Il Metodo di Newton, o delle Tangenti Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

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1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Il Metodo di Newton, o delle Tangenti 6 Novembre 2016 Indice 1 Metodo di Newton, o delle tangenti Il metodo dellle tangenti Un esempio: calcolo di 2 con l algoritmo di Erone Pag. 1

2 1 Metodo di Newton, o delle tangenti È spesso utile trovare il valore approssimato, con un alto grado di precisione, di una soluzione di un equazione. In genere, il metodo di bisezione converge alla soluzione in modo piuttosto lento. Un metodo iterativo che converge in modo molto più rapido si basa sull idea geometrica di approssimare, a ogni passo, il grafico della funzione per mezzo della retta tangente. 1.1 Il metodo dellle tangenti Il metodo di Newton detto anche delle tangenti, di Newton-Fourier, o di Newton-Raphson è un metodo iterativo per calcolare gli zeri di una funzione. f Teorema 1.1 (Metodo di Newton, o delle tangenti) Sia [a, b] R una funzione di classe C 2 [a, b] (vale a dire, derivabile due volte su [a, b], con derivata seconda continua su [a, b]). Facciamo le ipotesi seguenti: (1) f(a) > 0, f(b) < 0. (2) f (x) < 0 per ogni x in [a, b]. (3) f (x) > 0 per ogni x in [a, b]. Allora: (a) Esiste un unico punto x (a, b) in cui la funzione f si annulla. (b) La successione x 0 = a n = 1, 2,... (1.1) converge al punto x. (c) Esiste una costante K > 0 per la quale si ha, per ogni n N, Dimostrazione (a) (Esistenza e unicità della soluzione) x n+1 x < K x n+1 x 2 (1.2) La prima ipotesi (f(a) > 0, f(b) < 0) implica, per il teorema degli zeri, che esiste almeno un punto x in (a, b) per il quale f(x ) = 0. Per la seconda ipotesi (f < 0), la funzione f è strettamente decrescente. Quindi il punto x in cui la funzione f si annulla è unico. (b) (Il metodo iterativo) Approssimiamo ora il valore x. L idea del metodo è la seguente. Partiamo dal valore x 0 = a e consideriamo la retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x 0 : y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Pag. 2

3 Denotiamo con x 1 l ascissa del punto in cui tale retta tangente interseca l asse delle x. Ponendo y = 0 nell equazione della retta tangente scritta sopra, si ricava: x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ) Adesso iteriamo il procedimento: per ogni n = 1, 2, 3,... chiamiamo x n+1 l ascissa del punto in cui la tangente al grafico di f nel punto di ascissa x n interseca l asse delle x. Si ottiene in questo modo la successione ricorsiva: x 0 = a n = 1, 2,... Dimostriamo che la successione (1.3) converge allo zero x di f. f(x 0 ) (1.3) f(x 1 ) x 0 = a x 1 x 2 f(x 2 ) x b Anzitutto dimostriamo che la successione (1.3) è crescente e superiormente limitata dal numero x : x 0 < x 1 < x 2 < x 3 < < x n < x n+1 < < x (1.4) Per cominciare, si ha Infatti il punto x 0 < x 1 < x x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ) sta alla destra di x 0, perché il rapporto f(x 0 )/f (x 0 ) è negativo. (Per ipotesi, f(x 0 ) = f(a) > 0 e f (x 0 ) = f (a) < 0). D altra parte si ha x 1 < x. Infatti, poiché, per l ipotesi (3) (cioè, f > 0) f è convessa, il suo grafico sta tutto al di sopra della retta tangente (chiamiamola T 0 ) nel punto Pag. 3

4 di ascissa x 0. In particolare, l ordinata f(x 1 ) calcolata al di sopra del punto x 1 sul grafico di f è maggiore del valore dell ordinata calcolata, in corrispondenza di x 1, sulla retta tangente T 0, valore che è uguale a zero. Dunque f(x 1 ) > 0. Ora, poiché f è decrescente, f(x 1 ) > 0 e f(x ) = 0, si deve avere necessariamente x 1 < x. In modo simile si prova che ogni termine della successsione x n+1 è maggiore di x n e minore di x. Dunque la (1.4) è dimostrata. Siccome in R le successioni crescenti e limitate convergono 1, si ha che la successione (x n ) tende a un limite, che chiameremo c. In facciamo tendere n a +. Poiché f e f sono continue e f (x) è diverso da zero (per ipotesi è negativo), si ottiene c = c f(c ) f (c ) Dunque f(c ) = 0. Ma l unico zero di f è x, quindi c = x. Abbiamo allora dimostrato che la successione (1.3) converge all unico zero x della funzione f. (c) (Dimostrazione della convergenza quadratica) Da segue, sottraendo x, x n+1 x = f(x n) + (x x n ) Applicando la formula di Taylor sull intervallo [x n, x ], con il resto nella forma di Lagrange, si ottiene: 0 = f(x ) = f(x n ) + (x x n ) + f (c n ) (x x n ) 2 (1.6) 2 dove c n è un punto opportuno compreso tra x n e x. Da (1.6), si ricava Sostituendo in (1.5), si ha f(x n ) + (x x n ) = f (c n ) (x x n ) 2 2 x n+1 x = f (c n ) (x x n ) 2 2 Se m è il minimo di f su [a, b] e M è il massimo di f su [a, b], si ottiene la maggiorazione x n+1 x M x x n 2 m 2 (Sicuramente m 0. Infatti, per il teorema di Weierstrass, si ha m = f (p) per un p opportuno in [a, b] e f (p) < 0, perché f (x) < 0 per ogni x [a, b]). La disuguaglianza (1.8) dice che l errore al passo (n + 1)-esimo è maggiorato dal prodotto di una costante per il quadrato dell errore 1 Si tratta di una proprietà equivalente all assioma di completezza di R. (1.5) (1.7) (1.8) Pag. 4

5 commesso al passo precedente. Il procedimento dunque converge molto rapidamente non appena si abbia x x n < 1. Osservazione. (Altre condizioni che garantiscono la validità del Metodo di Newton.) Abbiamo dimostrato la validità del metodo delle tangenti di Newton-Fourier nel caso di funzioni di classe C 2 [a, b], con f < 0, con f(a) > 0 e f(b) < 0 (e quindi con un unico zero in (a, b)) e con f > 0. Sostanzialmente nello stesso modo, si dimostra la validità del metodo di Newton anche per funzioni di classe C 2 [a, b] soddisfacenti la condizione f(a)f(b) < 0 (che garantisce l esistenza di uno zero tra a e b), con f < 0 e f < 0, oppure con f > 0 e f > 0, oppure con f > 0 e f < Un esempio: calcolo di 2 con l algoritmo di Erone Il numero 2 è la radice positiva dell equazione x 2 2 = 0. Applichiamo allora il metodo delle tangenti di Newton-Fourier alla funzione f(x) = x 2 2, ristretta a un intervallo che contenga la radice 2; ad esempio, l intervallo [1, 2]. In questo caso, la funzione f è crescente e convessa sull intervallo [1, 2]. Poiché f(x n ) = x 2 n 2 e = 2x n, la formula ricorsiva, partendo da x 0 = 2, è la seguente: x 0 = 2 = 1 2 ( x n + 2 ) x n (per n intero 1.) Questa formula coincide, sostanzialmente, con la formula iterativa dell algoritmo per il calcolo della radice quadrata, attribuito al matematico alessandrino Erone. (1.9) Pag. 5