Analisi Matematica 1 per IM - 11/02/2019. Tema 1 (parte di esercizi)

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1 Analisi Matematica per IM - /2/29 Cognome e Nome: Matricola: Docente: Tempo a disposizione: due ore. Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. Il solo possesso di un telefono cellulare, anche spento, è motivo di esclusione dalla prova. Ogni affermazione deve essere adeguatamente giustificata. Esercizio Tema (parte di esercizi) Sia f la funzione definita da f(x) = arctan ( x 2 ) + x2.. Studiare la funzione f, determinando dominio, simmetrie, segno, continuità, iti ed eventuali asintoti, derivabilità e studio di eventuali punti di non derivabilità, monotonia, eventuali punti di estremo relativo e assoluto. Disegnare il grafico di f. Non è richiesto lo studio della derivata seconda. Sugg: per lo studio del segno può essere utile sapere che arctan t t se e solo se t. 2. Determinare, se esiste, l ordine di infinitesimo per x della funzione. Dominio: dom f = R \ {2}. Segno: f(x) se e solo se ϕ(x) = f(x) + e / x. x 2 x o x > 2. In particolare, f(x) = se e solo se x = ±. Ricerca di asintoti: si ha da cui si deduce x 2 x 2 ± = ±, = ±, x 2 ± e quindi la retta di equazione x = 2 è asintoto verticale. Inoltre, poiché x 2 = ±, () x ± si ottiene f(x) = ±. x ±

2 La funzione non ha asintoti orizzontali, quindi ricerchiamo eventuali asintoti obliqui. Tenendo conto di (), si ottiene ( f(x) x 2 ) x + x = x + x arctan + x2 = x() ( x 2 ) f(x) x = arctan + 2x = π x + x , e, analogamente, f(x) x x = x x arctan f(x) x = x x arctan ( x 2 ( x 2 ) + x2 x() ) + 2x = = π la retta di equazione y = x+2+π/2 è asintoto obliquo a +, mentre la retta di equazione y = x + 2 π/2 è asintoto obliquo a. Derivata prima: f è derivabile in tutto il suo domunio perché composizione e somma di funzioni derivabili. Si ha f 2x() (x 2 (x) = + (x 2 ) 2 /() 2 + ) () 2 x 2 = + (x 2 ) 2 /() 2 + 4x + () 2, da cui si ottiene che f (x) se e solo se x 2 4x + x 2 3 o x f è crescente in, 2 3 e in 2 + 3, + ; f è decrescente in 2 3, 2 e in 2, 2 + 3; f ha un punto di massimo relativo in x = 2 3; f ha un punto di minimo relativo in x = Un abbozzo del grafico si trova in figura 2. Poiché vale da cui si ottiene arctan x 2 x =, ( x 2 ) ( = x2 x 2 ) + o ( f(x) = 2 x2 x 2 ) + o e quindi, per il Principio di Sostituzione degli Infinitesimi, Essendo inoltre, si ottiene x f(x) x = x e / x x x x e quindi ϕ ha ordine di infinitesimo per x. per x, x 2 (x )() = 2. =, ϕ(x) x = 2, per x,

3 Figura : Il grafico della funzione dell esercizio (in rosso il grafico, negli altri colori gli asintoti) Esercizio 2. Studiare la convergenza dell integrale generalizzato (sen x) 2 + cosh x dx. Sugg.: ricordare che cosh t = + t2 2 + o(t2 ) per t. 2. Trovare tutti e soli gli α, + per i quali converge l integrale generalizzato. Poiché per x (sen x) 2α + cosh x α dx. (sen x) 2 = x 2 + o(x 2 ), cosh x = + x2 2 + o(x2 ), per x si ha (sen x) 2 + cosh x = 3 2 x2 + o(x 2 ). (sen x) 2 + cosh x 3 2 x 2 = 3 2 x /2 ln(x/2) per x, e quindi l integrale dato converge per il criterio asintotico del confronto, essendo /2 < e la funzione integranda negativa. 2. Essendo α >, per x valgono (sen x) 2α = x 2α + o(x 2α ), cosh x α = + x2α 2 + o(x2α ),

4 e quindi per x si ha (sen x) 2α + cosh x α = 3 2 x2α + o(x 2α ). (sen x) 2α + cosh x α 3 2 x 2α = 3 2 x 5/2 2α ln(x/2) per x, e quindi, per il criterio asintotico del confronto ed essendo la funzione integranda negativa, l integrale dato converge se e solo se 5/2 2α <, cioè se e solo se α > 3/4. Esercizio 3. Utilizzando la sostituzione x = t, calcolare π 2 t sen t dt. 2. Risolvere il problema di Cauchy { y = y 2 t sen t y(π 2 ) =.. Con la sostituzione proposta e integrando per parti due volte, si ottiene π 2 t sen t dt = 2 π x 2 sen x dx = 2 x 2 cos x π π + 2 = 2π x sen x π π sen x dx x cos x dx = 2π cos x π = 2π Sfruttando il lavoro fatto prima, si ottiene t sen t dt = x 2 cos x+4x sen x+4 cos x+c x= t = t cos t+4 t sen t+4 cos t+c. Procedendo per separazione di variabili e tenendo conto che y 2 dy = y + c, si ottiene che deve valere y(t) = t cos t + 4 t sen t + 4 cos t + c. Sfruttando la condizione iniziale y(π 2 ) =, si ricava la soluzione del problema di Cauchy è = π c c = 3 π 2. y(t) = t cos t + 4 t sen t + 4 cos t + 3 π. 2

5 del test Test C B A E B C D C B B Test B C C A C D E D C B Test D A C D A B C D E B Test C B B C E C D D A D