PREPARAZIONE ALL ESAME DI STATO TRATTAZIONI SINTETICHE

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1 PREPARAZIONE ALL ESAME DI STATO TRATTAZIONI SINTETICHE

2 INDICE 1. Estremo superiore, inferiore, massimo, minimo di un insieme. Il limite di una successione 3. Funzioni pari/dispari 4. Funzioni periodiche 5. Limiti 6. Limiti 7. Limiti 8. Il limite notevole goniometrico 9. Asintoti 10. Asintoti 11. Funzioni continue 1. Funzioni continue 13. Teorema di esistenza degli zeri; teorema di Weierstrass 14. Teorema di Weierstrass 15. Funzioni derivabili 16. Funzioni derivabili 17. Funzioni derivabili 18. Funzioni derivabili 19. Rolle 0. Rolle 1. Lagrange. Lagrange 3. Massimi-minimi 4. Studio funzioni 5. Studio funzioni

3 TRATTAZIONE SINTETICA n. 1 Dare le definizioni di estremo superiore, di estremo inferiore, di massimo e di minimo di un insieme di numeri reali. Considerato l insieme immagine dei valori assunti dalla funzione f ( x) = x x nell intervallo ] 0 ;[, se ne determinino l estremo superiore e l estremo inferiore, specificando se siano il massimo e il minimo.

4 TRATTAZIONE SINTETICA n. Il limite di una successione: dopo aver definito il limite lim a n n = + l, scegliere in modo opportuno alcune successioni per stabilire se il fatto che una successione sia limitata sia una condizione necessaria e/o sufficiente affinché la successione ammetta limite. Mostrare che è n lim = 0 e discutere lim x al variare di x nell insieme dei numeri reali. n + n + n

5 TRATTAZIONE SINTETICA n. 3 Funzioni pari e funzioni dispari: si diano le definizioni e si illustrino le caratteristiche del grafico. x Si propongano esempi significativi e si stabilisca se le funzioni: f ( x) = x, g ( x) = x 1, 1 1 h ( x) = siano funzioni pari o dispari o né pari e né dispari. x 1

6 TRATTAZIONE SINTETICA n. 4 Scrivere la definizione di funzione periodica. Dimostrare che la funzione f ( x) = cos(3x) è periodica, determinandone il periodo. Tutte le funzioni goniometriche sono periodiche? Tutte le funzioni periodiche sono goniometriche? La somma di funzioni periodiche è una funzione periodica? E la composizione? Motivare le risposte anche con esempi opportuni.

7 TRATTAZIONE SINTETICA n. 5 Tratta sinteticamente, anche proponendo degli esempi, del limite finito di una funzione per x x 1 tendente ad un valore finito. Verifica che lim x 1 = 3 e calcola i limiti lim, x x x 1 3 x 1 1 x lim, im x x 1 x 0 x

8 TRATTAZIONE SINTETICA n. 6 Tratta sinteticamente, anche proponendo degli esempi grafici, del limite finito di una funzione per x tendente 3x lim = x + 1 x a +. Verifica che 3 x f ( x) = e, f ( x) = sen( x), f, x ( x) = x 1 e calcola i limiti, per x tendente a +, se esistono, delle funzioni x 1 π f ( x) =, f ( x) = log x 1, ( x) = tg x x f.

9 TRATTAZIONE SINTETICA n. 7 Scrivere la definizione di funzione limitata. Mostrare che la funzione f ( x) = è limitata. Determinarne l estremo superiore e inferiore specificando se siano il massimo e il minimo. Se una funzione è limitata ammette limite? Se una funzione ammette limite è limitata? Si motivino le risposte anche con l aiuto di esempi opportuni. x

10 TRATTAZIONE SINTETICA n. 8 ALUNNO. senx Dimostra che lim 0 = 1 e calcola i limiti x x sen3x lim. x 0 x x lim 0 sen3x x lim sen3x, x x, x 0 sen3x lim, x 0 x x

11 TRATTAZIONE SINTETICA n. 9 Tratta sinteticamente, anche proponendo degli esempi, degli asintoti (verticali e orizzontali) di x x x 1 una funzione e determina gli asintoti delle funzioni f ( x) = e, f ( x) =, f ( x) =, x 1 x + 1 π f ( x) = log x 1, f ( x) = tg x. 4

