Calcolo Numerico Laurea di base in Ingegneria Elettronica, Ingegneria delle Comunicazioni
|
|
- Giorgia Venturi
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Calcolo Numerico Laurea di base in Ingegneria Elettronica, Ingegneria delle Comunicazioni Prof.ssa Laura Pezza (A.A ) IV Lezione del laura.pezza 1
2 Equazioni non lineari Il problema: determinare le soluzioni o radici, dell equazione non lineare f(x) = 0 cioè quei valori ξ tali che f(ξ) = 0 (zeri della funzione ). Idea base dei metodi numerici: costruire una successione {x k } tale che lim x k = ξ k Si assume come approssimazione di ξ il valore x N, per un certo indice N, finito, opportunamente individuato. Generalmente per costruire {x k } si usano tecniche ricorsive. Una possibilità : x k = ϕ(x k 1 ), k 1, x 0 dato cioè il metodo del punto unito. 2
3 I passi per risolvere numericamente il problema I. Separazione delle radici: per gestire la legge che genera la successione {x n } occorre sapere (in maniera più o meno accurata) la dislocazione degli zeri di f II. Costruzione della successione {x n }: si tratta di scegliere la legge per generare la successione in modo da garantire la convergenza a ξ; in pratica si vorrebbe anche una convergenza veloce III. Scelta dei criteri d arresto: poichè l algoritmo iterativo è infinito, si deve troncarlo, opportunamente. 3
4 Separazione delle radici Ipotesi di base: l equazione f(x) = 0 ha una (almeno) soluzione ξ separare una radice= determinare un intervallo [a,b] tale che: - f C[a, b] - ξ [a, b] - ξ è l unica radice dell equazione in [a, b] 4
5 Determinare [a, b] per via grafica a) si individuano gli intervalli in cui il grafico della curva y = f(x) attraversa l asse delle x b) si pone f(x) = 0 nella forma equivalente f 1 (x) = f 2 (x), si individuano i punti di intersezione delle curve y = f 1 (x) e y = f 2 (x) e di conseguenza [a, b]. per tabulazione della funzione: [a, b] è tale che f(a)f(b) < 0 (Teorema degli zeri ) purchè ξ abbia molteplicità dispari MA... in ogni caso è necessaria una analisi qualitativa dell equazione (per decidere in quali intervalli eseguire i grafici o la tabulazione). 5
6 Separazione delle radici: esempio 1 f(x) = x 2 e x 1 = 0 f 1 (x) = e x = x 2 1 = f 2 (x). Analisi preliminare: e x > 0, x possono esistere radici solo per x > 1 f 1 (1) = e > f 2 (1) = 0, ma l esponenziale tende all infinito più velocemente di ogni potenza l equazione non ha radici positive 6
7 Per x < 0: f(0) < 0, lim f(x) = + x f (x) = 2x e x < 0 (f monotona) esiste una sola radice negativa y=x 2 1 y=e x
8 Separazione delle radici: esempio 2 f(x) = x 3 4 sin x = 0 Analisi preliminare: x = 0 è una radice f( x) = f(x), funzione dispari: se ξ > 0 è uno zero ξ è uno zero basta studiare l equazione per x > 0 sin x 1 f(x) > 0, x > > π/ in (0, 3 4] le funzioni x 3 e sin x sono entrambe monotone c è al più una sola radice positiva 8
9 Se si vuole restringere l intervallo si può procedere per tabulazione f(1.587).55e 3 > 0 (lo zero è molto prossimo a 1.587) f(π/2).12 < 0 ξ [π/2, 3 4] Si osservi che quando si parla di separare gli zeri di f non si richiede che l intervallo sia piccolo ; tuttavia in molte circostanze è opportuno o necessario affinare l intervallo di separazione. 9
10 Separazione delle radici: esempio 3 f(x) = cos x xe x = 0 g(x) = cos x = xe x = h(x) Analisi preliminare: cos x 1 eventuali radici si hanno per x tale che xe x 1 Per x > 0 h(x) > 0 e crescente; h(x) > 1, x > 1 possono esistere radici positive solo in [0, 1]; se esiste una radice è unica perchè g(x) è decrescente in [0, 1] Per tabulazione: f(0) = 1 > 0, f(1) = 2.18 < 0! ξ [0, 1] 10
