Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico Prof. Michela Redivo Zaglia

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1 Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico Prof. Michela Redivo Zaglia Nota Bene: Gli esercizi di questa raccolta sono solo degli esempi. Non sono stati svolti né verificati e servono unicamente da spunto per utilizzare i metodi di risoluzione proposti durante il corso Matrici e sistemi lineari Esercizio Dimostrare che la seguente matrice non è definita positiva applicando ad essa il metodo di Cholesky A = Esercizio 2 Data la matrice Si determinino le norme infinito ed della matrice. Esercizio 3 Tridiagonalizzare, se possibile, la matrice Esercizio 4 Dato il sistema lineare x 3x 2 +x 3 x 4 = x x 2 +2x 3 = 2x x 2 +x 3 = 2 2x 2 +2x 4 = elencare i metodi che si potrebbero adoperare per la soluzione e discuterli indicando i vantaggi e gli svantaggi di ciascuno, poi scegliere quello ritenuto più conveniente e risolverlo. Esercizio 5 Verificare se il metodo di Jacobi e quello di Gauss-Seidel sono convergenti considerando il seguente sistema Ax = b. Esercizio 6 Dato il sistema lineare lo si risolva mediante il metodo di Gauss Seidel: 33.7x.2x 2.8x 3 +3.x 4 = 6.3.2x +57x x 3 5x 4 = 54..8x +6.4x x 3 +.6x 4 = x 5x 2 +.6x x 4 = 54 x.x 2.x 3 x 4 = x +x 2 3x 3 +2x 4 = 5.x 2 +x 3 x 4 = 3 x +x 3 +x 4 = 2

2 . Costruire la matrice del metodo di Gauss Seidel B GS a partire dalla matrice A del sistema. 2. Scrivere l equazione caratteristica di B GS. 3. Studiarne gli autovalori determinando quanti sono reali e quanti complessi, determinare un intervallo di separazione per le radici reali uguale a e verificare se le radici reali e la parte reale delle complesse sono minori di. Esercizio 7 Come l esescizio 6 ma per il sistema lineare x.x 2.x 3 x 4 =.2 x +x 2 3x 3 +2x 4 = 4.x 2 +x 3 x 4 = 2 x +x 3 +x 4 = Esercizio 8 Si vuole applicare ad un sistema avente la seguente matrice il metodo di Jacobi.. Si dimostri se vi è convergenza del metodo applicato a questa matrice. Esercizio 9 Data la matrice A = ottenere la matrice associata di Jacobi e quella di Gauss-Seidel.. Verificare se vi è o meno convergenza per Jacobi e Gauss Seidel. Esercizio Dire se il seguente sistema lineare è risolubile ed in caso affermativo lo si risolva con il metodo di Jacobi e di Gauss Seidel. 4x 2x 4 =. 3x 2 x 3 = 5.5 x 2x 2 +3x 3 = x 2 +x 4 = 5 Esercizio Dire il metodo di Jacobi e quello di Gauss Seidel sono convergenti se applicati al sistema lineare x 2x 2 +3x 3 x 4 = x 2 +x 3 +2x 4 = 2x x 2 +x 3 = 2 2x 2 +x 4 = 4 Esercizio 2 Come l esercizio ma applicato al sistema x 2x 2 +6x 3 x 4 = x 2 +x 3 +2x 4 = 5x x 2 +x 3 = 2/3 2x 2 +x 4 = 4 2

3 Esercizio 3 Come l esercizio ma applicato al sistema x 2x 2 +x 3 x 4 = 2x x 2 +3x 3 +x 4 = 2 3x +x 2 x 3 +4x 4 = 2 x x 2 x 3 +4x 4 = Esercizio 4 Come l esercizio ma applicato al sistema x 3x 2 +2x 3 x 4 = x 2 +x 3 +3x 4 = 2 3x x 2 +2x 3 = 3 4x 2 +x 3 +x 4 = 4 Esercizio 5 Calcolare la soluzione del seguente sistema lineare mediante un metodo ritenuto adatto. x +x 2 2x 3 = 2 x +x 3 = 2x 2 x 3 = 2 Esercizio 6 Dato il sistema lineare Ax = b dove dire se i metodi iterativi di Jacobi e di Gauss Seidel sono convergenti. Dire inoltre se è applicabile il metodo SOR ed eventualmente sotto quali condizioni. Esercizio 7 Data la matrice se ne trovi l inversa ed il determinante utilizzando la fattorizzazione di Gauss. Esercizio 8 Data la matrice se ne trovi l inversa ed il determinante utilizzando la fattorizzazione di Gauss. Esercizio 9 Utilizzando la fattorizzazione di Gauss si trovi l inversa della matrice ed il determinante A = Esercizio 2 Come l esercizio 9, ma per la matrice A =

