n=1 c n <. Data la seguente serie di trigonometrica + sin cn 1 cos 2 c2 n sin 2nx, n 2a + 3

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1 Facoltà di Scienze MM. FF. e NN. A.A. 013/014 I Esercitazione 30 Aprile 014 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy x = 3 + cos 3 x, x(0) = 0, studiare esistenza e unicità locale e globale. Provare che x(t) > 0 per t > 0. Esercizio. Data la successione di funzioni f n (t) = cosh 1 nt e 1/n t, t > 0, n N, si chiede di studiare: (a) la convergenza puntuale e uniforme di (f n (x)) n in R + e nei suoi sottoinsiemi; (b) la convergenza totale di n=1 f n(x) in R + e nei suoi sottoinsiemi; 3 (c) calcolare lim (cosh 1nt ) t e 1/n dt. n Esercizio 3. Sia (c n ) n una successione a termini nonnegativi e tale che n=1 c n <. Data la seguente serie di trigonometrica [ ( )] (1 ) } π + sin cn 1 cos c n sin nx, n= stabilire se è la serie di Fourier di una funzione in C T, specificando il valore del periodo T. Esercizio 4. Data la seguente serie di trigonometrica ( ) ( ) 1 + sinh n a n a 3n+n a+1 + cos nx, a > 0, n a + 3 n=1 stabilire se è la serie di Fourier di una funzione analitica in R, specificando il valore del periodo T.

2 Facoltà di Scienze MM. FF. e NN. A.A. 013/014 II Esercitazione 10 Giugno 014 Esercizio 1. Date le funzioni provare che f(x) = x 0 sin t α dt, g(x) = x, x R n, α > 0, ( π g fdx ω n B ove B è la palla di R n di centro 0 e raggio (π/) 1/α. ) n/α Esercizio. Dato il problema di Cauchy y cos y 4x = x(sin y cos y + x ) y() = 1 provare che ammette un unica soluzione e determinarla. Esercizio 3. Dato il seguente problema di Cauchy x = max, x} x(0) = studiare esistenza e unicità locale e globale e tracciare il grafico della soluzione.

3 e Corso di Analisi Matematica 3-6 CFU Corso di Analisi Matematica 4-7,5 CFU A.A. 013/ Giugno 014 Esercizio 1. Date le funzioni f(x) = provare che x 0 sin t α dt, g(x) = x, x R n, α > 0, ( π g fdx ω n B ove B è la palla di R n di centro 0 e raggio (π/) 1/α. ) n/α Esercizio. Dato il problema di Cauchy y cos y 4x = x(sin y cos y + x ) y() = 1 provare che ammette un unica soluzione e determinarla. Esercizio 3. Sia (c n ) n una successione a termini nonnegativi e tale che n=1 c n <. Stabilire se la seguente serie di trigonometrica [ arccos(c n 1) π] sin nx, n=1 è la serie di Fourier di una funzione f in C T, specificando il valore del periodo T. Esercizio 4. Dato il seguente problema di Cauchy x = max, x} x(0) = studiare esistenza e unicità locale e globale e tracciare il grafico della soluzione.

4 Facoltà di Scienze MM. FF. e NN. A.A. 013/ Giugno 014 Esercizio 1. Stabilire per quali valori di a R tutte le soluzioni del sistema lineare x = Ax, x = (x 1, x, x 3 ) T, A = a a a verificano lim x i (t) = 0, per ogni i = 1,, 3. t Esercizio. Data la serie di potenze log n + sin n zn n= determinare il suo disco di convergenza e studiare il suo comportamento sul bordo del disco. Esercizio 3. Date le funzioni f(x) = x + 1 µ e µ x, g(x) = definite in R n e in R n \ 0}, calcolare il seguente integrale R n f gdx. 1, µ > 0, α (1, 3) x α+n 1 Esercizio 4. Calcolare, dopo averla disegnata, l area della seguente superficie } Σ = (x, y, z) R 3 : x + 4y 4, z = x + y.

5 Facoltà di Scienze MM. FF. e NN. A.A. 013/014 Luglio 014 Esercizio 1. Data la successione di funzioni ( f n (x) = log 1 + x ) ( ) x + nx 3 cos, x R + n x n + n 4 0, si chiede di studiare: (a) la convergenza puntuale di (f n (x)) n in R + 0 ; (b) la convergenza uniforme di (f n (x)) n in R + 0 e nei suoi sottoinsiemi; (c) la convergenza puntuale e totale di f n (x) n= ln n in R+ 0 e nei suoi sottoinsiemi. Esercizio. Dato il problema di Cauchy y = y (1 + x ), y() = 0, si chiede di: (a) provare che la soluzione definita in (α, ), α < ; (b) tracciare un grafico qualitativo della soluzione in (α, ). Esercizio 3. Data la funzione f(x) = arctan x definita in R n, calcolare ( f n 1 ) x α n 1 dx x + x 3 ove α (0, 4). R n Esercizio 4. Determinare il raggio di convergenza della seguente serie di potenze n a n (n + ) e n+1 zn, n=0 ove il valore di a n è determinato dalla legge e x = n=0 a n (n + )! xn.