11 Per x < 0 h(x) < 0 e h(x) 0, x (e x è un infinitesimo di ordine superiore alla potenza) esistono infinite radici negative. Le radici devono cadere negli intervalli in cui cos x < 0 ovvero in [ 3π/2, π/2], [ 7π/2, 5π/2], [ 11π/2, 9π/2], y=cos x y=xe x
12 In particolare si deduce dal grafico (o per tabulazione)che ξ 1 [ π, π/2] ξ 2 [ 3π/2, π] ξ 3 [ 3π, 5π/2] ξ 4 [ 7π/2, 3π] Come si comportano le radici negative ξ j per j? Le radici ξ k per k crescente, che si allontanano dall origine, sono sempre più prossime ai punti di annullamento della funzione cos x. Si poteva prevedere tale comportamento senza eseguire il grafico? 12
13 Costruzione della successione: il metodo di bisezione Il metodo di bisezione o dicotomico si basa sul Teorema degli zeri. Ipotesi di applicabilità : i 1 E dato un intervallo, I = [a, b], di separazione della radice ξ di f(x) = 0 i 2 f(a)f(b) < 0. i 1 f C[a, b] e ξ è l unica radice in [a, b] i 2 ξ ha molteplicità dispari. 13
14 Step 1. Calcolare, x = (a + b)/2, (punto medio dell intervallo) Step 2. Se f(x ) 0 ( f(x ) = 0 x = ξ soluzione ), allora [a 1, b 1 ] = [x, b] se f(a)f(x ) > 0 [a, x ] se f(a)f(x ) < 0 I passi precedenti si applicano quindi di nuovo all intervallo [a 1, b 1 ] e poi iterativamente. 14
15 f(x) x 1 ξ x2 x a a 0 2 =a 1 b 2 b 1 =b 0 b 1 a 1 = b a 2, b 2 a 2 = b 1 a 1 2 = b a 2 2, 15
16 Il metodo costruisce quindi le successioni Proprietà delle successioni p 1 a k a k 1, b k b k 1, k p 2 p 3 a k ξ b k k b k a k = b a 2 k {a k }, {b k } (monotone, limitate) a 0 = a, b 0 = b {a k }, {b k }, k > 0 a k approssimazioni per difetto b k approssimazioni per eccesso 16
17 Convergenza del metodo di bisezione Errore di troncamento: e k = x k ξ e k = x k ξ < b k a k = b a 2 k e k+1 = 1 2 e k (asintoticamente) Ordine p = 1, costante asintotica C = 1 2 Ad ogni passo l errore viene dimezzato, = ad ogni passo si guadagna una cifra binaria per guadagnare una cifra decimale servono 3-4 iterazioni. 17
18 Stima del numero di iterate e k b a 2 k e k ε se (C.S.) b a 2 k ɛ k log(b a) log(ɛ) log 2 Condizione d arresto b k a k < ε, ε tolleranza prefissata. 18
19 Esempio f(x) = x 3 x 1, [a, b] = [1, 2] Stima delle iterate: ɛ = 10 8 : 2 k 10 8 k 26.6 a 26 = < ξ < = b 26 x = , e 27 = 0.75e 08, f(x 27 ) = 0.17e 07 19
20 Esercizio Data l equazione f(x) = x 3/2 2 log(x ) = 0 I. Separare le radici con un intervallo di ampiezza non superiore a 0.5 II.Stimare quante iterate sono sufficienti per ottenere un approssimazione alla 10 cifra decimale della radice maggiore con il metodo di bisezioni. I. f(x) = 0 f 1 (x) = x 3/2 = 2 log(x ) = f 2 (x), x 0. f 1, f 2 entrambe crescenti, f 1 > 0, x > 0, f 2 (0) < 0 20
21 Caso a: la potenza si mantiene sempre aldi sopra del logaritmo 5 Caso b: se la potenza incontra il logaritmo in un punto, allora gli due zeri sono necessariamente due f 1 è sempre sopra f 2 : non ci sono radici f 1 incontra f 2 in un punto: allora ci sono necessariamente 2 radici Per tabulazione si individuano le variazioni di segno: f(0) = 2 log 0.6 > 0, f(1.5) 0.2 < 0, f(3) 0.7 > 0 quindi esiste una radice ξ 1 [0, 1.5] e una radice ξ 2 [1.5, 3] 21
22 Affinamento dell intervallo (ampiezza 0.5) - Radice ξ 1 : f(0) > 0, f(1) > 0 ξ 1 [1, 1.5] - Radice ξ 2 : applichiamo bisezioni (f(1.5) < 0, f(3) > 0) n a k ( ) b k (+) x f(x ) Segue ξ 2 [2.25, 2.625] = [a 2, b 2 ] e b 2 a 2 = < 0.5. II. Stima del numero di iterate b a 2 k k log 2 log ( ) k
