Corso di Laurea in Informatica Sede di Brindisi Esame di Analisi Matematica 25 giugno ex+1 x 2 2x. f (x) =

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1 25 giugno 215 f (x) = ex+1 x 2 2x 2. Si calcoli il seguente integrale: 4 2 x log(x 2 1) dx. 3. Si enunci la definizione di funzione continua. 4. Si enunci il teorema di Fermat e, facoltativamente, lo si dimostri. 5. Si enunci il criterio del confronto asintotico e lo si utilizzi per studiare la convergenza della serie numerica n= n + 1 n Tempo a disposizione per lo della prova: due ore

2 16 luglio 215 ( ) 2 x f (x) = log x 2 (e) si studi la convessità e la concavità di f e si determinino eventuali punti di flesso; (f) si tracci un grafico approssimativo di f. 2. Si calcoli l integrale 2 1 dx x(x + 4) 3. Si enuncino le definizioni di successione convergente e di successione divergente positivamente. 4. Si enunci il teorema della permanenza del segno (per successioni oppure per funzioni) e, facoltativamente, lo si dimostri. 5. Si enunci la condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica e si dica se è soddisfatta dalla serie di termine a n = 1 ( log ). n n Si studi inoltre la convergenza di tale serie. Tempo a disposizione per lo della prova: due ore

3 7 settembre 215 ( x 2 ) + 4 f (x) = arctg x 2. Si studi la convergenza della serie di termine a n = cos2 n n (n N). 3. Si enunci la definizione di integrale improprio per una funzione definita in un intervallo illimitato superiormente. improprio è convergente. Si stabilisca inoltre in base alla definizione se l integrale + x 1 x 2 + 2x + 2 dx 4. Si enunci il teorema fondamentale del calcolo integrale e, facoltativamente, lo si dimostri. 5. Si enunci il teorema degli zeri e lo si utilizzi per stabilire se l equazione ammette soluzioni reali. e x + x 3 + x = Tempo a disposizione per lo della prova: due ore

4 25 settembre 215 f (x) = x e (x 1)/(x 2) 2. Si studi la convergenza della serie numerica 3 n n 5 n n=1 3. Si calcoli il seguente integrale 1 + 3x dx. 1 x 2 Si usi il risultato ottenuto per studiare la convergenza dell integrale improprio x 1 x 2 dx. 4. Si enunci il teorema di confronto sui limiti (per successioni oppure per funzioni) e, facoltativamente, lo si dimostri. 5. Si enunci la definizione di funzione derivabile in un punto. In base a tale definizione, si verifichi che la funzione f (x) = x non è derivabile in x =. Tempo a disposizione per lo della prova: due ore

5 16 novembre 215 f (x) = x x 1 (e) si studi la convessità e la concavità di f e si determinino eventuali punti di flesso; (f) si tracci un grafico approssimativo di f. 2. Si enunci il criterio del confronto per le serie numeriche e lo si applichi allo studio della convergenza della serie numerica n=1 arctan n n 2 + sen 2 n 3. Si calcoli il seguente integrale 1 3x 2 x 2 4 dx. 4. Si enunci il teorema di Lagrange e, facoltativamente, lo si dimostri. 5. Si enuncino le definizioni di successione monotona crescente e di successione monotona decrescente. Esistono successioni monotone che non hanno limite? Esistono successioni che hanno limite e non sono monotone? Motivare le risposte con riferimenti a risultati teorici oppure con esempi. Tempo a disposizione per lo della prova: due ore

6 17 febbraio 216 f (x) = xe 1 x 1 (e) si studi la convessità e la concavità di f e si determinino eventuali punti di flesso; (f) si tracci un grafico approssimativo di f. 2. Si dimostri che la serie numerica n=1 ( ) n + 1 n 2n + 3 converge e si enunci il criterio applicato per dimostrarlo. 3. Si calcoli il seguente integrale e 1 1 log x x(3 + log x) 2 dx. 4. Si enunci il teorema della media integrale e, facoltativamente, lo si dimostri. 5. Si enunci la definizione di funzione monotona crescente in un intervallo e di funzione convessa in un intervallo. Si fornisca un esempio di funzione crescente e convessa, di funzione crescente e non convessa, di funzione non crescente e convessa. Tempo a disposizione per lo della prova: due ore

7 13 aprile 216 ( ) x + 1 f (x) = x arctg x (b) si calcolino i limiti significativi di f e si determinino le equazioni degli asintoti di f ; (c) si studi la monotonia di f e si determinino eventuali punti di massimo e minimo (d) si studi la convessità e la concavità di f e si determinino eventuali punti di flesso; Nota: non è richiesto di determinare gli eventuali punti di intersezione tra il grafico di f e gli assi cartesiani, né di studiare il segno di f. 2. Si definisca la serie geometrica e si enuncino i risultati relativi alla sua convergenza. Si applichino tali risultati alla studio della serie numerica 3 n n n= 3. Si calcoli il seguente integrale 1 x 2 2x x 2 + 2x + 1 dx. 4. Si enunci il teorema del valor medio di Lagrange e, facoltativamente, lo si dimostri. 5. Si enuncino le definizioni di funzione continua in un punto e di funzione derivabile in un punto. Se esiste (in caso contrario spiegare perché non esiste), fornire un esempio di funzione che sia (a) continua in un punto ma non derivabile in quel punto; (b) derivabile in un punto ma non continua in quel punto; (c) derivabile una volta in un punto ma non due volte in quel punto. Tempo a disposizione per lo della prova: due ore