9/11/2010 (I prova in itinere): solo test a risposta multipla

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1 9/11/2010 (I prova in itinere): solo test a risposta multipla 23/12/2010 (II prova in itinere, II parte) Esercizio 1. Posto Σ = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 1}, si chiede di calcolare il flusso del campo F (x, y, z) = (3xz 2 2x 2, 4xy, 4 z 3 ) attraverso la supericie Σ, orientata a piacere. Esercizio 2. Si consideri il problema di Cauchy relativo all equazione 2ty = e y 4 ed alla condizione iniziale y(1) = α, e lo si risolva nei seguenti due casi: (a) α = 0, (b) α = log 4. Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Determinare l antitrasformata di Laplace della funzione F (z) = z 2 (z 2 + 1) 2 nei due modi seguenti: (a) mediante la formula dei residui; (b) tramite un opportuna convoluzione, sapendo che cos α cos β = 1 cos(α + β) + 1 cos(α β). 2 2 Esercizio 4. Per ogni n N, x 0 si ponga f n (x) = nx/(1 + nx 3 ). Si chiede di studiare la convergenza uniforme di (f n ) n su [0, + [: (a) [0, 1], (b) [1, + [, e di calcolare: 2 (c) lim n + f 1 n(x)dx, giustificando la risposta. 11/1/2011 (I prova d appello, II parte) Esercizio 1. Data la funzione f(x, y) = 3x 2 y x 3 si chiede di: (a) determinare i punti stazionari di f su R 2, e classificarli; (b) determinare i valori di estremo assoluto di f sull insieme D = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 5, y x + 1}. Esercizio 2. Calcolare T (2xy2 + y 3 ) 1 dxdy, dove T è il triangolo di vertici (0, 2), (1, 2), (0, 4). Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Utilizzando la trasformata di Laplace, si risolva il problema di Cauchy relativo all equazione y 2y + y = e t sin(2t) (t 0) ed alle condizioni iniziali y(0) = y (0) = 0. Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Per ogni n N, x R sia f n (x) = (1 1 3 x2 ) n. (a) Studiare la convergenza totale della serie n=1 f n(x) su [1, 2]. 1

2 (b) Giustificando il procedimento seguito, calcolare 2 n=1 f 1 n(x)dx. 28/1/2011 (II prova d appello, II parte) Esercizio 1. Determinare i valori di estremo assoluto della funzione f(x, y) = 2x xy sull insieme D = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 2y, x + 2y 1}. Esercizio 2. Sia E = {(x, y, z) R 3 2x 2 +y 2 +z 2 2, z y }: sapendo che il volume di E vale 2π/3, se ne determini il baricentro. Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Determinare la trasformata di Fourier della funzione f(t) = (t 2 + 1) 2. Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Per ogni n N, x 0 si ponga f n (x) = (2n 2 x 2 1)(n 2 x + n) 1, e si studi la convergenza uniforme di (f n ) n sulla semiretta [0, + [. 18/2/2011 (III prova d appello, II parte) Esercizio 1. Calcolare il volume di E = {(x, y, z) R 3 z 3, 4 z 2 x 2 + y 2 3z}. Esercizio 2. Data l equazione differenziale 2y (t 2 1) + ty = 3y 2 e la condizione iniziale y(0) = 1, si risolva il relativo problema di Cauchy. Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Determinare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni: (a) e 2t 4 (b) te t2 /4 Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Sia f(x) = x, π x π. (a) Determinare i coefficienti di Fourier di f. (b) Valendosi del punto precedente, e motivando la risposta, calcolare k=0 (2k + 1) 2. 18/4/2011 (IV prova d appello, II parte) Esercizio 1. Determinare i valori di estremo assoluto della funzione f(x, y) = x 2 +y 2 +2x sull insieme D = {(x, y) R 2 3x 2 +y 2 3, y 1 x}. Esercizio 2. Posto E = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 2y }, si calcoli E 4 x2 y 2 dxdy. 2

