Metodi per la risoluzione di equazioni non lineari

Transcript

1 Esercitazione per il corso di Calcolo Numerico Prof. G. Zilli Metodi per la risoluzione di equazioni non lineari Roberto Bertelle Laurea in Ingegneria Aerospaziale a.a

2 2

3 Indice 1. Testo della esercitazione 5 2. Introduzione 6 3. Esempio Il metodo di Newton-Raphson Il metodo della tangente fissa Il metodo della secante variabile Il metodo della secante fissa Il metodo della bisezione Il metodo del punto fisso Confronto dei metodi 8 4. Conclusione Codice Matlab Programma principale Metodo di Newton-Raphson Metodo della tangente fissa Metodo della secante variabile Metodo della secante fissa Metodo della bisezione Metodo del punto fisso Altre funzioni Uscita del programma Bibliografia 18 3

4 4

5 1. Testo della esercitazione Dopo aver dimostrato esistenza ed unicità della soluzione ξ in I, si risolva, utilizzando il linguaggio MatLab, l'equazione f(x) = 0 con 2 f ( x) = 3x 1+ log( x), I = [0.2,1]. Si applichino, a scelta, almeno 3 tra i suguenti i metodi: 1. Newton-Raphson (e della tangente fissa); 2. secante variabile (e della secante fissa); 3. bisezione; 4. punto fisso. Si pra x 0 = 1 come punto iniziale. Per i 2 metodi delle secanti si pra x 1 ottenuto con il metodo di Newton- Raphson. Con tutti i metodi, calcolare l'approssimazione x k della radice ξ usando il test di arresto sullo scarto: s k = x k+1 -x k < TOLL; (ad esempio con una tolleranza TOLL = 10-6 ). Porre a 50 il numero massimo di iterazioni consentite. Tutti i metodi vengano implementati nel seguente modo: per il metodo di Newton-Raphson, per ogni iterata k-esima si riporti: k, x k, f(x k ), f (x k ), lo scarto s k, e si verifichi se l'ordine di convergenza è quadratico considerando il rapporto s k+1 / s k 2 (stima della costante asintotica M). per il metodo della secante variabile, per ogni iterata k-esima si riporti: k, x k, f(x k ), f ( x k x ) f ( x k x lo scarto s k, e si verifichi se l ordine di convergenza è p= , considerando il rapporto (stima della costante asintotica M). Si proceda analogamente per i 2 metodi della tangente fissa e della secante fissa (e della bisezione). Considerando il rapporto fra gli scarti s k+1 / s k si verifichi se l'ordine di convergenza è p = 1 stimando la costante asintotica M e quindi la velocità di convergenza R. Di conseguenza, si stimi il numero k di iterazioni necessarie per avere e k / e 0 < TOLL confrontandolo con il risultato sperimentale. Per il metodo di punto fisso occorre considerare un opportuna funzione di punto fisso g(x). Si suggeriscono le seguenti due funzioni: k 1 k 1), 1 log( x) g( x) = 3 2 g( x) = exp( 3x + 1) Pro come punto iniziale x 0 = 1, per ogni iterata k-esima, si riporti k, x k, g(x k ), lo scarto s k = x k +1- x k. Considerando il rapporto s k+1 / s k si verifichi se l ordine di convergenza è p=1 stimando la costante asintotica M e quindi la velocità di convergenza R. Di conseguenza, stimare il numero k di iterazioni necessarie per avere e k / e 0 <TOLL, confrontandolo con il risultato sperimentale. Commentare la convergenza o la divergenza di ciascuno dei due schemi alla luce della teoria. Si riporti in grafico semilogaritmico lo scarto s k in funzione del numero delle iterate (un unico grafico in cui vi sono le curve di convergenza per i vari metodi impiegati), commentando brevemente i risultati. Si costruisca anche il grafico della funzione f in I per esempio discretizzando l'intervallo con punti equidistanti (si scelga un numero di punti compreso tra 20 e 30) e riportando su due colonne i valori dei punti e della funzione nei punti stessi. Si scriva una breve relazione in un documento di testo, in cui si descrive il problema, i risultati ottenuti con i metodi utilizzati e il loro confronto, il numero delle iterazioni richieste per soddisfare il test di arresto, e l'ordine di convergenza (includo e descrivo i grafici). Si alleghino inoltre: i programmi Matlab che implementano i metodi sopra elencati, i file di input e i file di output generati. Non sono ammesse fotocopie; portare tutto il materiale prodotto in originale. 5

6 2. Introduzione 6

7 3. Esempio Consideriamo la funzione x 2 f ( x) = e x, I = [0, 1]. Questa funzione ha una sola radice ξ nell intervallo I: infatti, è continua, perché somma di funzioni continue ed, esso f(0) = 1.0, f(1) = -0.63, per il teorema di tutti i valori, ha almeno uno zero in I. Questo zero è unico perché la funzione è decrescente in I dato che x f '( x) = e 2x < 0, x > 0. Il grafico della funzione nell intervallo I, riportato in Figura 3.1 conferma visivamente quanto appena trovato ed, inoltre, mostra che la radice è compresa tra 0.6 e y Figura 3.1 Grafico della funzione f ( x) = e x, I = [0, 1]. x 2 x 3.1. Il metodo di Newton-Raphson Il metodo di Newton crea la successione x f ( xk ), f '( x ) k + 1 = xk k = k 1, 2, 3,... a partire dalla stima iniziale x 0 della radice. L interpretazione geometrica del metodo di Newton suggerisce che la successione x k è monotona decrescente. L applicazione del metodo di Newton fornisce i risultati della Tabella 3-1. La colonna degli scarti mostra il comportamento quadratico del procedimento di convergenza dato che 2 s s k + 1 k 7

