MATEMATICA 1 Modulo di Analisi Matematica Corso 3 A.A. 2008/2009 Docente: R. Argiolas

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1 MATEMATICA Modulo di Analisi Matematica Corso AA 008/009 Docente: R Argiolas Esercizi di preparazione all Esame: Studio di unzione e ormula di Taylor Esercizio Assegnata la unzione ( ) = e 4 a) dopo averla classiicata, determinare il campo di esistenza; c) classiicare gli eventuali punti di discontinuità; e) determinare gli eventuali asintoti; ) calcolare la derivata prima e la derivata seconda (non è richiesta la ricerca dei massimi, minimi e lessi); g) darne un graico approssimato; h) scrivere l equazione della retta tangente al graico della unzione nel punto di ascissa = 0 Esercizio Assegnata la unzione ( ) = ( ), dire se è applicabile in teorema di Lagrange nell intervallo [0,] e in caso aermativo calcolare l ascissa dei punti che soddisano il suddetto teorema Scrivere inoltre l equazione della retta tangente al graico della unzione nel punto di ascissa = 0 Esercizio Scrivere lo sviluppo di Mac Laurin di ( ) = log + con resto di Peano, ino al terzo ordine e utilizzare tale sviluppo per calcolare il ite: 0 ( ) sin 4 ( e ) 9 6

2 Inoltre, senza operare nessun calcolo, scrivere l equazione della retta tangente al graico della unzione nel punto di ascissa = 0 0 Esercizio 4 Dopo averla classiicata, calcolare il campo di esistenza della seguente unzione: log( 5 + 6) ( ) = e + log e 6 Esercizio 5 Utilizzando le stime asintotiche, calcolare il seguente ite di unzione e log sin ( + 4) Esercizio 6 Dopo aver illustrato la ormula di Mac Laurin, utilizzarla per calcolare il seguente ite: ( cos ) 0 + log( ) + + sin Esercizio 7 Assegnata la unzione ( ) ( ) = e a) dopo averla classiicata, determinare il campo di esistenza; c) classiicare gli eventuali punti di discontinuità; e) studiarne la positività ) determinare gli eventuali asintoti; g) calcolare la derivata prima e determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (relativi h) determinare gli eventuali punti di non derivabilità e classiicarli; i) calcolare la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di lesso; j) darne un graico approssimato Esercizio 8 Dopo averla classiicata, determinare il campo di esistenza e la positività della seguente unzione: ( ) = log +

3 Esercizio 9 Dopo aver illustrato la ormula di Taylor, utilizzarla per calcolare il seguente ite: + sin 5 e 0 + log( + ) Esercizio 0 Assegnata la unzione: ( ) = log a) dopo averla classiicata, determinare il campo di esistenza; c) classiicare gli eventuali punti di discontinuità; e) determinare gli eventuali asintoti; ) calcolare la derivata prima e determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (relativi g) determinare gli eventuali punti di non derivabilità e classiicarli; h) calcolare la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di lesso; i) darne un graico approssimato, j) dire se è applicabile il teorema di Lagrange nell intervallo [-,0] Esercizio Assegnata la unzione: ( ) campo di esistenza e la positività + = e, classiicarla e determinarne il ( + ) Esercizio Dopo aver illustrato la ormula di Mac Laurin, utilizzarla per calcolare il seguente ite: log( ) sin ( cos ) = e Esercizio Assegnata la unzione: ( ) a) dopo averla classiicata, determinare il campo di esistenza; c) classiicare gli eventuali punti di discontinuità; e) determinare gli eventuali asintoti; ) calcolare la derivata prima e determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (relativi g) determinare gli eventuali punti di non derivabilità e classiicarli; h) calcolare la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di lesso; i) darne un graico approssimato, j) dire se è applicabile il teorema di Lagrange nell intervallo [,]