6 A.A. 013/014 5 Settembre 014 Esercizio 1. Stabilire per quali valori di a R tutte le soluzioni del sistema lineare x = Ax, x = (x 1, x, x 3 ) T, A = a a a verificano lim x i (t) = 0, per ogni i = 1,, 3. t Esercizio. Data le seguenti serie trigonometriche ) 1 (e n + arctan n 3 log (3 + n log n) sin nx n n= n= n log n( n n 1) n sin nx stabilire se esse sono le serie di Fourier di una funzione in C T, specificando il valore del periodo T. Esercizio 3. Date due funzioni f e g definite da f(x) = x n β/ in R n \ 0}, g(x) = ove β > 0, α 1/, n > 1, si chiede di (a) calcolare I n (x) = f g dx; R n (b) calcolare lim n I n (x) n ; ( 1 + x β ) α+1 in R n, Esercizio 4. Sia g : R R una funzione di classe C 1 tale che Dato il problema di Cauchy 1 g(s), g (s) 3 per ogni s R. x = g(x) (1 + t ), α > 1, α x(0) = x 0, provare che per ogni x 0 R esso ammette un unica soluzione definita in tutto R e limitata.

7 CdS in Matematica A.A. 013/014 Settembre 014 Esercizio 1. Data la successione di funzioni 1 + cos nx f n (x) = 1 + (n 4 x 4 1), x R, si chiede di studiare: (a) la convergenza puntuale di (f n (x)) n in R; (b) la convergenza uniforme di (f n (x)) n in R, R + e nei sottoinsiemi di R + ; (c) la convergenza uniforme e totale di n= f n(x) in R, R + e nei sottoinsiemi di R +. Esercizio. Dato il problema di Cauchy y = e 1/x 1/y, y(1) = 3, studiare esistenza e unicità locale e globale e calcolare lim y(x) e lim y(x). x 0 + x (Sugg. per calcolare il primo limite utilizzare la proprietà e t t ) Esercizio 3. Disegnare la seguente superficie } Σ = (x, y, z) R 3 : x + 4y = 4, 0 z x + y. e calcolare Σ 1 + 3y ds Esercizio 4. Data la seguente serie di potenze ( ) n + 3 n (n cos nπ log 1 + n n 1 ) (z ) n, n n= determinare il disco di convergenza.

8 A.A. 013/014 3 Gennaio 015 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy y = y 1 + y 1 x y() = 1 tracciare un grafico qualitativo della soluzione, calcolando i limiti della funzione agli estremi del dominio massimale. Esercizio. Data la seguente serie trigonometrica ( ) π cos n n 1 sin nx 4 n= stabilire se essa è la serie di Fourier di una funzione in L T, specificando il valore del periodo T. Esercizio 3. Date le funzioni f(x) = x, g(x) = ( 1 x ) p+3/ p > 0, definite in B 1 R n, n >, si chiede di: (a) verificare che f g L 1 (B 1 ); (b) calcolare I p,n = f g dx B 1 (c) calcolare lim I p,n for all n > ; p (d) calcolare lim I p,n for all p > 0. n Esercizio 4. Calcolare con Σ = Σ y ds } (x, y, z) R 3 : x, y > 0, x + 9y 9, z = x 3 + y.

9 A.A. 013/014 1 Febbraio 015 Esercizio 1. Dato il problema di Cauchy y = min1, y}, y(0) = 1, provare che ammette un unica soluzione definita in tutto R e tracciare il grafico. Esercizio. Data la successione di funzioni nx+sin nx f n (x) = e n e x, x 0, n N, si chiede di studiare: (a) la convergenza puntuale e uniforme di (f n (x)) n in R + 0, in [a, ) e in [a, b]; (b) la convergenza totale di n=1 in R + 0, in [a, ) e in [a, b]; (c) calcolare lim n 3 f n(x) n e x( e sin nx/n 1 ) dx. Esercizio 3. Determinare una funzione g(y) tale che l equazione differenziale y g(y) + x = xy sia esatta in R + R + e calcolare l integrale generale. Calcolare poi la soluzione del problema di Cauchy associato con condizione iniziale y(1) = 1. Esercizio 4. Data la seguente serie di trigonometrica n+1 log ( e 1/x 1 ) dx cos nx, n=1 n stabilire se è la serie di Fourier di una funzione continua in R, specificando il valore del periodo T.