Corso di Matematica per la Chimica. Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 2013-14 Risoluzione di Equazioni non lineari Sia F C 0 ([a, b]), cioé F è una funzione continua in un intervallo [a, b] R, tale che F(a)F(b) < 0 1.5 1 F(b) 0.5 0 a
DettagliMetodi per il calcolo degli zeri di funzioni non lineari
Metodi per il calcolo degli zeri di funzioni non lineari N. Del Buono 1 Introduzione Le radici di un equazione non lineare f(x) = 0 non possono, in generale, essere espresse esplicitamente e anche quando
DettagliProblema. Equazioni non lineari. Metodo grafico. Teorema. Cercare la soluzione di
Problema Cercare la soluzione di Equazioni non lineari dove Se è soluzione dell equazione, cioè allora si dice RADICE o ZERO della funzione Metodo grafico Graficamente si tratta di individuare l intersezione
DettagliRaccolta di Esercizi d esame ( di Calcolo Numerico) Prof. Laura Pezza. Equazioni non lineari
Raccolta di Esercizi d esame ( di Calcolo Numerico) Prof. Laura Pezza Equazioni non lineari ESERCIZIO 1 Data l equazione ln(e + x) = 1 (1 + 4x) + 1 2 1.1 verificare analiticamente se sono soddisfatte le
DettagliMetodi Numerici con elementi di Programmazione (A.A )
Metodi Numerici con elementi di Programmazione (A.A. 2013-2014) Metodi Numerici Appunti delle lezioni: Equazioni non lineari Introduzione e Metodo di Bisezione Docente Vittoria Bruni Email: vittoria.bruni@sbai.uniroma1.it
DettagliMetodi Numerici con elementi di Programmazione (A.A )
Metodi Numerici con elementi di Programmazione (A.A. 2013-2014) Metodi Numerici Appunti delle lezioni: Equazioni non lineari Metodi di linearizzazione Docente Vittoria Bruni Email: vittoria.bruni@sbai.uniroma1.it
DettagliMetodi di Iterazione Funzionale
Appunti di Matematica Computazionale Lezione Metodi di Iterazione Funzionale Il problema di calcolare il valore per cui F() = si può sempre trasformare in quello di trovare il punto fisso di una funzione
DettagliEsercizio 1. Esercizio 2
Sia data la matrice A A(α) = Esercizio α 2 2α 2 2, α R.) determinare per quali valori del parametro reale α é verificata la condizione necessaria e sufficiente di convergenza per il metodo di Jacobi;.2)
DettagliClaudio Estatico Equazioni non-lineari
Claudio Estatico (claudio.estatico@uninsubria.it) Equazioni non-lineari 1 Equazioni non-lineari 1) Equazioni non-lineari e metodi iterativi. 2) Metodo di bisezione, metodo regula-falsi. 3) Metodo di Newton.
DettagliRISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN EQUAZIONE
RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN EQUAZIONE Introduzione Si vogliano individuare, se esistono, le radici o soluzioni dell equazione f(x)=0. Se f(x) è un polinomio di grado superiore al secondo o se è una
DettagliCalcolo Numerico con elementi di programmazione
Calcolo Numerico con elementi di programmazione (A.A. 2014-2015) Appunti delle lezioni sui metodi per la soluzione di sistemi di equazioni non lineari Sistemi di equazioni non lineari Un sistema di equazioni
DettagliCampo di Esistenza. Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f.
Campo di Esistenza Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f. ESERCIZIO. Determinare il campo di esistenza della funzione f(x) = 9+2x. Soluzione:
DettagliUniversità di Foggia - Facoltà di Economia. Prova scritta di Matematica Generale - Vecchio Ordinamento - 04 giugno 2002
Università di Foggia - Facoltà di Economia Prova scritta di Matematica Generale - Vecchio Ordinamento - 04 giugno 00 Cognome e nome............................................ Numero di matricola...........