3 Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Utilizzando la trasformata di Laplace, si risolva il problema di Cauchy relativo all equazione y + y = t cos t (t 0) ed alle condizioni iniziali y(0) = y (0) = 0. Può essere utile sapere che sin α cos β = 1 sin(α + β) + 1 sin(α β). 2 2 Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Per ogni n N, x 0 si ponga f n (x) = nx 2 e nx, e si studi la convergenza totale della serie n=1 f n(x) sui seguenti insiemi: (a) [0, 1], (b) [1, + [. 27/6/2011 (V prova d appello, II parte) Esercizio 1. Sia f(x, y) = log(y x 2 )+(2x/y) definita sul proprio campo di esistenza A. (a) Determinare i punti stazionari di f in A. (b) Posto E = {(x, y) R 2 3x y 4}, determinare i valori di estremo assoluto di f su E. Esercizio 2. Calcolare T y2 (4 + x 2 y 2 ) 1 dxdy, dove T è il triangolo di vertici (0, 0), (1, 2) e (0, 2). Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Determinare la trasformata di Fourier della funzione f(t) = t(t 2 + 4) 2. Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Per ogni n N, x R si ponga f n (x) = (1+n 2 x 2 ) 1, e si studi la convergenza uniforme della successione (f n ) n sui seguenti insiemi: (a) [ 1, 1], (b) [1, + [. 20/7/2011 (VI prova d appello, II parte) Esercizio 1. Sia E = {(x, y, z) R 3 0 z 1, x 2 + y 2 2yz}. Sapendo che il volume di E vale π/3, se ne determini il baricentro. Esercizio 2. Si risolva il problema di Cauchy relativo all equazione differenziale (2t 2)y = t + y ed alla condizione iniziale y(0) = 1. Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Determinare l antitrasformata di Laplace di F (z) = (z 1)/(z 2 + 2z + 5). Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Data la serie n=1 x(1 + nx) 2 se ne studi la convergenza totale su: 3

4 (a) [0, 1], (b) [1, + [. 8/9/2011 (VII prova d appello, II parte) Esercizio 1. Posto E = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 2x + 4, y 2x 2}, determinare i valori di estremo assoluto della funzione f(x, y) = x 2 y su E. Esercizio 2. Posto D = {(x, y) R 2 x 1, 3x 2 y 6+x 2 }, si calcoli D (y2 x 4 ) 1 dxdy. Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Utilizzando la trasformata di Laplace, si risolva il problema di Cauchy relativo all equazione y + 2y + y = e t sin(2t) ed alle condizioni iniziali y(0) = y (0) = 0. Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Per ogni n N, x 0 si ponga f n (x) = x n+1 e nx, e si stabilisca se la successione (f n ) n converge uniformemente su [0, + [. 4/11/2011 (VIII prova d appello, II parte) Esercizio 1. Posto D = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 4x 2, y x 2}, determinare i valori di estremo assoluto della funzione f(x, y) = y/x su D. Esercizio 2. Sia E = {(x, y, z) R 3 : x 2 1 z 1 y 2, z 0}. Sapendo che il volume di E vale π, se ne determini il baricentro (si consiglia di procedere per strati paralleli al piano xy). medskip Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Determinare l antitrasformata di Laplace di F (z) = (z 1)/(z 2 + 2z + 5). Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Data la serie n=1 x(1 + nx) 2 se ne studi la convergenza totale su: (a) [0, 1], (b) [1, + [. 4/11/2011 (I prova in itinere): solo test a risposta multipla 4

5 23/12/2011 (II prova in itinere, II parte) Esercizio 1. Posto Σ = {(x, y, z) R 3 x 2 + 2y 2 + z 2 = 4, z 2 x}, si chiede di calcolare il flusso del campo F (x, y, z) = (z 2x, y, 4x+z) attraverso la superficie Σ, orientata a piacere. Esercizio 2. Risolvere il problema di Cauchy relativo all equazione differenziale (2t 1)y = 4ty + e t y ed alla condizione iniziale y(0) = 1/4. Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Utilizzando la trasformata di Laplace, si risolva il problema di Cauchy relativo all equazione y 2y + 5y = e t cos(2t) (t 0) ed alle condizioni iniziali y(0) = y (0) = 0 (si ricorda che sin α cos β = 1 sin(α + β) + 1 sin(α β)). 2 2 Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Data la serie n=1 x(n2 + nx) 1, se ne studi, al variare di r > 0, la convergenza totale su [0, r] ed [r, + [. 13/1/2012 (I prova d appello, II parte) Esercizio 1. Posto E = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 4x, y x}, determinare i valori di estremo assoluto della funzione f(x, y) = xy 3 e 2x su E. Esercizio 2. Posto D = {(x, y) R 2 1 x 2, xy 2 1}, si calcoli y2 x D 2 x dxdy. Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Determinare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni, osservando, nel punto (b), che t e t = e t (d/dt)(te t ): (a) e (t+1)2 /8, (b) t e t. Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Sia f(x) = x 2, π x π. (a) Determinare i coefficienti di Fourier di f. (b) Valendosi del punto precedente, e motivando la risposta, calcolare n=1 n 2. 5