12 TRATTAZIONE SINTETICA n. 10 ALUNNO.. Si tratti degli asintoti obliqui di una funzione e si determinino gli eventuali asintoti 3 x 1 x 1 x + 1 (orizzontali, verticali e obliqui) delle funzioni f ( x) =, g ( x) =, h ( x) =. x 1 x 1 x + 1

13 TRATTAZIONE SINTETICA n. 11 Si scriva la definizione di funzione continua in un punto. Si dimostri che in x 0 = 1 la funzione f ( x) = x è continua, mentre non lo è la funzione x se x < 1 g ( x) =. x + 1se x 1

14 TRATTAZIONE SINTETICA n. 1 Si tratti dei tipi di discontinuità di una funzione in un punto.

15 TRATTAZIONE SINTETICA n. 13 x - se x [-1;1] Assegnata la funzione f ( x) =, determina il valore di k per il quale f - x + 3x + k se x ] 1;3] risulta continua in [-1;3] e stabilisci se in tale intervallo sono verificate le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri, del quale si chiede l enunciato. Verifica inoltre se la funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Weierstrass e determina, se esistono, il massimo assoluto e il minimo assoluto in [-1;3].

16 TRATTAZIONE SINTETICA n. 14 Enuncia il teorema di Weierstrass. Indicato con D l insieme di definizione della funzione f, proponi esempi per mostrare che le ipotesi a) D è chiuso; b) B) D è limitato; c) C) f è continua in ogni punto di D d) Sono essenziali ai fini della validità del teorema.

17 TRATTAZIONE SINTETICA n. 15 ALUNNO. Tratta sinteticamente, anche proponendo degli esempi, del rapporto incrementale e calcola la derivata, utilizzando la definizione, della funzione f(x)=sen(x).

18 TRATTAZIONE SINTETICA n. 16 ALUNNO. Tratta sinteticamente, anche proponendo degli esempi, della relazione che intercorre tra la derivabilità di una funzione in un punto e l esistenza della tangente al grafico della funzione.

19 TRATTAZIONE SINTETICA n. 17 Si enunci e si dimostri una condizione sufficiente affinché una funzione derivabile sia crescente in un punto. Si stabilisca in quali intervalli le funzioni f ( x) x x + 1 = 4x e f ( x) = sono x crescenti.

20 TRATTAZIONE SINTETICA n. 18 Si tratti della relazione che intercorre tra funzioni continue e funzioni derivabili, facendo anche riferimento ad esempi opportunamente scelti.

21 TRATTAZIONE SINTETICA n. 19 Enuncia e dimostra il teorema di Rolle e verifica che è applicabile alla funzione f ( x) = x 3 x + x nell intervallo [0;1]. Determina il punto in cui si verifica la tesi del teorema.

22 TRATTAZIONE SINTETICA n. 0 Enuncia e illustra il significato geometrico del teorema di Rolle. Verifica che è applicabile alla funzione f ( x) = + 3 x nell intervallo [-1;1]. Determina il punto in cui si verifica la tesi del teorema.

23 TRATTAZIONE SINTETICA n.1 Si enunci, si dimostri e si illustri il significato geometrico del teorema di Lagrange. Si verifichi che è applicabile alla funzione f ( x) = log x nell intervallo [ 1 ;] e si determinino le coordinate del punto che soddisfa la relazione prevista dal teorema. Si producano esempi di funzioni alle quali il teorema non è applicabile.

24 TRATTAZIONE SINTETICA n. ALUNNO.. Si enunci e si dimostri il teorema di Lagrange e si stabilisca se è applicabile alle funzioni che seguono, nell intervallo indicato a fianco indicato : 3 x per x < 0 f ( x) = x in [1;3], f ( x) = ln( x + ) in [-1;0], f ( x) =, in [-1;]. 3x + x per x 0

25 TRATTAZIONE SINTETICA n. 3 ALUNNO.. Studia la funzione x + x f ( x) = e tracciane il grafico. x + x

26 TRATTAZIONE SINTETICA n. 4 ALUNNO.. I massimi e i minimi relativi di una funzione: enuncia una condizione sufficiente per la loro x + 4 determinazione e applica il teorema alla funzione f ( x) =. x

27 TRATTAZIONE SINTETICA n. 5 Si studi la funzione 3 f ( x) = x x e se ne tracci il grafico. 4