DettagliCancellazione numerica e zeri di funzione. Dott. Marco Caliari
Cancellazione numerica e zeri di funzione Dott. Marco Caliari PLS a.s. 01 013 Capitolo 1 Aritmetica floating point 1.1 I numeri macchina Data la capacità finita di un calcolatore, solo alcuni dei numeri
DettagliLaboratorio di Calcolo Numerico
Laboratorio di Calcolo Numerico M.R. Russo Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata A.A. 2009/2010 Equazioni non lineari Data una funzione consideriamo il problema
Dettaglia) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.
1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre
DettagliRaccolta di esercizi di Calcolo Numerico Prof. Michela Redivo Zaglia
Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico Prof. Michela Redivo Zaglia Nota Bene: Gli esercizi di questa raccolta sono solo degli esempi. Non sono stati svolti né verificati e servono unicamente da spunto
DettagliProprietà globali delle funzioni continue
Limiti e continuità Teorema di esistenza degli zeri Teorema dei valori intermedi Teorema di Weierstrass Teoremi sulla continuità della funzione inversa 2 2006 Politecnico di Torino 1 Data una funzione
Dettagli1 Esercizi relativi al Capitolo 1
1 Esercizi relativi al Capitolo 1 1. (a) x = 7; (b) (x) 4 = (32.1) 4 = (14.25) 10 ; (c) x = 5; (d) (200) x = (18) 10 ; x = 3; y = (11330) 8 = (4824) 10 ; (e) x = 2882.125; y = 231002.02; (f) (x) 3 = (12122.1012)
DettagliEquazioni, funzioni e algoritmi: il metodo delle secanti
Equazioni, funzioni e algoritmi: il metodo delle secanti Christian Ferrari 1 Introduzione La risoluzione di equazioni in R ci ha mostrato che solo per le equazioni polinomiali di primo e secondo grado,
DettagliCorso di Analisi Numerica
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Corso di 2 - EQUAZIONI NON LINEARI Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche 1 Elementi introduttivi 2 3 4 Introduzione Problema: trovare le soluzioni di
DettagliCorso di Calcolo Numerico
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Sede di Fermo Corso di 2 - EQUAZIONI NON LINEARI Introduzione Problema: trovare le soluzioni di un equazione del tipo f() = 0 Esempio sin a = 0 e = 3 1.0 2.0 0.5
DettagliStudi di funzione. D. Barbieri. Studiare comportamento asintotico e monotonia di. f(x) = 1 x x4 + 4x e x
Studi di funzione D. Barbieri Esercizi Esercizio Esercizio Studiare comportamento asintotico e monotonia di f(x) = x + x4 + 4x Studiare il comportamento asintotico di f(x) = + x x + + e x Esercizio 3 Determinare
DettagliCorso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici
Corso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici C. Vergara 2. Determinazione numerica degli zeri di una funzione Si consideri il seguente problema: Data f : [a, b] R, determinare i valori
DettagliIl Metodo di Newton, o delle Tangenti Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Il Metodo di Newton, o delle Tangenti 6 Novembre 2016 Indice 1 Metodo di Newton, o delle tangenti 2 1.1
DettagliAnalisi Matematica 1. Serie numeriche. (Parte 2) Dott. Ezio Di Costanzo.
Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale Analisi Matematica 1 Serie numeriche (Parte 2) Dott. Ezio Di Costanzo ezio.dicostanzo@sbai.uniroma1.it Definizione Data la serie + n=0 a n si definisce resto
DettagliUniversità degli Studi della Calabria Facoltà di Ingegneria. 17 luglio 2012
Università degli Studi della Calabria Facoltà di Ingegneria Correzione della Seconda Prova Scritta di nalisi Matematica 7 luglio cura dei Prof. B. Sciunzi e L. Montoro. Seconda Prova Scritta di nalisi
DettagliEquazioni non lineari
Capitolo 2 Equazioni non lineari 2.1 Richiami di teoria Prerequisiti: teorema di Gauss, nozioni elementari di calcolo differenziale. In generale, per risolvere una equazione della forma f(x) = 0 dove f
DettagliAnalisi Matematica 1+2
Università degli Studi di Genova Facoltà di Ingegneria - Polo di Savona via Cadorna 7-700 Savona Tel. +39 09 264555 - Fax +39 09 264558 Ingegneria Gestionale Analisi Matematica +2 A.A 998/99 - Prove parziali
DettagliUniversita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni
Universita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni ANALISI NUMERICA - Primo Parziale - TEMA A (Prof. A.M.Perdon)
DettagliPNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO QUESITO 1
www.matefilia.it PNI 200 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO QUESITO Enunciare il teorema del valor medio o di Lagrange illustrandone il legame con il teorema di Rolle e le implicazioni ai fini della determinazione
Dettaglia) Il denominatore dev essere diverso da zero. Studiamo il trinomio x 2 5x + 6. Si ha: x 1,2 = 5 ± se x ], 2[ ]3, + [;
ESERCIZIO - Data la funzione f (x) + x2 2x x 2 5x + 6, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; (2 punti) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire se f ha asintoti
DettagliLaurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti
Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di
DettagliPrima prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 0/06. Prof. M. Bramanti Tema n 4 6 Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di
DettagliCorso di Calcolo Numerico
Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa M.C. De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Risoluzione di Equazioni Algebriche Le equazioni
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI Test di autovalutazione
FUNZIONI ELEMENTARI Test di autovalutazione 1 E data la funzione f(x) = sin(2x 5) Allora: (a) dom (f) = {x IR : 1 2x 5 1} (b) im (f) = [ 1, 1] (c) f ha periodo T= π 5 (d) f ha periodo T= 2π 5 2 La funzione
DettagliCalcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se
DettagliDerivazione numerica. Introduzione al calcolo numerico. Derivazione numerica (II) Derivazione numerica (III)
Derivazione numerica Introduzione al calcolo numerico Il calcolo della derivata di una funzione in un punto implica un processo al limite che può solo essere approssimato da un calcolatore. Supponiamo
DettagliFunzione Esponenziale
Funzione Esponenziale y y O f : R (0,+ ), f(x) = a x con a > a 0 =, a = a a x > 0 x R strettamente crescente: x < x 2 a x < ax 2 se x tende a +, a x tende a + se x tende a, a x tende a 0 x O f : R (0,+
DettagliEsercizi 3. cos x ln(sin x), ln(e x 1 x ), ln( x 2 1), x sin x + x cos x + x, x 3 2x + 1. x 2 x + 2, x cos ex, x 2 e x.
I seguenti quesiti ed il relativo svolgimento sono coperti dal diritto d autore, pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale senza autorizzazione esplicita
Dettagliy = x 3 infinitesimo per x 3 lim = l 0 allora f(x) è dello stesso ordine di g(x), ossia tendono a DEF. Una funzione y = f(x) si dice infinitesimo per
INFINITI ED INFINITESIMI. ASINTOTI DI UNA FUNZIONE. GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE. TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE ESERCIZI SULLA CONTINUITA E SULLA CLASSIFICAZIONE DELLE DISCONTINUITA DI UNA FUNZIONE
DettagliESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI
ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Esercizio 1 In una coltura batterica, il numero di batteri triplica ogni ora. Se all inizio dell osservazione
DettagliRisoluzione di equazioni non lineari
Risoluzione di equazioni non lineari Si considera il problema di determinare la soluzione dell equazione f(x) = 0 ove f(x) è una funzione definita in un intervallo [a, b], chiuso e limitato. Ogni valore
DettagliAlcuni esercizi in preparazione all appello scritto di Calcolo Numerico
Alcuni esercizi in preparazione all appello scritto di Calcolo Numerico Esercizio 1 Si consideri il sistema lineare Ax = b con 4 3 2 1 3 4 3 2 A = 2 3 4 3,b = 1 2 3 4 1 1 1 1. (1) 1. Prima di risolvere
DettagliCalcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente nell intervallo (a, b) se
DettagliCalcolo del fattore di convergenza
Calcolo del fattore di convergenza Dato uno schema iterativo si ha: lim k x k+1 ξ x k ξ p = M p è l ordine di convergenza del metodo iterativo M è la costante asintotica dell errore o fattore di convergenza.