4 Esercizio 2 Dato il sistema lineare Ax = b dove dire se i medodi iterativi di Jacobi e di Gauss Seidel sono convergenti. Esercizio 22 Come l esercizio 2, ma con Esercizio 23 Come l esercizio 2, ma con Esercizio 24 Come l esercizio 2, ma con Esercizio 25 Come l esercizio 2, ma con Esercizio 26 Come l esercizio 2, ma con Esercizio 27 Risolvere il sistema lineare Ax = b dove 2 6 A = nel senso dei minimi quadrati. e b = Esercizio 28 Verificare per quali valori di k convergono i metodi di Jacobi e di Gauss Seidel applicati al sistema lineare Ax = b dove 8 k 3 4 e b =

5 Esercizio 29 Dire se il sistema lineare Ax = b è risolubile mediante il metodo di Jacobi quando 5 2 A = Esercizio 3 Scrivere l equazione caratteristica della matrice 4 4 A = e discutere le radici di tale equazione. 2 Integrali Esercizio 3 Calcolare l integrale + x con un errore dell ordine di 5, indicando tutti i passi del calcolo. Esercizio 32 Come l esercizo 3, ma per l integrale Esercizio 33 Si calcoli il seguente integrale 2 + x 2 ( ) e 3x x 3 + 2x 2 + x + 3 mediante una integrazione composta in modo che l errore commesso abbia l ordine di grandezza 3. Si tenga conto che l errore si può calcolare esattamente essendo l integrale calcolabile analiticamente. Esercizio 34 Calcolare, mediante l integrazione dei trapezi composti, 2 confrontando i risultati ottenuti con m = 2 ed m = 4. 2 ( ) e 3(x+2) x 2 + Esercizio 35 Usando la formula dei Trapezi composta per m =, 2, 4, calcolare i valori approssimati dell integrale 4 + x 2 e paragonare i risultati con il valore esatto. Calcolare anche la migliore approssimazione di Romberg. 4 Esercizio 36 Determinare 2 ln x mediante la formula di quadratura di Cavalieri Simpson. Scrivere un algoritmo che, suddividendo opportunamente l intervallo, calcoli tale integrale con un errore minore di 3. 5

6 Esercizio 37 Data la funzione tabulata nel modo seguente x f(x) calcolare l integrale mediante la formula dei Trapezi composta e quella di Cavalieri Simpson nell intervallo; 2. dopo aver costruito la tavola delle differenze finite in avanti, calcolare il valore della funzione nel punto.45. Esercizio 38 Data la funzione tabulata nel modo seguente x f(x) calcolare l integrale mediante la formula dei Trapezi composta e quella di Cavalieri Simpson nell intervallo; 2. dopo aver costruito la tavola delle differenze divise, calcolare il valore della funzione nel punto.45. Esercizio 39 Approssimare usando la formula dei trapezi composta I = suddividendo l intervallo in m = 2, 4,... parti ed arrestandosi quando l errore assoluto rispetto alla soluzione esatta è minore di 2. Si calcoli anche la migliore approssimazione di Romberg. sin x x Esercizio 4 Calcolare π π(x ) sin 4 4 Applicare la formula dei trapezi composta in modo che l errore sia minore di 4. Stabilire pertanto quanti punti si debbano prendere per il calcolo. Esercizio 4 Calcolare con la regola di Cavalieri-Simpson con un errore minore di 3. I = ( ) e x x 2 + sin x Esercizio 42 Mostrare che la formula di quadratura di Simpson è esatta se è applicata all integrale 2π sin x 6

