UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Facoltà di Scienze MM. FF. e NN.

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1 A.A. 2010/ Novembre 2010 I esercitazione Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy y = (y2 4) arctan(1 y 2 ) 1 + y (1) 2 + log(1 + e x2 1 ), y(0) = 0, (b) provare che la soluzione y di (5) è definita in tutto R; (c) studiare la monotonia della soluzione e l eventuale simmetria; (d) calcolare lim x y(x) e lim x y(x); Esercizio 2. Dato il problema di Cauchy y = (1 cos y2 ) arctan(x 2 + y 2 ) + y 2 [1 + log(1 + y 4 )], 4 e (2) 2x2 y(0) = 1, (b) provare che la soluzione y di (7) è positiva e studiare la monotonia della soluzione; (c) dedurre da (b) che y non può essere definita in tutto R ma in (, β), β R + ; (d) calcolare lim x y(x) e lim x β y(x); Esercizio 3. Data la seguente equazione differenziale lineare y + 1 arctan x y = e1/x x2 1 + x, 2 determinare il suo integrale generale.

2 A.A. 2010/ Gennaio 2011 II esercitazione Esercizio 1. Data la funzione 2π-periodica definita in R da ( ) 2, π x x [ π/2, π/2], f(x) = f(x+2π) = f(x), π ( ) π x x [ π, π/2) (π/2, π), 2 (c) calcolare la somma delle serie ( 1) n e n 2 (2n + 1), 2 sapendo che 1 n=1 n = π Esercizio 2. Trovare la temperatura u(x, t) di un asta metallica omogenea di lunghezza cm. 2π, avente α = 1, temperatura iniziale data da f(x) = sin x +6+x/π e i cui estremi sono tenuti a temperatura costante di 6 C e 8 C per ogni t > 0. Dall espressione della soluzione, dedurre poi la somma della serie (2k + 1) 2 4. k=2 y 6y + 13 = 0 y(0) = 3, y (0) = 1

3 A.A. 2010/ Febbraio 2011 II esercitazione Esercizio 1. Data la funzione definita in R da f(x) = 1 cos x, x [ π, π), f(x + 2π) = f(x), (c) calcolare la somma delle serie ( 1) n 4n 2 1 e 1 4n 2 1. Esercizio 2. Trovare la temperatura u(x, t) di un asta metallica omogenea di lunghezza cm. 4, avente α = 1, temperatura iniziale data da f(x) = x 2 + x + 2 e i cui estremi sono tenuti a temperatura costante di 2 C e 6 C per ogni t > 0. Dall espressione della soluzione, dedurre poi la somma della serie (2k + 1), 2 k=2 sapendo che ( 1) k k=0 2k + 1 = π 4. y 5y = 0 y(0) = 2, y (0) = 7

4 A.A. 2010/ Febbraio 2011 I esercitazione Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy y x 3 = 1 + sin 2 (1 e9 y2), y2 (3) y(0) = 4, (b) provare che la soluzione y di (5) è definita in tutto R; (c) studiare la monotonia della soluzione e l eventuale simmetria; (d) calcolare lim x y(x) e lim x y(x); Esercizio 2. Dato il problema di Cauchy (4) y = y(0) = 2, 4x2 2x arctan y2 + [1 + cos 2 (1 + y 2 )]y 3, (b) provare che la soluzione y di (7) è positiva e studiare la monotonia della soluzione; (c) dedurre da (b) che y non può essere definita in tutto R ma in (, β), β R + ; (d) calcolare lim x y(x) e lim x β y(x); y + 2 cos x sin x y = 0 y ( π ) = 1. 2

5 Corso di Complementi di Matematica Laurea Specialistica in Risorse e Rischi Geologici A.A. 2010/ Marzo 2011 I esercitazione Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy y = y 5 (1 + e 3x2 ) + arctan(x2 y 3 ), 1 + e (5) x4 y(0) = 2, (b) provare che la soluzione y di (5) è positiva e studiare la monotonia della soluzione; (c) dedurre da (b) che y non può essere definita in tutto R ma in (, β), β R + ; (d) calcolare lim x y(x) e lim x β y(x); Esercizio 2. Dato il problema di Cauchy y = x 5 (π y) log(1 + sin2 y), 1 + arctan y (6) 3 y(0) = 1, (b) provare che la soluzione y di (7) è definita in tutto R; (c) studiare la monotonia della soluzione; (d) calcolare lim x y(x) e lim x y(x); y 1 ( ) 3/4 x + 2 x 2 4 y = x 2 y ( 4) = 1.

6 Corso di Complementi di Matematica Laurea Specialistica in Risorse e Rischi Geologici A.A. 2010/ Marzo 2011 II esercitazione Esercizio 1. Data la funzione definita in R da x + 1, x [0, 2), f(x) = f(x + 4) = f(x), 1 x [ 2, 0), (c) dedurre la somma della serie (2n + 1). 2 Esercizio 2. Trovare la temperatura u(x, t) di un asta metallica (α = 1) lunga π cm, avente temperatura iniziale data da f(x) = sin 2 x + 2x/π + 7 e i cui estremi sono tenuti a temperatura costante di 7 C e 9 C per ogni t > 0. Dall espressione della soluzione, dedurre poi la somma della serie ( 1) k (2k + 1) [ (2k + 1) 2 4 ]. k=1 y 6y + 9y = 0 y(0) = 1, y (0) = 5

7 A.A. 2010/ Aprile 2011 II esercitazione Esercizio 1. Data la funzione definita in R da [ f(x) = x(1 2 x ), x 1 2, 1 ], f(x + 1) = f(x), 2 (c) calcolare la somma delle serie ( 1) n (2n + 1). 3 Esercizio 2. Trovare la temperatura u(x, t) di un asta metallica omogenea di lunghezza cm. π/3, avente α = 1, temperatura iniziale data da f(x) = x cos 3x x/π e i cui estremi sono tenuti a temperatura costante di 14 C e 12 C per ogni t > 0. Dall espressione della soluzione, dedurre poi la somma della serie ( 1) k+1 2k + 1 (2k + 1) 2 1. k=2 y + xy = e x (x + 1) y(0) = 2

8 8 A.A. 2010/ Giugno 2011 Esercizio 1. Data la funzione definita in R da π x [0, π), f(x) =, f(x + 2π) = f(x), 2x 4π, x [ π, 0) (c) calcolare la somma delle serie (2n 1). 2 Esercizio 2. Dato il problema di Cauchy y = x 5 arctan(y2 1) 1 + arctan x, (7) 2 y(0) = 3, (b) provare che la soluzione y di (7) è definita in tutto R; (c) studiare la monotonia e l eventuale simmetria della soluzione; (d) calcolare lim x y(x) e lim x y(x); y = y + x cos x, x > 0 x y(π) = 1