DettagliAnalisi Matematica I DISEQUAZIONI Risposte Pagina Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 1
Analisi Matematica I DISEQUAZIONI Risposte Pagina Es. Es. Es. 3 Es. 4 Es. 5 AVVERTENZA: Scrivere le risposte scelte nello spazio in alto a destra. In ogni esercizio una sola risposta è corretta. Esercizio.
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 14 gennaio 2017 Fila 1.
Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del gennaio 207 Fila. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 6) Determinare
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Gestionale Anno Accademico 2013/2014 Calcolo Numerico
1. Dato il problema ai valori iniziali f (t) = f(t) + cos t f(0) = 1, (ii) determinarne la soluzione numerica per 0 t 2π utilizzando il metodo di 2. Calcolare analiticamente e numericamente la media della
DettagliA grande richiesta, esercizi di matematica&.!
A grande richiesta, esercizi di matematica&.! A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = 1/x, disegna il grafico delle seguenti funzioni g(x) =1/(x+1) ; g(x) =1/(2x -1); g(x) =2 + 1/x ; g(x) =2-1/x
DettagliCalcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se
DettagliMa dove si azzera? Equazioni polinomiali, numero delle soluzioni e loro approssimazioni.
Ma dove si azzera? Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Scrivere un numero in notazione scientifica. Stimare l ordine di grandezza del risultato di un calcolo numerico. Utilizzare in modo consapevole
DettagliCorso di Analisi Matematica
Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche Teorema di Estremi locali Richiamiamo la
DettagliA Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame
COGNOME NOME Matr. A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Firma dello studente Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni
DettagliINTEGRALI Test di autovalutazione
INTEGRALI Test di autovalutazione. L integrale ln 6 è uguale a (a) vale 5 2 (b) (c) (d) 4 5 vale ln 256 2 è negativo 2 5 + 4 5 2 5 + 4 5 d d 2. È data la funzione = e 2. Allora: (a) se F() è una primitiva
DettagliIL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero
IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno
DettagliSoluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - /7/9 C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Proff. K. Payne, C. Tarsi, M. Calanchi Esercizio. a La funzione f è limitata e essendo lim fx
DettagliFacoltá di Scienze MM.FF.NN. Corso di Studi in Informatica- A.A
Facoltá di Scienze MM.FF.NN. Corso di Studi in Informatica- A.A. 5-6 Corso di CALCOLO NUMERICO / ANALISI NUMERICA : Esempi di esercizi svolti in aula 5//5 ) Dato un triangolo, siano a, b le lunghezze di
DettagliCalcolo Numerico (A.A ) Esercitazione n. 9. Metodo del punto unito, Metodo di Newton per sistemi
Calcolo Numerico (A.A. 2013-2014) Esercitazione n. 9 Metodo del punto unito, Metodo di Newton per sistemi 11-04-2014 Esercizio 1.25 L. Gori, M.L. Lo Cascio, F. Pitolli, Esercizi di Calcolo Numerico, II
DettagliLaboratorio di Matematica Computazionale A.A Lab. 4
Laboratorio di Matematica Computazionale A.A. 2008-2009 Lab. 4 Complementi di Grafica 2D: Sottofinestre In Matlab si possono disegnare più grafici nella stessa finestra, suddividendola in sottofinestre
DettagliMetodi iterativi per equazioni nonlineari.
Metodi iterativi per equazioni nonlineari. Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 9 aprile 2016 Alvise Sommariva Introduzione 1/ 14 Introduzione Si supponga sia f
DettagliEsame di Matematica Generale 7 Febbraio Soluzione Traccia E
Esame di Matematica Generale 7 Febbraio 013 - Soluzione Traccia E ESERCIZIO 1. Si consideri la funzione f : R R f(x) = x + 1 x. (a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie (3 punti). Dominio.
