Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Primo compito in itinere 21 Novembre 2016

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1 Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Primo compito in itinere Novembre 0 Cognome: Nome: Matricola: Compito A T: 5 punti T: punti Totale Es: 7 punti Es: 7 punti Es: 0 punti Totale Si consideri la seguente equazione nella variabile complessa z: (z + ( + i ( (a Determinare le soluzioni dell equazione ( e rappresentarle sul piano complesso (b Descrivere l insieme S { w z : z è soluzione di ( con Re z > 0 } e rappresentarlo sul piano complesso Siano f e g le funzioni definite da f( cos artg(sin 9 e g( 4 + tg (a Calcolare i iti f( e g( 0 0 (b Siano F e G le funzioni ottenute prolungando con continuità le funzioni f e g in 0 0 Mostrare, in base al risultato ottenuto, che le funzioni F e G hanno la stessa retta tangente per 0 0 Scrivere l equazione di questa retta Sia f la funzione definita da f( (a Determinare i iti e gli eventuali asintoti di f (b Determinare i punti di derivabilità di f e la derivata prima f (c Studiare la monotonia e gli estremi locali di f (d Disegnare il grafico qualitativo di f (e Determinare l esistenza di almeno una soluzione (0, + dell equazione f( 4 Istruzioni Ogni risposta deve essere giustificata Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche Tempo Prima parte: 5 minuti Seconda parte: ora e 45 minuti

2 Soluzioni (a Iniziamo ad osservare che, per la formula di De Moivre, si ha ( + i ( cos π + i sin π 8 (cos π + i sin π 8 Pertanto, l equazione di partenza diventa (z+ 8 Posto w z+, si ha l equazione w 8, che la sei soluzioni w k ( 8 cos π + kπ + i sin π + kπ k 0,,,, 4, 5, ossia w 0 ( cos π + i sin π ( w ( cos π + i sin π i w (cos 5 π + i sin 5 π + i w (cos 7 π + i sin 7 π ( w 4 (cos π + i sin π i + i ( + i + i i i w 5 (cos π + i sin π ( i i Pertanto, le soluzioni dell equazione ( di partenza sono z 0 w 0 + i z w + i z w + i z w i z 4 w 4 i z 5 w 5 i I punti w 0,, w 5 si dispongono lungo la circonferenza di centro (0, 0 e raggio R, come nella figura seguente I punti z 0,, z 5 si ottengono da quelli precedenti mediante una traslazione di lungo l asse reale, come nella figura seguente

3 w z w w 0 z z 0 0 w w 5 z z 5 w 4 z 4 (b Le soluzioni dell equazione ( con parte reale positiva sono Poiché si ha z 0 z 0 z 5 z 0 z 0 z 0 + i e z 5 i ( + + +, ( + i ( z5 z 5 z 5 i ( i ( + i (a Utilizzando le equivalenze asintotiche, per 0, si ha cos ( artg(sin 9 sin 9 9 tg e quindi Pertanto, si ha 9 cos f( artg(sin g( 0 tg 4 f( e g( (b Poiché i due iti precedenti esistono finiti e sono nulli, le funzioni f e g possono essere estese con continuità in 0 0 considerando, in un intorno di 0 0, le funzioni F e G definite da { { f( 0 g( 0 F ( e G(

4 Poiché F (0 0 e G(0 0, il grafico di F ed il grafico di G passano entrambi per il punto (0, 0 Per determinare la pendenza della retta tangente, si può utilizzare il precedente calcolo dei iti Poiché entrambe le funzioni sono asintotiche a, il coefficiente angolare è m In conclusione, in entrambi i casi, la retta tangente ha equazione Osservazione Equivalentemente, si può dimostrare che le due funzioni F e G sono derivabili in 0 0 Infatti, si ha F ( F ( G( G(0 0 f( 0 0 g( 0 0 Si ritrova così che, in entrambi i casi, la retta tangente esiste e ha equazione Iniziamo con l osservare che la funzione f è definita su tutto R (a Si ha Per ±, si ha e f( [ Quindi, si ha m q f( f( ± ± ] f( ± ± ( 5 + (f( m (f( 5 ± ± 9 Pertanto, f possiede uno stesso asintoto obliquo per ± di equazione (b La funzione non è derivabile solo nei punti in cui si annulla, ossia nei punti 0 0 e, 5 ± ( Negli altri punti di R è derivabile poiché composta di funzioni derivabili e si ha f ( ( / / { 0,, } Si osservi che nei punti di non derivabilità, la funzione f ha tangente verticale (c Il segno di f coincide con quello della funzione g definita da g( ( r ( r dove r e r 9 La funzione f è quindi crescente su (, r (r, + e decrescente su (r, r La funzione ha pertanto un massimo relativo in r e un minimo relativo in r Più precisamente, ha un massimo relativo nel punto (, e ha un minimo relativo nel punto ( 9, 9 4

5 (d Il grafico di f è r (e Consideriamo la funzione F : [0, ] R definita da F ( f( 4 + La funzione F è continua (essendo formata da funzioni continue, F (0 > 0 e F ( 9 < 0 Per il Teorema degli zeri, esiste almeno un elemento ξ 0 (0, tale che F (ξ 0 0 Quindi esiste almeno una soluzione ξ 0 (0, (0, + dell equazione assegnata 5