7 Esercizio 43 Approssimare I = e x2 con massimo errore assoluto minore di 3 usando la formula dei trapezi e quella di Cavalieri Simpson. Esercizio 44 Come l esercizio 43 ma per l integrale I = 2 Esercizio 45 Come l esercizio 43 ma per l integrale x cos x I = sin x x Esercizio 46 Come l esercizio 43 ma per l integrale I = π 2 Esercizio 47 Calcolare numericamente l integrale π 2 sin x x 6 2 x 2 con la formula di Cavalieri Simpson, valutando l errore commesso. Esercizio 48 Come l esercizio 47 ma per l integrale 4 + y y 2 dy Esercizio 49 Facendo uso dell uguaglianza π 4 = + x 2 calcolare un valore approssimato di π/4 con un errore 3. Esercizio 5 Facendo uso dell uguaglianza log 2 = + x calcolare un valore approssimato di log 2 con un errore 3. 3 Equazioni differenziali Esercizio 5 Dato il seguente problema di Cauchy y = e x+y y() = si valuti un approssimazione di y(.4) con il Metodo di Eulero Esplicito (m =, 2, 4 passi), Heun ed Eulero Modificato (m =, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = passo. 7

8 Esercizio 52 Dato il seguente problema di Cauchy y = 2(y ) 2 x y() = 2 si valuti un approssimazione di y(.2) con il Metodo di Eulero Esplicito (m =, 2, 4 passi), Heun ed Eulero Modificato (m =, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m =, 2 passi. Esercizio 53 Dato il seguente problema di Cauchy y = 2 + x y 2 x y(.5) = 3 si valuti un approssimazione di y(.) con il Metodo di Eulero Esplicito (m =, 2, 4 passi), Heun ed Eulero Modificato (m =, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m =, 2 passi. Esercizio 54 Dato il seguente problema di Cauchy y = y + e x y() = si valuti un approssimazione di y(.) con il Metodo di Eulero Esplicito (m =, 2 passi), Heun ed Eulero Modificato (m =, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m =, 2 passi. Esercizio 55 Come l esercizio 54 ma per il problema y = y + x 2 y() = 4 Esercizio 56 Dato il seguente problema di Cauchy y = 2x x 2 y + y() = 2 si valuti un approssimazione di y(2.) con il Metodo di Eulero Esplicito (m =, 2, 4 passi), Heun ed Eulero Modificato (m =, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m =, 2 passi. Esercizio 57 Applicare il metodo di Runge Kutta classico al problema y = 3 y 2 2/3 y() = e confrontare le soluzioni ottenute con h =. ed h =.5. Esercizio 58 Dato il seguente problema di Cauchy y = ye x + 2x y() = si valuti un approssimazione di y(.4) con il Metodo di Eulero Esplicito (m =, 2, 4 passi), Heun ed Eulero Modificato (m =, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m =, 2 passi. Esercizio 59 Come l esercizio 58 ma per il problema differenziale y = x + sin y y() = π 2 8

9 Esercizio 6 Come l esercizio 58 ma per il problema differenziale Esercizio 6 Dato il seguente problema di Cauchy y = e xy y() = y = 2y + x 3 y() = 4 si valuti un approssimazione di y(.2) con il Metodo di Eulero Esplicito (m =, 2, 4 passi), Heun ed Eulero Modificato (m =, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m =, 2 passi. Esercizio 62 Dato il seguente problema di Cauchy y = xy /3 + y() = si valuti un approssimazione di y(.4) con il Metodo di Eulero Esplicito (m =, 2, 4 passi), Heun ed Eulero Modificato (m =, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = passo. Esercizio 63 Come l esercizio 62 ma per il problema Esercizio 64 Dato il problema ai valori iniziali y = xy /3 + y() = 2 y = y 2 + x y() = si valuti un approssimazione di y(.4) con il Metodo di Eulero Esplicito (m =, 2, 4 passi), Heun ed Eulero Modificato (m =, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m =, 2 passi. Esercizio 65 Come l esercizio 64 ma per il problema Esercizio 66 Dato il problema ai valori iniziali y = (y + ) 2 y() = y = y + x 2 y() = 4 si valuti un approssimazione di y(.4) con il Metodo di Eulero Esplicito (m =, 2, 4 passi), Heun ed Eulero Modificato (m =, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m =, 2 passi. Esercizio 67 È dato il problema di Cauchy y = y 2 y() = Calcolare un valore approssimato di y(.4) con il metodo di Runge Kutta con m = passi. Si verifica facilmente che nell intervallo (,.4) la soluzione del problema è Si calcoli l errore relativo. y(x) = e2x e 2x + 9