6 1/2/2012 (II prova d appello, II parte) Esercizio 1. Posto E = {(x, y, z) R 3 4 x 2 + y 2 + z 2 9, z 1}, si calcoli il volume di E. Esercizio 2. Determinare due distinte soluzioni del problema di Cauchy relativo all equazione differenziale y = y 4y 2 1 ed alla condizione iniziale y(0) = 1/2 (facoltativo: spiegare perché ciò è possibile). Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Determinare la trasformata di Fourier della funzione f(t) = t 2 (t 4 + 5t 2 + 4) 1. Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Sia f(x) = (2 + x) 1 (2 x), x 2. Giustificando il procedimento seguito, si calcoli n=1 6 1 f(x)n dx. 20/2/2012 (III prova d appello, II parte) Esercizio 1. Posto f(x, y) = x 2 + y 2 y, si chiede di determinare: (a) i punti stazionari di f, e classificarli; (b) i valori di estremo assoluto di f su E = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 4x, x 1} Esercizio 2. Posto D = {(x, y) R 2 : 1 x 2, 0 y x } si calcoli D x 1 log(x 2 + y 2 ) dxdy. Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Tramite un uso opportuno della trasformata di Laplace si esprima, per ogni t > 0, n N, il valore dell integrale t τ n (t τ) n dτ. 0 Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Dedurre dalla seguente uguaglianza, tramite motivata integrazione per serie sull intervallo [1, 2], il valore di n=2 ( 1)n (n 3 n) 1. n=2 (1 x) n n 2 n = 1 x + x log x, 0 < x 2. 11/4/2012 (IV prova d appello, II parte) Esercizio 1. Calcolare il volume di E = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 z 2y, y x + 1}.. 6

7 Esercizio 2. Date l equazione differenziale y (t 2 t) + 1y(2 t) = 2 t2 e la condizione iniziale y( 1) = 1, si risolva il relativo problema di Cauchy. 2 2 Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Utilizzando la trasformata di Laplace, si risolva il problema di Cauchy relativo all equazione y 2y + y = e t sin(2t) (t 0) ed alle condizioni iniziali y(0) = y (0) = 0. Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Sia J l insieme di convergenza della serie di potenze n=1 ( 1)n+1 x n /(n 2 + n), e ne sia f la funzione somma: si determini J, si stabilisca se f è continua su J e si fornisca l espressione esplicita di x 2 f (x) + x sull interno di J. 15/6/2012 (V prova d appello, II parte) Esercizio 1. Determinare i valori di estremo assoluto della funzione f(x, y) = x 3 y 2 sull insieme D = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 2y + 3, 0 x 2y}. Esercizio 2. Sia A = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1, y x 2}: calcolare il volume del solido generato dalla rotazione di A attorno all asse y. Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Determinare l antitrasformata di Laplace della funzione F (z) = z 3 (1 + z 2 ) 2. Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Per ogni n N, x 0 si ponga f n (x) = nx 2 e nx, e si studi la convergenza totale della serie n=1 f n(x) sui seguenti insiemi: (a) [0, 1], (b) [1, + [. 19/7/2012 (VI prova d appello, II parte) Esercizio 1. Posto D = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 4, x 1}, si calcoli x2 + y D 2 1 dxdy. Esercizio 2. Date l equazione differenziale 2ty = y 2 2y 3 e la condizione iniziale y(1) = α, si risolva il relativo problema di Cauchy nei seguenti due casi: α = 2, α = 1. Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Determinare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni: (a) e 2t 4 (b) te t2 /4 Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Giustificando il procedimento seguito, calcolare 2 n=1 ( x2 ) n dx. 7