4 Esercizio 4 Determinare il campo di esistenza della seguente unzione: ( ) = log ( ) + e dire in quali intervalli è continua (dopo averne ricordato la deinizione) + Esercizio 5 Assegnata la unzione: ( ) = e a) determinare il CE; b) classiicare gli eventuali punti di discontinuità e gli eventuali asintoti, c) calcolare la derivata prima e la derivata seconda (non è richiesto di determinare i punti di massimo, minimo e lesso), d) darne un graico approssimato, g = + è invertibile Determinare un intervallo in cui la unzione ( ) 8 Esercizio 6 Utilizzando le stime asintotiche, calcolare il seguente ite di unzione 5sin 0 + e log 5 ( 4 + ) Giustiicare in modo opportuno ogni aermazione log Esercizio 7 Assegnata la unzione: ( ) = log( ) a) determinare il campo di esistenza, b) studiare il comportamento agli estremi, c) dopo aver classiicato i punti di discontinuità e di non derivabilità di una unzione, dire se la unzione assegnata è derivabile in =0 (giustiicare ogni aermazione) d) darne un graico approssimato, e) dire se è applicabile il teorema di Lagrange, dopo averlo enunciato, nell intervallo [,] ) Una unzione continua in un punto è derivabile in tale punto? (giustiicare ogni aermazione) Esercizio 8 Dopo aver illustrato la ormula di Taylor, utilizzarla per calcolare il seguente ite: ( cos ) + log( + ) 0 + sin 5 4

5 Esercizio 9 Assegnata la unzione ( ) = + a) dopo averla classiicata, determinare il campo di esistenza; c) classiicare gli eventuali punti di discontinuità; e) studiarne la positività (quando è conveniente!) ) determinare gli eventuali asintoti; g) calcolare la derivata prima e determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (relativi h) determinare gli eventuali punti di non derivabilità e classiicarli; i) calcolare la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di lesso; j) darne un graico approssimato Esercizio 0 Assegnata la unzione log ( ) = arcsin a) dopo averla classiicata, determinare il campo di esistenza; c) classiicare gli eventuali punti di discontinuità; e) studiarne la positività (quando è conveniente!) ) determinare gli eventuali asintoti; g) calcolare la derivata prima e determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (relativi h) determinare gli eventuali punti di non derivabilità e classiicarli; i) calcolare la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di lesso; j) darne un graico approssimato Esercizio Assegnata la unzione ( ) = + arctan + a) dopo averla classiicata, determinare il campo di esistenza; c) classiicare gli eventuali punti di discontinuità; e) studiarne la positività (quando è conveniente!) ) determinare gli eventuali asintoti; 5

6 g) calcolare la derivata prima e determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (relativi h) determinare gli eventuali punti di non derivabilità e classiicarli; i) calcolare la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di lesso; j) darne un graico approssimato Esercizio Determinare il campo di esistenza della seguente unzione: log + log ( ) log + e = e dire in quali intervalli è continua (dopo averne ricordato la deinizione) Esercizio Determinare il campo di esistenza della seguente unzione: e dire in quali intervalli è continua log ( ) = ( + log ) Esercizio 4 Determinare il campo di esistenza della seguente unzione: e dire in quali intervalli è continua 9 log ( ) = + 6 Esercizio 5 Determinare il polinomio di Taylor di ordine 4, centrato in della unzione ( ) = + 0 = Esercizio 6 Calcolare il polinomio di Mac Laurin di grado 8 della unzione ( ) ( log ( + ) sin = 4 Esercizio 7 Stabilire se la unzione ( ) arctan( + ) risposta = è invertibile in [,+ ) 0, motivando la Esercizio 8 Data la unzione 6

7 + ( ) = 4 log( + ) stabilire se è continua e derivabile in R 4, < 0 5 Esercizio 9 Determinare il campo di esistenza della seguente unzione: e ( ) = log log + Esercizio 0 Assegnata la unzione ( ) = arccos a) dopo averla classiicata, determinare il campo di esistenza; c) classiicare gli eventuali punti di discontinuità; e) studiarne la positività (quando è conveniente!) ) determinare gli eventuali asintoti; g) calcolare la derivata prima e determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (relativi h) determinare gli eventuali punti di non derivabilità e classiicarli; i) calcolare la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di lesso; j) darne un graico approssimato Esercizio Determinare il polinomio di Taylor di ordine 4, centrato in 0 della unzione ( ) arcsin = 0 = Esercizio Determinare il polinomio di Taylor di ordine 5, centrato in 0 della unzione ( ) arctan = 0 = Esercizio Determinare il polinomio di Taylor di ordine, centrato in della unzione ( ) = ( ) log + 0 = 7

8 Esercizio 4 Dopo aver illustrato la ormula di Taylor, utilizzarla per calcolare il seguente ite: arcsin 0 + sin Esercizio 5 Dopo aver illustrato la ormula di Taylor, utilizzarla per calcolare il seguente ite: arcsin arctan 0 + e cos 8