Analisi della varianza: I contrasti e il metodo di Bonferroni

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1 Analisi della varianza: I contrasti e il metodo di Bonferroni 1 Contrasti In molti problemi risulta importante stabilire, nel caso venga rifiutata l ipotesi nulla, di uguaglianza delle medie µ j delle k popolazioni, se esista un sottoinsieme dell insieme di tutte le popolazioni le cui medie possano statisticamente considerarsi uguali. A tal fine risulta utile la nozione di contrasto, definito come una combinazione lineare delle medie a iµ i tale che a i = 0. I contrasti possono essere usati per confrontare le medie tra popolazioni. Esempio 1. Date le medie µ 1, µ 2,, µ k e le costanti a = (1, 1, 0,..., 0) allora contrasto che permette il confronto tra µ 1 e µ 2. Teorema 1. Dati dei parametri arbitrari µ = (µ 1,..., µ k ), allora k a i µ i = µ 1 µ 2 è un µ 1 = µ 2 =... = µ k k a i µ i = 0 dove A è l insieme A = {a = (a 1,..., a k ) : a i = 0} a A Dimostrazione: ( ) Se µ 1 =... = µ k = η allora a i µ i = a i µ = η a i = 0 dato che ai = 0 ( ) Dati a i A a 1 = (1, 1, 0,..., 0), a 2 = (0, 1,,..., 0),..., a k 1 = (0,..., 1, 1) Gli (a 1,..., a k 1 ) formano una base di A. Pertanto ogni elemento a A può essere scritto come combinazione lineare di (a 1,..., a k 1 ). Tramite gli a i si ottengono i seguenti contrasti 1

2 a 1 µ 1 = µ 2, a 2 µ 2 = µ 3,..., a k 1 µ k 1 = µ k ciò implica µ 1 = µ 2 =... = µ k Da tale teorema segue immediatamente che l ipotesi nulla dell analisi della varianza sull uguaglianza delle medie si può scrivere in termini di contrasti: H 0 : H 1 : a iµ i = 0 a iµ i 0 a = (a 1,..., a k ) t.c. a i = 0 per qualche a = (a 1,..., a k ) t.c. a i = 0 Infatti l ipotesi nulla è vera se e solo se tutti i contrasti sono nulli. Sotto il modello i ANOVA si assume che X ij N(µ i, σ 2 ) i = 1,, k j = 1,, Da questa ipotesi segue che X i = 1 j=1 e anche che, fissate k costanti, a = (a 1..., a k ), X ij N(µ i, σ2 ) i = 1,..., k Pertanto: a i Xi N( a i µ i, σ 2 ) (1) a X i i a iµ i σ N(0, 1) 2 k a2 i / Per fare inferenza sui µ i sostituiamo σ 2, che è incognita, con la varianza campionaria S 2 i data da: e tale che S 2 i = 1 1 j=1 ( 1)S 2 i σ 2 (X ij X i ) 2 i = 1,..., k χ 2 1 Sotto l ipotesi di omoschedasticità dato che gli stimatori S 2 i si considera una loro combinazione lineare stimano tutti σ 2, essi si possono migliorare se S 2 p = 1 n k ( 1)Si 2 = 1 (X ij n k X i ) 2 j=1 2

3 con n k = ( 1). Siccome le S 2 i sono indipendenti, risulta che: (n k)s 2 p σ 2 χ 2 n k Inoltre anche le S 2 p sono indipendenti per ogni Xi, quindi si ha che: Il test d ipotesi a X i i a iµ i t n k (2) Sp 2 k a2 i / H 0 : H 1 : a iµi = 0 a iµi 0 rifiuta H 0 con un livello di significatività α se a X i i > t n k,α/2 (3) Sp 2 k a2 i / Inoltre, la (2) definisce la variabile pivot che può essere utilizzata per determinare untervallo di confidenza di livello 1 α per a i µ i : a i x i t n k,α/2 s 2 p k a i µ i k a i x i + t n k,α/2 s 2 p 2 Metodo di Bonferroni Quando con l analisi della varianza si rifiuta l ipotesi nulla, si può essere interessati a procedere nell indagine per individuare tra quali medie la differenza sia significativa. Per verificare l esistenza di una differenza in media tra k > 2 popolazioni si potrebbe ricorrere al test t di Student e ripetere l analisi tante volte quanti sono i possibili confronti a coppie tra le popolazioni. Questo approccio, però, non garantisce un adeguato livello di significatività del test. Infatti indicata con α la probabilità di commettere errore del primo tipo associata ad un singolo confronto tra due medie, se si eseguono simultaneamente più confronti tale probabilià aumenta. Nel caso di N confronti tra coppie di medie, la probabilità di non commettere errori di Tipo I è uguale a P (0 errori di Tipo I) = (1 α) N e quindi la probabilità di commettere almeno un errore del I tipo P ( almeno 1 errore Tipo I) = 1 (1 α) N. Per esempio, posto a = 0.05 per 3 confronti, la probabilità 3

4 d errore di Tipo I è pari a 0.14 e risulta quasi 3 volte superiore alla probabilità d errore di Tipo I quando viene eseguito un singolo test. È necessario allora usare opportuni test che controllano questi due tipi di errori.uno di questi, il metodo di Bonferroni è ideale per un piccolo numero di test simultanei. Tale metodo utilizza la disuguaglianza di Bonferroni per correggere il livello di confidenza γ per ogni confronto, in modo tale che il livello di confidenza complessivo sia 1 α. La disuguaglianza di Bonferroni si ricava dalla disuguaglianza di Boole. Dati due insiemi A e B Generalizzando si ottiene la disuguaglianza di Boole P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P ( A i ) Se al posto di A i si considera il complementare A c i, la 4 diventa P ( n A c i ) n P (A c i ) = P ( n A i ) c n (1 P (A i )) = 1 P ( n A i ) n n P (A i ) = P ( n A i ) n P (A i ) (n 1) che è la disuguaglianza di Bonferroni. P (A i ) (4) Supponiamo per esempio di voler determinare una regione di confidenza di livello di confidenza globale pari a 1 α. A tale scopo considerando h confronti ciascuno con livello γ, dove γ è tale che h 1 α = γ (h 1) (5) s=1 Per garantire un livello globale di confidenza uguale a 1 α ogni confronto deve avere livello di confidenza uguale a γ = 1 α/h. Pertanto, nell analisi della varianza a una via, se si vogliono confrontare le medie di k trattamenti, una regione di confidenza simultanea per tutte le k(k 1)/2 coppie di differenze tra le medie può essere effettuata con livello di confidenza 1 α se ogni intervallo C ij = {θ i θ j : θ i θ j X i X j ± t (n k),α/2 S 2 p( n j )} 4

5 ha confidenza P (C ij ) = 1 2α/[k(k 1)]. Inoltre la regione di accettazione del test copotesi nulla H 0 : tutte le k(k 1)/2 coppie di differenze tra le medie sono uguali a 0 risulta pertanto essere definita dalla relazione per ogni possibile coppia (i, j). X i X j t (n k),α/2 s 2 p( n j )} (6) 5