Problema. Equazioni non lineari. Metodo grafico. Teorema. Cercare la soluzione di

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1 Problema Cercare la soluzione di Equazioni non lineari dove Se è soluzione dell equazione, cioè allora si dice RADICE o ZERO della funzione Metodo grafico Graficamente si tratta di individuare l intersezione del grafico di con l asse delle x. Teorema Se è continua in e si ha allora esiste un punto tale che 1

2 Metodo di bisezione Costruire una successione di intervalli per arrivare alla soluzione Metodo di bisezione Costruire una successione di intervalli per arrivare alla soluzione Metodo di bisezione Costruire una successione di intervalli per arrivare alla soluzione Metodo di bisezione Costruire una successione di intervalli per arrivare alla soluzione 2

3 Si vuole risolvere Esempio in Osservazioni Ad ogni passo l ampiezza dell intervallo (in cui si trova la soluzione) viene dimezzata. Dopo k passi si ha Per ogni punto dell intervallo vale che Osservazioni Nell esempio di prima In particolare per il punto medio Avevamo a = 6, b=12 e dopo 8 passi avevamo ottenuto Quindi dopo k passi è un approssimazione della soluzione e l errore che si commette è maggiorato da La successione converge a con la stessa velocità con cui tende a zero. L errore commesso è maggiorato da Infatti il valore esatto è ~

4 Viceversa Se noi vogliamo ottenere un errore che non superi una tolleranza fissata poniamo Esempio Determinare il numero di iterazioni del metodo di bisezione necessarie per risolvere in con una tolleranza Numero di passi sufficienti per avere una approssimazione a meno di della soluzione Complessità computazionale Stiamo considerando un problema non lineare. La valutazione di una funzione non lineare si ottiene con un approssimazione di Taylor Sono richieste più operazioni algebriche Complessità computazionale La complessità computazionale si misura in numero di valutazioni di funzione. Fissata una tolleranza, la complessità del metodo di bisezione è di valutazioni di funzione. 4

5 Pro e contro del metodo di bisezione Poche ipotesi sulla funzione per avere convergenza Convergenza lenta (1 cifra decimale ogni 3 iterazioni). Regula falsi Si applica ad definita in tale che Regula falsi Metodi dicotomici Si applica ad tale che definita in Convergenza sotto l ipotesi di continuità Convergenza lenta Valutazione della velocità di convergenza 5

6 Ordine di convergenza Un metodo iterativo che genera una successione di iterati convergenti a si dice di ordine p (ha velocità di convergenza pari a p) se Il limite Osservazione per k grande può essere letto come Esprime quanto in una iterazione ci si avvicina al punto rispetto all iterazione precedente. Casi particolari Convergenza quadratica p=2 Esempio Metodo di bisezione Convergenza lineare p=1, 0<C<1 Convergenza superlineare p=1, C=0 Il metodo di bisezione ha convergenza lineare 6

7 Metodo di Newton o metodo delle tangenti Esempio Intersezione della tangente al grafico di f in con l asse x Convergenza quadratica Supponiamo che Esempio Estrazione di radici. 7

8 Casi critici Casi critici Se ci sono più soluzioni, partendo da punti iniziali diversi si possono trovare soluzioni diverse Condizioni per la convergenza Esistenza e unicità 8

9 L ultima ipotesi serve per evitare di finire fuori dall intervallo dove valgono le ipotesi buone Se non vale non è detto che le iterate stiano in [a,b]. Condizioni analoghe Condizioni analoghe Condizioni analoghe 9

10 Osservazioni Condizioni per la convergenza globale Velocità quadratica Possibile estensione al caso si sistemi di equazioni non lineari e al calcolo di minimo di funzioni di più variabili. Metodo delle secanti Si approssima la derivata prima con un rapporto incrementale Criteri d arresto Attenzione a queste situazioni Qui ƒ assume un valore piccolo ma siamo lontani dalla soluzione 10