10 Esercizio 68 Dato il problema ai valori iniziali y = y2 x + 2 x 3 y() = si valuti un approssimazione di y(.4) con il Metodo di Eulero Esplicito (m =, 2, 4 passi), Heun ed Eulero Modificato (m =, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = passo. Esercizio 69 Come l esercizio 68 ma per il problema ai valori iniziali Esercizio 7 Dato il problema di Cauchy y = 2 x y2 y() = y = cos y y() = π si valuti un approssimazione di y(.4) con il Metodo di Eulero Esplicito (m =, 2, 4 passi), Heun ed Eulero Modificato (m =, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = passo. Esercizio 7 Come l esercizio 7 ma per il problema 4 Equazioni non lineari y = y 2 + x 2 y() = Esercizio 72 Si determini il numero di radici reali ed i relativi intervalli di separazione dell equazione x 3 x 2 x = Come scrivere l equazione in modo da applicarvi il metodo del punto fisso e facendo sì che il metodo sia convergente? Esercizio 73 Data la seguente equazione, determinare un intervallo che contiene tutte le sue radici reali. x 4 3x 3 2x 2 + 3x 5 = Approssimare con un errore ε < 4 le radici reali separate rispettivamente dagli intervalli (3, 4) e ( 2, ). Esercizio 74 Data la seguente equazione, determinare un intervallo che contiene tutte le sue radici reali. x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 9x 2 = Approssimare con un errore ε < 3 la radice contenuta nell intervallo ( 3, ). Esercizio 75 Data l equazione 3x 5 25x 3 + 6x λ =. determinare gli eventuali valori di λ per i quali essa ammette almeno una radice di molteplicità maggiore di uno; 2. dire se esistono valori di λ per i quali l equazione data ha radici tutte reali;

11 3. nel caso particolare λ = 6 calcolare un valore approssimato delle radici reali con errore massimo assoluto ε 2. Esercizio 76 Studiare l equazione x 4 x 3 λx 2 + (λ + )x = al variare del parametro λ. Posto λ = 3, determinare un valore approssimato delle eventuali radici reali con massimo errore assoluto ε 3. Esercizio 77 Studiare la seguente equazione 4x 3 9x 2 + 5x + 8 = determinando l intervallo che contiene le radici reali. Determinarne le radici. Esercizio 78 Studiare la seguente equazione Determinarne le radici. 3x 3 6x 2 + 2x + 9 = Esercizio 79 Controllare che il procedimento iterativo x n+ = g (x n ) con g(x) = 2 ex/2 permette di trovare numericamente le soluzioni dell equazione f(x) = e x 4x 2 = In caso positivo, dire quanti sono gli zeri e trovare gli intervalli che li contengono. Esercizio 8 Studiare, al variare di x in R, la convergenza dei metodi iterativi x i+ = log x i + 4x i 3 x i e x2 i 4x i+3 x i+ = x i 2 (x i 2) e x2 i 4x i+3 per la determinazione delle radici dell equazione log x = x 2 4x + 3 Esercizio 8 Studiare, al variare di x in R, la convergenza dei metodi iterativi x i+ = log x i 2x i + 3 x i e x2 i +2x i+3 x i+ = x i 2 (x i ) e x2 i +2x i+3 per la determinazione delle radici dell equazione log x = x 2 + 2x 3

