la variabile y sono indipendenti se la frequenza congiunta f(x i,y,j ) ( quella interna alla tabella), è il prodotto delle corrispondenti frequenze marginali, divise per in numero di dati n f(x i,y,j ) = [f(x i ) * f(y j )]/n 5 Per verificare se le variabili sono indipendenti si può costruire la tabella partendo dalle frequenze marginali, utilizzando la formula f(x i,y,j ) = [f(x i ) * f(y j )]/n, se tale tabella coincide con quella data, le due variabili sono perfettamente indipendenti *20/200= 6 60*60/200= 18 60*120/200= le variabili ed Y sono 8 40*20/200= 4 40*60/200= 12 40*120/200= indipendenti *20/200= *60/200=30 100*120/200= Y La tabella così costruita si chiama tabella teorica di indipendenza Esercizi: determinare se le variabili delle seguenti tabelle sono indipendenti. ESERCIZIO SVOLTO tot Y tot Si costruisce la tabella teorica di indipendenza e si verifica se coincide con quella dei dati reali Y tot 4 7*8/56= 1 7*16/56=2 7*32/56= *8/56=3 16*21/56=6 21*32/56= *8/56=4 28*16/56=8 28*32/56=16 28 tot

6 6 Esercizi n La situazione di perfetta indipendenza statistica si verifica raramente, la tabella teorica di indipendenza rappresenta un situazione ideale, quello che serve è valutare quanto la tabella dei dati reali si discosta da quella di perfetta indipendenza per capire in che misura le due variabili sono dipendenti. CONTINGENZA e INDICE DI CONNESSIONE La contingenza permette di misurare il grado di dipendenza, la connessione, di due mutabili. 1)Data la tabella dei dati reali osservati: 2) si costruisce la tabella teorica di indipendenza: y 1 y 2 y y 1 y 2 y x x 1 30*25/50=15 20*25/50=10 25 x x 2 30*15/50=9 =6 15 x x 3 =6 =4 10 x x Le variabili x ed y non sono indipendenti poiché le due tabelle sono diverse, quindi si cerca di misurare il grado di dipendenza o CONNESSIONE delle due mutabili. Si dice contingenza la differenza tra le frequenze osservate e quelle teoriche. C(xi;yj) = f(xi,yj) - f (xi,yj) contingenza freq. osserv. freq. teorica Nel caso di indipendenza le contingenze sono tutte nulle, mentre cresceranno, in valore assoluto, al crescere del grado di dipendenza tra i caratteri. Indice di connessione di Pearson ( χ 2 chi quadro): χ 2 = Riprendendo la tabella iniziale si ha χ 2 = 50( )=25/9=2,8

7 7 χ 2 deve essere normalizzato in modo da variare tra 0 ed 1 compresi (k è il numero di righe interne della tabella e h è il numero di colonne interne della tabella) χ 2 = = = = = 0,056 Il grado di connessione è 5,6 %, è un grado di connessione molto basso. Un caso di perfetta connessione: χ 2 normalizzato =1. Si chiede a 70 persone, 30 donne e 40 uomini, che visitano una concessionaria di auto se preferirebbero acquistare una utilitaria a bassa emissione di gas inquinanti o un auto di cilindrata superiore a 1800 cc. Il risultato è riassunto nella seguente tabella bivariata Y M F Fr.marg utilitaria Cil. >1800cc Fr. marg χ 2 = 70[ /(30*30)+40 2 /(40*40) +0-1]=70 χ 2 norm.= = 70/(70*1)= 1 Il grado di connessione tra la variabile (sesso ) e la variabile Y ( tipo di auto preferita) è del 100% Esercizio Si sa che le variabili ed Y sono indipendenti e si conoscono le distribuzioni marginali delle variabili (sesso) ed Y( auto preferita tra utilitaria ed auto di grande cilindrata). Y M F Fr.marg utilitaria 80 Cil. >1800cc. 120 Fr. marg Quanti sono gli uomini che preferirebbero acquistare un utilitaria?... E le donne?... Quanti sono gli uomini che preferirebbero acquistare un auto di grande cil.?... E le donne? Qual è la percentuale di uomini che preferirebbe comprare un utilitaria?... Qual è la percentuale di donne che preferirebbe acquistare un utilitaria?... Calcola 2 norm. :.. CORRELAZIONE E REGRESSIONE LINEARE Si dice correlazione la dipendenza di due caratteri quantitativi, la correlazione viene misurata con la COVARIANZA. La correlazione

8 Per analizzare la correlazione lineare tra due variabili statistiche, si calcola il coefficiente di BRAVAIS-PEARSON: r = Se r=1 tutti i dati sono allineati su di una retta con coefficiente angolare positivo PERFETTA CORRELAZIONE POSITIVA Se r=-1 tutti i dati sono allineati su di una retta con coefficiente angolare negativo PERFETTA CORRELAZIONE NEGATIVA Se r=0 non c è correlazione lineare tra le due variabili, i punti ( x i,y i ) sono disposti casualmente nel piano Attenzione : -1<r<+1 Quanto più r è vicino ad 1 o a -1 tanto più è forte la correlazione tra le variabili, quanto più r è vicino a zero tanto più è debole la correlazione tra le variabili. ESEMPIO A una visita di leva vengono rilevati i seguenti dati = Statura (cm) Y=Circ.toracica (cm) Calcola il coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson r. SVOLGIMENTO La seguente tabella è stata costruita con ECEL. Per calcolare il coefficiente di correlazione r basta utilizzare i risultati contenuti nelle ultime tre celle in neretto xi yj xi*yj (xi)^2 (yj)^2 xm=1384/8= ym=684/8= σ 2 x=240452/8-(173)^2= σ 2 Y=58714/8-(85.5)^2= σ xy = /8-173*85.5= coefficiente di correlazione lineare: r = /( * 29)= Tra le due variabili c è una buona correlazione lineare positiva perché r è vicino ad 1. 8 Rappresentando graficamente i punti (xi,yi) nel piano cartesiano ( diagramma di dispersione), relativi alla tabella precedente (statura-cassa toracica) si vede che essi possono essere approssimati con una retta

