Scritto d esame di Analisi Matematica

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1 116 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Pisa, 15 Gennaio 2000 x 0 sin x 4 x 4 (arctan x x) eterminare, al variare del parametro λ R, il numero di soluzioni dell equazione 2x 2 = λe 3x + x. a n+1 = a n e (an+1), a 0 = α. (a) Nel caso particolare α = 2000, studiare il comportamento della successione. (b) Sempre nel caso α = 2000, studiare il comportamento della serie a n. n=0 (c) Studiare l esistenza e l unicità di un valore α R per cui si abbia che a 2000 = 1/ Sia Ω = { (x, y) R 2 : π x 2π, 0 y sin x }. (a) Calcolare l area di Ω. (b) Calcolare Ω x cos x dx dy. (c) Calcolare il volume dei due solidi di rotazione ottenuti ruotando Ω, rispettivamente, attorno all asse x e attorno all asse y. Scritto d esame Telecomunicazioni

2 Capitolo 2: Scritti d esame 117 Pisa, 3 Febbraio 2000 arctan(x + 2x 3 ) x. x 0 x 3 + sin x 4 2. Calcolare estremo inferiore e superiore dell insieme { } n 2 2n + 6 A = : n N, n 2. n a n+1 = 3 an n + 1, a 1 = α. (a) Nel caso particolare α = 30, dimostrare che a n è itata. (b) Sempre nel caso α = 30, studiare il comportamento della successione. (c) Studiare l esistenza e l unicità di un valore α R per cui si abbia che a 2000 = Consideriamo l equazione differenziale y + y = e x. (a) Trovare la soluzione che soddisfa le condizioni y(0) = 0, y (0) = 0. (b) Trovare (se ne esistono) le soluzioni che soddisfano la condizione + 0 y(x) dx = 46. Scritto d esame Telecomunicazioni

3 118 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Pisa, 17 Febbraio 2000 (n + 2) n (n 2) n n + (n + 1) n (n 1). n 2. Studiare, al variare del parametro λ R, il numero di soluzioni dell equazione x + λ x λx x = Studiare, al variare del parametro α R, il comportamento della serie n=1 ( e 1/n2 cos 1 n) α. 4. Siano f(x, y) = x y, = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 1 }. (a) eterminare il massimo ed il minimo di f in, e trovare i punti di massimo/minimo. (b) Calcolare f(x, y) dx dy. Scritto d esame Telecomunicazioni

4 Capitolo 2: Scritti d esame 119 Pisa, 3 Giugno 2000 log(1 + x 2 ) x sin x x sin x 4 cos x Consideriamo la funzione f(x) = x 2 2x 4 + x 6. (a) Calcolare (se esistono) il massimo ed il minimo di f nell intervallo [0, 1/2], determinando anche gli eventuali punti di massimo e minimo. (b) Stessa domanda nell intervallo [0, 1]. (c) Studiare il comportamento della serie al variare del parametro α R. n=1 [ f ( )] α 1 n a n+1 = a 4 n + a 5 n, a 0 = α. (a) Studiare il comportamento della successione nel caso particolare α = 1. (b) Studiare il comportamento della successione nel caso particolare α = 1/2. (c) Nel caso particolare α = 1/2, studiare il comportamento della successione {a n n!}. 4. Siano x f(x, y) = (x + y)e 2 +y 2, = { (x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4, 0 y x }. Calcolare f(x, y) dx dy. Scritto d esame Telecomunicazioni

5 120 Prove d Esame di Analisi Matematica Versione 2006 Pisa, 9 Settembre 2000 cos x cosh x + x. x 0 + log(1 + x 3 ) 2. Studiare, al variare del parametro λ R, il numero di soluzioni dell equazione ( ) x 2 arctan = λ. x 2 Calcolare quindi l estremo superiore dell insieme costituito dai λ per cui l equazione ammette esattamente due soluzioni reali x 1, x 2, tali che x 1 x 2 < Calcolare i seguenti integrali 2 0 x 1 e x dx, + 0 x 1 e x dx. 4. Siano f(x, y) = y 2 x 2 4y, = { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 9 }. (a) Calcolare (se esistono) il massimo ed il minimo di f in, determinando anche gli eventuali punti di massimo e minimo. (b) Stessa domanda per la funzione f(x, y). Scritto d esame Telecomunicazioni

6 Capitolo 2: Scritti d esame 121 Pisa, 23 Settembre 2000 ( 1 n + n + 1 sin 1 ) (n 2 + sin(n + 1) 2). n 2. Consideriamo la funzione f(x) = x sin x + cos x. (a) Calcolare massimo e minimo di f nell intervallo [ 1, π], determinando anche i punti di massimo e di minimo. (b) eterminare quanti sono i valori x [0, 4π] tali che f(x) = 2. (c) imostrare che l insieme { x 0 : f(x) x + 1 } 2000 è non vuoto e itato. a n+1 = a n + n 2n + 1, a 0 = α. (a) Studiare il comportamento della successione al variare del parametro α R. (b) Nel caso particolare α = 2000, studiare il comportamento della serie [a n ] n. 4. Sia = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1}. Calcolare (x + 3y 2 ) dx dy, ( x + 3y 2 ) dx dy. n=0 Scritto d esame Telecomunicazioni