1. Sono state eseguite 250 misure di temperatura che hanno rivelato i seguenti valori stimati di media e di deviazione standard per il campione

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1 Inferenza di Intervallo 1. Sono state eseguite 250 misure di temperatura che hanno rivelato i seguenti valori stimati di media e di deviazione standard per il campione T = 300 K σ T = 50 a. Calcolare un intervallo di fiducia per la misura della temperatura al 90%, 95% e 99% R: [ ]; [ ];[ ] 2. Ripetere i calcoli precedenti nel caso in cui si osservino gli stessi valori di media e deviazione standard per un campione di 5 misure sperimentali R: [ ]; [ ];[ ] 3. Un campione aleatorio di 5 Stati degli USA ha fornito le seguenti superfici (in migliaia di metri quadrati): 147, 84, 24, 85, 159 a. Trovare l intervallo di fiducia al 95% per la superficie media degli stati degli USA b. Trovare l intervallo di fiducia al 95% per la superficie intera degli Stati Uniti (50 stati negli USA) c. La superficie totale degli USA è di miglia quadrate. Quest area è compresa nell intervallo di fiducia R.a: 99.8±67.9 R.b: 5000±3400 R.c: Si 4. Una compagnia petrolifera per stabilire se installare o meno una pompa di benzina lungo una strada, decide di monitorare il traffico durante la giornata lungo la strada per sondare il numero potenziale di clienti. Il numero di veicoli di passaggio è stato rilevato nel corso di ciascuna di un insieme di 12 ore scelte a caso, tra le 7 e le 19 del giorno, nell arco della settimana. La media registrata è stata pari a 186 veicoli per ora e la deviazione standard è stata di 84ù Calcolare un intervallo di fiducia al 95% per l intensità media di traffico R: 186. ± Nella seguente tabella sono riportate le velocità registrate da autovetture ad un controllo con l Autovelox: 1

2 a. Riportare un intervallo di fiducia per la velocità media (Consiglio: la media e la varianza per campioni di dimensioni elevate possono essere calcolati ricorrendo ad un raggruppamento delle osservazioni in classi di ampiezza 5) R:66.0± In una grande università americana, sono stati presi nel 1969 due campioni indipendenti di 5 professori di sesso maschile e 5 di sesso femminile che presentano i seguenti redditi annuali (in K$) Donne (F) Uomini (M) a. Calcolare l intervallo di fiducia per la differenza dei trattamenti Maschio/Femmina b. In quale misura, una tale differenza tra le medie può indicare una discriminazione per le donne? R.a: μ M μ F =5.0±5.8 R.b: Ci sono degli indizi, ma la differenza tra i due campioni può essere dovuto anche alla scelta del campione specifico: il valore μm μf =0.0 è incluso nell intervallo di fiducia 7. Un professore universitario, per verificare se la frequenza del suo corso ha effettivamente aiutato gli studenti che hanno poi sostenuto a caso, estrae a caso 5 voti da un gruppo di studenti che hanno seguito in modo irregolare e 5 voti da un gruppo di studenti regolari Irregolari (I) Regolari (R) a. Calcolare l intervallo di fiducia per la differenza delle medie dei due gruppi b. L analisi statistica può suggerire che il seguire regolarmente il corso ha aiutato gli studenti? 2