8 7/9/2012 (VII prova d appello, II parte) Esercizio 1. Posto E = {(x, y, z) R 3 x 2 z 2 1 y 2, z 0}, si determini il baricentro di E. Esercizio 2. Data l equazione differenziale (t t 2 )y = 1 (1+ty), si chiede 2 di determinarne l integrale generale sulla semiretta t > 1. Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Determinare la trasformata di Fourier della funzione f(t) = t(t 2 + 4) 2. Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Data la serie n=1 x(1 + nx) 2 se ne studi la convergenza totale su: (a) [0, 1], (b) [1, + [. 5/10/2012 (VIII prova d appello, II parte) Esercizio 1. Data la funzione f(x, y) = (x 1) 2 y si chiede di determinare: (a) i punti stazionari di f su R 2, e di classificarli; (b) min D f e max D f, dove D = {(x, y) R 2 x 2 + 5y 2 5, x 0 }. Esercizio 2. Posto E = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 4, x 1}, si calcoli E (x2 + y 2 ) 2 dxdy. Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Utilizzando la trasformata di Laplace, si risolva il problema di Cauchy relativo all equazione y + y = t cos t (t 0) ed alle condizioni iniziali y(0) = y (0) = 0. Si ricorda che: sin α cos β = 1 sin(α + β) + 1 sin(α β). 2 2 Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Determinare lo sviluppo in serie di Fourier su [ π, π] della funzione f(x) = x, e dedurne il valore di k=0 (2k + 1) 2. 12/11/2012 (IX prova d appello, II parte) Esercizio 1. Determinare i valori di estremo assoluto della funzione f(x, y) = x 2 +y 2 +2x sull insieme D = {(x, y) R 2 3x 2 +y 2 3, x+y 1}. Esercizio 2. Sia E = {(x, y, z) R 3 : x 2 1 z 1 y 2, z 0}. Sapendo che il volume di E vale π, se ne determini il baricentro (si consiglia di procedere per strati paralleli al piano xy). 8

9 Esercizio 3. (N.B. solo per Ingegneria Elettronica). Determinare l antitrasformata di Laplace della funzione F (z) = z 2 (z 2 + 1) 2. Esercizio 4. (N.B. solo per Ingegneria Informatica). Sia f(x) = (2 + x) 1 (2 x), x 2. Giustificando il procedimento seguito, si calcoli n=1 6 1 f(x)n dx. 23/12/2010 1) [ ±9π ] Risultati 2) a - [ y(t) = log((3t 2 + 1)/4), t > 0 (prolungabile a tutto IR) ] / b - [ y(t) log 4, t IR ] 3) [ y(t) = 1 (t cos t + sin t), t 0 ] 2 4) a - [ no ] / b - [ sì ] / c - [ 1/2 ] 11/1/2011 1) a - I punti stazionari sono quelli dell asse y. Il punto (0, y) è di minimo o di massimo locale a seconda che y > 0 o y < 0, mentre (0, 0) non è di estremo locale / b - [ min D f = 4 = f( 2, 1), max D f = 20 = f( 2, 1) ] 2) [ (log 4 1)/8 ] 3) [ y(t) = 1 4 et (2t sin(2t)), t 0 ] 4) a - Per x [1, 2] si ha f n (x) (2/3) n : dunque la serie converge totalmente su [1, 2] / b - [ 1/2 ] 28/1/2011 1) [ min D f = 1 = f( 1, 1), max D f = 27/25 = f(3/5, 1/5) ] 2) [ (0, 0, 3/4) ] 3) [ ˆf(s) = (π/2)e s (1 + s ) ] 4) Si ha convergenza uniforme sulla semiretta data. 9

10 18/2/2011 1) [ 71π/6 ] 2) [ y(t) = (1 + t) 1 (2 1 t), 1 < t < 1 ] 3) a - [ ˆf(s) = 4 πise s 2 ] / b - [ ˆf(s) = 4e 2is (s 2 + 4) 1 ] 4) a - [ a 0 = π, a n = 0 per n 0 pari, a n = 4/(πn 2 ) per n dispari ] / b - [ π 2 /8 ] 18/4/2011 1) [ min D f = 1 = f(0, 1), max D f = 7/2 = f(1/2, 3/2) ] 2) [ (2π/ 3) (10/9) ] 3) [ y(t) = 1 4 (t2 sin t + t cos t sin t), t 0 ] 4) a - [ no ] / b - [ sì ] 27/6/2011 1) a - [ (1/2, 1/2) ] / b -[ min E f = log 3 3 = f( 1/ 3, 2/3), max E f = log(8/9) + 1 = f(2/3, 4/3) ] 2) [ (π log 4)/4 ] 3) [ ˆf(s) = (π/4)ise 2s ] 4) a - [ no ] / b - [ sì ] 20/7/2011 1) [ (0, 3/4, 3/4) ] 2) [ y(t) = t t, t < 1 ] 3) [ y(t) = e t (cos(2t) sin(2t)), t 0 ] 4) a - [ no ] / b - [ sì ] 8/9/2011 1) [ min E f = 8/27 = f(2/3, 2/3), max E f = 8 = f(2, 2) ] 2) [ 1 2 (log(3/2) π/(6 3)) ] 3) [ y(t) = (e t /4)(2t sin(2t)), t 0 ] 4) Si ha convergenza uniforme sulla semiretta data. 10