9 ESERCIZI 1)Data la tabella seguente xi yi a)traccia il diagramma di dispersione b)calcola il coefficiente di correlazione lineare di Bravais-Pearson [r=0,99] 2)La seguente tabella rappresenta il reddito annuo e le spese annue per l abbigliamento di 5 persone. Reddito (migliaia di euro) Spese (migliaia di euro) 1,5 2,5 2 2,2 1,8 Determina il coefficiente di correlazione r [r=0,422] 3)Dallo studio della caduta di un grave si ottengono i seguenti dati Tempo ( s ) Spazio ( m) 3,8 8,2 14,6 22,2 34,4 Calcola il coefficiente di correlazione lineare r [r=0,98] LA REGRESSIONE LINEARE. Quando si evidenzia una relazione tra due variabili quantitative, si dovrebbe valutare a quale re funzione matematica descrive meglio i dati, se di tipo lineare, quadratico, esponenziale,ecc. Quando il diagramma di dispersione evidenzia una possibile relazione lineare tra due variabili statistiche x ed y, la funzione interpolatrice che approssima meglio la distribuzione dei dati può essere una retta di equazione y=mx+q Si può scrivere la retta di regressione lineare che approssima i dati, ricorrendo al metodo dei minimi quadrati. Tale metodo consiste nel rendere minima la somma dei quadrati delle distanze d i come si vede nel grafico seguente. La distanza d i tra i punti di coordinate (4;6) (5;6) (6;5) (8;1) e i punti della retta aventi le stesse ascisse, è misurata nella direzione dell asse y Equazione della retta: y-μ y =m(x-μ x ) m è il coefficiente di regressione e il coefficiente angolare della retta m=σ xy /(σ x ) 2 =59.375/127.5=0.466 y-85,5 = 0,466(x-173) 9 La retta di regressione è y=0,466x+4,882 L approssimazione è buona infatti il coefficiente di Bravais-Pearson r=0,97645 è molto prossimo ad 1

10 ATTENZIONE: per scrivere l equazione della retta di regressione si può utilizzare la stessa tabella vista per il coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson ESERCIZI. 1)Nella seguente tabella sono riportati i dati relativi all impiego di un fertilizzante in un terreno e alle quantità di cereali raccolti in quintali. fertilizzanti Cereali soluzione a) determina l equazione della retta di regressione e rappresentala y=-31,43+11,49x b) determina il coefficiente di correlazione 2) La seguente tabella riporta la quantità di merce venduta in relazione al prezzo: prezzo ( euro) Quantità ( t.) a. rappresenta graficamente i dati rilevati b. determina con il metodo dei minimi quadrati la retta interpolatrice c. rappresentare la funzione calcolata [y=69,2 0,039x] Determina la retta di regressione con il metodo dei minimi quadrati: 3) 4) 5) [ y= 11,285 1,142x ] y [y=80,43-0,825x] y [y=1, ,805x] y 1,2 3,7 5,9 11,6 15,3 6) Nella seguente tabella sono riportati i pesi in relazione alla statura di un gruppo di persone. Peso ( Kg) Altezza (cm) a. calcolare l equazione della retta di regressione b. calcolare il coefficiente di correlazione c. Per un peso di 65 kg quale altezza si può prevedere? [y=97,64+1,062x] 7) Nei primi 5 mesi dell anno un azienda ha prodotto le seguenti quantità di un prodotto in relazione ai costi di elettricità Produzione Mensile (t.) Costi mensili elettricità (migliaia di euro) a. Calcola l equazione della retta di regressione dei costi sulla produzione b. Calcola la retta di regressione della produzione sui costi c. Calcola il coefficiente di correlazione [y=0,289+0,299x y=3,21x 0,5542] 10

11 11 LE FORMULE DELLA STATISTICA BIVARIATA Indice chi-quadro χ 2 CONTINGENZA χ 2 = n ( bisogna sommare tutte le frequenze congiunte al quadrato, divise per i prodotti delle corrispondenti frequenze marginali, sottrarre 1 e moltiplicare il risultato per il numero dei dati n. K= numero di righe interne h= numero di colonne interne Covarianza σ x,y = (Ʃ x i* y i )/n - μ x* μ y CORRELAZIONE Coefficiene di correlazione lineare di Bravais-Pearson : r = REGRESSIONE LINEARE Baricentro della distribuzione di dati G(μ x, μ y ) = ( ; ) il coefficiente di regressione m = σ xy /(σ x ) 2 Miglior retta di regressione di y in x y-μ y =m(x-μ x )