12 Esercizio 82 Studiare, al variare di x in R, la convergenza del metodo iterativo x i = 4 + log x i e determinare le eventuali radici reali dell equazione log x = x 2 4 Dire inoltre quale altra formula si può usare per ottenere una migliore convergenza. Esercizio 83 Studiare, al variare di x in R, la convergenza del metodo iterativo x i = 4 + e x i e determinare le eventuali radici reali dell equazione e x = x 2 4 Dire inoltre quale altra formula si può usare per ottenere una migliore convergenza. Esercizio 84 Studiare al variare di x in R, la convergenza di tutti i metodi iterativi che si possono costruire per risolvere x 3 4x 2 + log x = Esercizio 85 Studiare la convergenza, al variare di x in R dei seguenti algoritmi iterativi x n+ = S x 3 n + x n + x n+ = S + x n+ = 2 x 2 n ( x n + S + x 2 n Esercizio 86 Separare le eventuali radici reali dell equazione f(x) = e x x 2 3. = ed approssimarle con un errore di 3. Confrontare l ordine di convergenza di almeno due metodi scelti. Esercizio 87 Data l equazione determinare le sue radici con un errore ε = 3. x 4 + 9x 3 2x 5 = Esercizio 88 Determinare le eventuali radici dell equazione cos x sin x x = nell intervallo [, π] e studiare la convergenza del metodo iterativo applicato. Esercizio 89 Come l esercizio 88 ma per l equazione per x. x = log x + 2 Esercizio 9 Approssimare con un errore assoluto.2 la radice di cos x = log x ) 2

13 Esercizio 9 Come l esercizio 9 ma per l equazione e 2x = x Esercizio 92 Risolvere con il metodo del punto fisso in varie forme l equazione x + 3 log x x 2 = e dire in quali casi tale metodo è convergente. Se è possibile, determinare l approssimazione della radice a meno di 3. Esercizio 93 Dato il polinomio 2x 3 + 2x 2 4x 5 determinare l intervallo che contiene la radice reale ed una sua approssimazione. 5 Approssimazione Esercizio 94 Data la funzione tabulata nel modo seguente x f(x) estrapolare il suo valore in x = 5. Inoltre interpolare nel modo migliore possibile in x = 2.5 (lavorare con almeno 8-9 cifre). Si calcolino anche i polinomi di grado n = ed n = 2 ai minimi quadrati ed il relativo errore quadratico. Esercizio 95 Data la funzione tabulata nel modo seguente x f(x) estrapolare il suo valore in x = 5. Inoltre interpolare nel modo migliore possibile in x = 2.7 (lavorare con almeno 8-9 cifre). Si calcolino anche i polinomi di grado n = ed n = 2 ai minimi quadrati ed il relativo errore quadratico. Esercizio 96 Costruire la tabella delle differenze divise associata ai dati seguenti della funzione f(x) x f(x) e la corrispondente formula di interpolazione di Newton. Si calcolino anche i polinomi di grado n = ed n = 2 ai minimi quadrati ed il relativo errore quadratico. Si determini una approssimazione dell integrale e si valuti l errore commesso..5. f(x) Esercizio 97 Come l esercizio 96 ma considerando i dati x f(x)

14 Esercizio 98 Data la funzione f(x) tabulata nel modo seguente x f(x) 3 5 costruire il polinomio di interpolazione mediante la formula di Newton e valutarne il resto. Si calcolino anche i polinomi di grado n = ed n = 2 ai minimi quadrati ed il relativo errore quadratico. Esercizio 99 Dati i seguenti valori di f(x) si calcoli per interpolazione f(.5) = f(.6) =.8766 f(.7) = f(.8) = f(.9) = 3.39 f(.) = 4. f(.) = f(.2) = f(.53), f(.8) e f(.82) Valutare l errore commesso. Si calcolino anche i polinomi di grado n = ed n = 2 ai minimi quadrati ed il relativo errore quadratico. Esercizio Approssimare la funzione ( ) π y = sin 2 x su (, ) con un errore minore di 4 facendo uso dei polinomi di Legendre. Esercizio Trovare, mediante la formula di Newton il polinomio di 3 o grado passante per il punto (.) con tangente uguale a e per i punti (.5) e (2.5). Esercizio 2 Determinare il polinomio di grado non superiore a 4 che nei cinque punti,,, 2, 3 assume rispettivamente i valori 4, 2, 6, 3,, con il polinomio di interpolazione di Newton oppure di Lagrange. Si calcolino anche i polinomi di grado n = ed n = 2 ai minimi quadrati ed il relativo errore quadratico. Esercizio 3 Come l esercizio 2 ma dati i cinque punti 2,,,, 2 che assumono rispettivamente i valori 3,,, 5, 2. 4