3 c. In maggior dettaglio, si può affermare che seguire il corso porta ad avere mediamente 18 punti in più nel giudizio finale? R.a: μr μi =13.0±21.4 R.b: Ci sono degli indizi, ma la differenza tra i due campioni può essere dovuto anche alla scelta del campione specifico: il valore μ R μ I =0.0 è incluso nell intervallo di fiducia 8. Per studiare l effetto dell alcol sullo sviluppo cerebrale prenatale sono stati presi in considerazione due campioni di donne gravide (1974). Il primo campione (A) è costituito da 6 alcooliste croniche durante la gravidanza e si è misurato il QI dei loro bambini al settimo anno di vita di questi ultimi. Questo campione di dimensione 6 ha dato i seguenti risultati x 78 ( ) 2 A = xai xa = 1805 Si è costituito anche un campione di controllo (C) costituito da 46 donne senza alcun tipo di problema con l alcol più o meno con le stesse caratteristiche (età media, educazione, stato coniugale etc.). I bambinbi del secondo gruppo hanno dato i seguenti risultati x 99 ( ) 2 C = xci xc = a. Calcolare l intervallo di fiducia per la differenza delle due medie e trarre le dovute conclusioni R.a: μc μa =21±14 9. Un laboratorio di ricerca e sviluppo di una società petrolchimica ha messo a punto un nuovo di produzione che permette (almeno così si spera) di aumentare la resistenza delle corde di nylon così prodotte. Su ciascuna catena di produzione, esso testa il nuovo e lo confronta con il risultato del vecchio ottenuto per la stessa catena. Sono così registrati le forze di rottura delle corde per ogni catena di produzione, come riportato in tabella Catena di produzione Vecchio Nuovo a. Determinare un intervallo di fiducia al 95% per apprezzare il miglioramento del nuovo R: 20± Si supponga che un campione aleatorio di 18 tronchi d albero dia la seguente distribuzione di volumi: 3

4 volume Frequenza Totale 38 a. Calcolare un intervallo di fiducia al 95% per il volume medio R: 44.2±5.5 Regressione lineare 11. Usare il metodo dei minimi quadrati per trovare la retta y = A+Bx che meglio si adatta ai tre punti (1, 6), (3, 5) e (5, 1). Stimare anche la varianza s 2 dell errore 4 R.a: A=7.75 B= 1.25, s 2 = Usare il metodo dei minimi quadrati per trovare la retta y = A+Bx che meglio si adatta ai quattro punti ( 3, 3), ( 1, 4), (1, 8) e (3, 9). Stimare anche la varianza s 2 dell errore R.a: A=6.0 B=1.1, s 2 = Per trovare la costante di una molla, uno studente la carica con varie masse m e misura le corrispondenti lunghezze l. I suoi risultati sono riportati in tabella x : m (g) y : l (cm) Dal momento che la forza è mg=k(l l 0 ) dove l 0 è la lunghezza della molla non deformata, questi dati dovrebbero giacere sulla retta l= l 0 +(g/k) m. a. Eseguire la regressione lineare per la valutazione della lunghezza non deformata l 0 e della costante elastica k R: l 0 =3.69 cm; k = 162 N/m 14. Calcolare l errore standard per la regressione lineare al punto 12. Valutare un intervallo di fiducia al 95% per i coefficienti della regressione R.a: SE(A)=0.47 SE(B)=0.21,A=6.0±2.04, B = 1.1±0.91

5 15. Uno studente misura la pressione P di un gas a cinque diverse temperature T mantenendo il volume costante. I suoi risultati sono mostrati in tabella: x : pressione P y : temperatura T I suoi dati dovrebbero adattarsi ad una retta del tipo T = A+B P, dove A è lo zero assoluto della temperatura (il cui valore accettato è 273 C). Eseguire la regressione lineare. Valutare un intervallo di fiducia per i coefficienti della regressione e verificare se lo zero assoluto noto in letteratura rientra nell intervallo fiducia 16. Dato il seguente campione di dati sperimentali: x Y R: A= 294.9±97.2; B=3.82±1.14 Per cui S xx 10 S yy S xy Stimare i parametri β 0 e β 1 della regressione lineare. 2. Stimare gli intervalli di fiducia al 95% per le variabili aleatorie β 0 e β 1. Aiuto: ( yˆ ) 2 i SSR = y Somma Quadratica dei Residui ( y ˆ ) 2 i y SS E = i Somma Quadratica degli Errori Effettuare un test di significatività della regressione con un livello di significatività α = 5%. 5