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Informatica Analisi Numerica
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche 1 2 Analisi degli errori Informazioni generali Libro di testo: J. D. Faires, R. Burden, Numerical Analysis, Brooks/Cole,
DettagliCalcolo Numerico per Ingegneria. Corso estivo di Bressanone. Prof. L. Bergamaschi SOLUZIONE DELLA PROVA SCRITTA del
Calcolo Numerico per Ingegneria. Corso estivo di Bressanone. Prof. L. Bergamaschi SOLUZIONE DELLA PROVA SCRITTA del 9.8.2. Data l equazione x x = (a) Mostrare che essa ammette una e una sola soluzione
DettagliCorso di Laurea in Informatica Sede di Brindisi Esame di Analisi Matematica 25 giugno ex+1 x 2 2x. f (x) =
25 giugno 215 f (x) = ex+1 x 2 2x 2. Si calcoli il seguente integrale: 4 2 x log(x 2 1) dx. 3. Si enunci la definizione di funzione continua. 4. Si enunci il teorema di Fermat e, facoltativamente, lo si
DettagliINTEGRALI Test di autovalutazione
INTEGRALI Test di autovalutazione. Sia f una funzione continua su IR, e F una primitiva di f tale che F () = 5. Allora: (a) esiste k IR tale che F (x) f(x) =k, x IR (b) F (x) = x f(t) dt (c) F non è derivabile
DettagliProva scritta di Analisi Matematica 1 Prima parte, Tema A Ingegneria dell Energia, Univ. di Pisa COGNOME: NOME: MATR.: RISPOSTE:
Prova scritta di Analisi Matematica 1 Prima parte, Tema A Ingegneria dell Energia, Univ. di Pisa 12 gennaio 2013 COGNOME: NOME: MATR.: RISPOSTE: A B C D E 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 1 Prima
DettagliANALISI MATEMATICA 1. (Ingegneria Industriale, corsi A e B) Esempi di prove scritte
ANALISI MATEMATICA 1 (Ingegneria Industriale, corsi A e B) Esempi di prove scritte Rispondere ai quesiti a risposta multipla Qi, risolvere gli esercizi Ei, enunciare le definizioni Di e svolgere le dimostrazioni
DettagliESERCITAZIONE 9: INTEGRALI DEFINITI. CALCOLO DELLE AREE E ALTRE APPLICAZIONI
ESERCITAZIONE 9: INTEGRALI DEFINITI. CALCOLO DELLE AREE E ALTRE APPLICAZIONI Tiziana Raparelli 5/5/9 CONOSCENZE PRELIMINARI Vogliamo calcolare f ( x, ax + bx + c ) dx. Se a =, allora basta porre bx + c
DettagliEsercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.
Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa
DettagliEquazioni non lineari
Equazioni non lineari Introduzione In molte applicazioni intervengono equazioni che non siamo in grado di risolvere analiticamente, o la cui risoluzione risulta molto complessa e laboriosa. Un importante
DettagliArgomento 7. Studio di funzione
Argomento 7 Studio di funzione Studiare una funzione significa ottenere, mediante strumenti analitici (iti, derivate, ecc.) informazioni utili a disegnare un grafico qualitativo della funzione data. I
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I
TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare
DettagliCorso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti
Corso di Analisi Matematica Successioni e loro limiti Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 30 1 Definizione di successione
DettagliContinuità di funzioni
Continuità di funzioni Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 2 novembre 2015 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
DettagliCorso di Analisi Matematica Limiti di funzioni
Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 39 1 Definizione di ite 2 Il calcolo dei
DettagliEsercitazioni di Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +
DettagliSecondo parziale di Matematica per l Economia (esempio)
Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) lettere E-Z, a.a. 206 207 prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta
DettagliANALISI B alcuni esercizi proposti
ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la
DettagliLaurea triennale in Informatica Corso di Analisi matematica (A) a.a. 2007/08 9 giugno 2008
9 giugno 2008 1. Data la funzione f(x) = x e 1/(x2 4), (c) stabilire se f ammette punti singolari e in caso affermativo classificarli; calcolare la derivata prima di f e utilizzarla per studiare la monotonia
DettagliAnalisi Matematica e Geometria 1
Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica e Geometria 1 Ingegneria Industriale aa 2015 2016 y f 1 g 0 La funzione seno e la funzione esponenziale Raccolta delle tracce di Analisi Matematica e
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno
Programma del Corso di Matematica A Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno Premessa (D) dopo un teorema o una proposizione citati sta ad
DettagliPag. 151 Dimostrazioni dei criteri per lo studio della convergenza di serie numeriche
C.7 Serie Pag. 151 Dimostrazioni dei criteri per lo studio della convergenza di serie numeriche Teorema 5.29 (Criterio del confronto) Siano e due serie numeriche a termini positivi e si abbia 0, per ogni
DettagliBOZZA :26
BOZZA 27..20 23:26 Università di Roma Tor Vergata Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie per i Media Esempi sulla stima dell'errore negli sviluppi di Taylor Massimo A. Picardello CAPITOLO Stima numerica
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 2013-14 Risoluzione di Equazioni Algebriche Le equazioni algebriche sono equazioni del tipo P(x) = 0 dove P è un polinomio di grado n cioé P(x) = a 1 x n + a 2 x n
DettagliCapitolo 1. Esercizi a.a Esercizi. Esercizio 1.1 Dimostrare che il metodo iterativo
Capitolo Esercizi a.a. 206-7 Esercizi Esercizio. Dimostrare che il metodo iterativo x k+ = Φ(x k ), k = 0,,..., se convergente a x, deve verificare la condizione di consistenza x = Φ(x ). Ovvero, la soluzione
DettagliPrimo appello di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti.
Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Tema n 5 6 7 Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n
DettagliEsponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler)
Esponenziali e logaritmi (M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler) La funzione esponenziale f con base a é definita da f(x) = a x dove a > 0, a 1, e x é un numero reale. Ad esempio, f(x) = 3 x e g(x) = 0.5
DettagliLOGARITMI. log = = con >0, 1; >0 = >0, 1, >0. log =1 >0, 1. notebookitalia.altervista.org
LOGARITMI Sia un numero reale positivo ed un numero reale, positivo, diverso da 1; si dice logaritmo di in base il valore da attribuire come esponente alla base per ottenere una potenza uguale all argomento.
DettagliFunzioni Pari e Dispari
Una funzione f : R R si dice Funzioni Pari e Dispari PARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all asse DISPARI: se f( ) = f() R In questo caso il grafico della
DettagliA.A. 2011/12 CORSO DI ANALISI MATEMATICA 10 crediti, I semestre
A.A. 2011/12 CORSO DI ANALISI MATEMATICA 10 crediti, I semestre REGISTRO ELETTRONICO DELLE LEZIONI IMPORTANTE: Le definizioni ed i risultati fondamentali per poter studiare con profitto sono scritti in
DettagliEsercizi sulle equazioni differenziali a cura di Sisto Baldo, Elisabetta Ossanna e Sandro Innocenti
Esercizi sulle equazioni differenziali a cura di Sisto Baldo, Elisabetta Ossanna e Sandro Innocenti 1. Verifica che y(t) = 1 t + e t è una soluzione dell equazione y (t) = y(t) + t.. Scrivi un equazione
DettagliEsame di MATEMATICA CORSO BASE del
Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio. Si consideri il seguente sistema x 3y + z =5 x ky +z = k kx y z = Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro k e
Dettagli1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.
Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliSERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI
SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioni di Analisi Matematica per i corsi di Laurea in Ingegneria Energetica e Meccanica N-Z dell Università di Bologna. Anno Accademico 2003/2004.
Dettaglinon solo otteniamo il valore cercato per la validità della (1.4), ma anche che tale valore non dipende da
NOTE INTEGRATIVE PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 ANNO ACCADEMICO 2012/13 NOTE SULLA CONTINUITÀ UNIFORME D.BARTOLUCCI, D.GUIDO Sia f(x) = x 3, x [ 1, 1]. Si ha 1. La continuità uniforme x 3 y 3 = x
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti
FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne
DettagliFunzioni e loro proprietà. Immagini e controimmagini. Funzioni composte e inverse. Funzioni elementari Quiz
Funzioni e loro proprietà. Immagini e controimmagini. Funzioni composte e inverse. Funzioni elementari Quiz Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta e corretta. 1. Le due funzioni f(x) = ln(x
Dettagli1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile
1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile Considerazioni introduttive Consideriamo la funzione f() = sin il cui dominio naturale è R\ {0}. Problema: non è possibile calcolare il valore di f per
DettagliCapitolo 3: Ottimizzazione non vincolata parte III. E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano
Capitolo 3: Ottimizzazione non vincolata parte III E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano 3.4 Metodi di ricerca unidimensionale In genere si cerca una soluzione approssimata α k di min g(α) = f(x k +αd k
Dettagli