11 4/11/2011 1) [ min D f = 1 = f(1, 1), max D f = 1 = f(1, 1) ] 2) [ (0, 0, 4/(3π)) ] 3) [ y(t) = e t (cos(2t) sin(2t)), t 0 ] 4) a - [ no ] / b - [ sì ] 23/12/2011 1) [ ±4π ] 2) [ y(t) = e 2t ( 5 4 2t 1 2t), t 3/8 ] (la soluzione è prolungabile alla semiretta t > 3/8 con valore nullo) 3) [ y(t) = 1 4 tet sin(2t), t 0 ] 4) Per ogni r > 0 la serie converge totalmente su [0, r], ma non su [r, + [. 13/1/2012 1) [ min E f = 3 3/e 2 = f(1, 3), max E f = 16/e 4 = f(2, 2) ] 2) [ (4 π)/3 ] 3) a - [ ˆf(s) = 8πe is 2s 2 ] / b - [ ˆf(s) = 2(1 s 2 )(s 2 + 1) 2 ] 4) a - [ a 0 = 2π/3, a n = ( 1) n 4/n 2 per n 0 ] / b - [ π 2 /6 ] 1/2/2012 1) [ 23π/3 ] 2) [ y(t) 1/2, t IR ], [ y(t) = (2 cos t) 1, 0 t < π/2 ]. L esistenza di due soluzioni è possibile in quanto la derivata di y 4y 2 1 tende a + per y 1/2 +. 3) a - [ ˆf(s) = (π/3)(2e 2s e s ) ] 4) a - [ log 6 (5/2) ] (si può integrare per serie in quanto f(x) n 2 n per x [1, 6]) 20/2/2012 1) a - I punti stazionari sono quelli del tipo (0, y), con y > 0, e sono tutti di minimo assoluto / b - [ min E f = 2 3 = f(1, 3), max E f = 3 3 = f(3, 3) ] 11

12 2) [ 5 log (π/2) ] 3) [ (n!) 2 t 2n+1 /(2n + 1)! ] 4) [ log 4 (5/4) ] (detta n=2 f n(x) la serie data, essa converge totalmente su [1, 2] in quanto 1 x 2 f n (x) (n 2 n) 1 1/n 2 ). 11/4/2012 1) [ π/4 ] 2) [ y(t) = t(2 (2 2t) 1/2 ), 0 < t < 1 (prolungabile a ], 1[) ] 3) [ y(t) = 1 4 et (2t sin(2t)), t 0 ] 4) J = [ 1, 1], f è continua su [ 1, 1] e, su ] 1, 1[, risulta x 2 f (x) + x = log(1 + x) 15/6/2012 1) [ min D f = 0 = f(0, y), 0 y 3, max D f = 12 3 = f( 3, 2) ] 2) [ (2π/3)(16 2) ] 3) [ f(t) = cos(t) 1 2 t sin(t) ] 4) a - [ no ] / b - [ sì ] 19/7/2012 1) [ (1/3)(2π log 4) ] 2) [ y(t) = (9 t 2 )/(t 2 + 3), t > 0 (prolungabile a tutto IR) ] 3) a - [ ˆf(s) = 4e 2is (s 2 + 4) 1 ] / b - [ ˆf(s) = 4 πise s 2 ] 4) [ 1/2 ] (per x [1, 2] si ha f n (x) (2/3) n : dunque la serie converge totalmente su [1, 2]) 7/9/2012 1) [ (0, 0, 3π/16) ] 2) [ y(t) = (c arctg t 1)/ t 1, c IR, t > 1 ] 3) [ ˆf(s) = (π/4)ise 2s ] 4) a - [ no ] / b - [ sì ] 12

13 5/10/2012 1) [ min D f = 1 = f(0, 1), max D f = 1 = f(0, 1) ] 2) [ (π/12) + ( 3/8) ] 3) [ y(t) = 1 4 (t2 sin t + t cos t sin t), t 0 ] 4) a - [ a 0 = π, a n = 0 per n 0 pari, a n = 4/(πn 2 ) per n dispari ] / b - [ π 2 /8 ] 12/11/2012 1) [ min D f = 1 = f(0, 1), max D f = 7/2 = f(1/2, 3/2) ] 2) [ (0, 0, 4/(3π)) ] 3) [ y(t) = 1 (t cos t + sin t), t 0 ] 2 4) a - [ log 6 (5/2) ] (si può integrare per serie in quanto f(x) n 2 n per x [1, 6]) 13