8 k x k f(x k ) f (x k ) s k e e e e e e e e e e e e e e+000 NaN Tabella 3-1 Processo di convergenza del metodo di Newton. Utilizzando gli scarti è possibile stimare la costante asintotica come s + M, k 2 s k 1 = 0, 1, 2,.... k Applicando la relazione per k=0,1,2 si ottengono i tre valori 0.410, 0.398, di cui l ultimo è in ottimo accordo con la stima [2, pag. 48] M 1 = 2 f ''( ξ ) f ' ( ξ ) 1 2 f ' '( x f '( x 4 4 ) ) = dove si è utilizzata x 4 come migliore approssimazione nota della radice ξ per valutare le derivate prima e seconda della funzione Il metodo della tangente fissa 3.3. Il metodo della secante variabile 3.4. Il metodo della secante fissa 3.5. Il metodo della bisezione 3.6. Il metodo del punto fisso 3.7. Confronto dei metodi La Figura 3.2 riporta in un grafico semilogaritmico il processo di convergenza dei vari metodi. 8

9 Valore assoluto degli scarti Newton bisezione Figura 3.2 Confronto della convergenza dei vari metodi. Numero di iterazioni 9

10 4. Conclusione 10

11 5. Codice Matlab 5.1. Programma principale % programma per l'approssimazione della radice di f(x)=0. % % Sono disponibili i seguenti metodi: % % (1) Newton-Raphson % (2) tangente fissa % (3) secante variabile % (4) secante fissa % (5) bisezione % (6) punto fisso % % % $ Roberto Bertelle 20-Mar-2010 $ % IMPOSTO GLI INGRESSI % nome della funzione nomefunz = 'f'; % nome della funzione dipunto fisso nomefunzpuntofisso = 'g'; % stima iniziale della radice x0 = 1.0; % intervallo che contiene la radice I = [ ]; % imposto i parametri del test di arresto toll = 1e-6; % tolleranza sugli scarti numitermax = 50; % massimo numero di iterazioni % solutori da usare tiposolutore = [ ]; % grafico della funzione creagrafico = 0; % metto a 1 per creare il grafico di f % CODICE if creagrafico == 1 % creo il grafico della funzione numpnt = 100; % numero di punti equispaziati su I a = I(1); % estremo inferiore intervallo I b = I(2); % estremo superiore intervallo I x = linspace(a,b,numpnt); % creo il vettore delle ascisse e... y = feval('f',x); %... valuto la funzione f plot(x,y,'k','linewidth', 3) xlabel('x', 'fontsize', 18) ylabel('y', 'fontsize', 18) grid on if tiposolutore(1) % metodo di Newton-Raphson moltradice = 1; % molteplicita' della radice parconv = [toll numitermax moltradice]; % costruisco il nome della function che contiene la derivata di f nomederfunz = strcat('d', nomefunz); 11

12 % chiamo Newton-Raphson [ xi, nwconv, nwdiary ] = newton( x0, nomefunz, nomederfunz, parconv ); % stampo i risultati disp(' '), disp(' ') disp(' Metodo di Newton-Raphson ') disp(' ') disp(['funzione usata : ', nomefunz]) disp(['numero iterazioni massimo : ', int2str( parconv(2) )]) disp(['criterio arresto : s_k < ', num2str(parconv(1))]) disp(['molteplicita'' radice : p = ', int2str(parconv(3)) ]) if nwconv < 0 % no convergenza messaggio = ['convergenza : ', 'no']; else messaggio = ['convergenza : ', 'si (',... int2str(nwconv), ' iterazioni)']; disp(messaggio) disp(' ') if nwconv disp(['sintesi del processo di convergenza : ',... 'k, x_k, f(x_k), f''(x_k), s_k ']) disp(' '),disp(' ') % valuto gli scarti snw = nwdiary( 2:nwConv+1, 2 ) - nwdiary( 1: nwconv, 2 ); % creo la tabella nwdiary = [ nwdiary [ snw; NaN ] ]; % stampo la tabella tab = sprintf( '%3i %20.15f %15.3e %15.3e %15.3e \n', nwdiary' ); disp(tab), disp(' ') disp('stima costante di errore M usando il rapporto degli scarti') disp(' ') MNw = abs(snw(2:length(snw)))./(abs(snw(1:length(snw)-1))).^2; tabmnw = sprintf('%10.3f %10.3f %10.3f %10.3f %10.3f... %10.3f %10.3f \n',mnw); disp(tabmnw) if tiposolutore(2) % metodo della tangente fissa if tiposolutore(3) % metodo della secante variabile if tiposolutore(4) % metodo della secante fissa if tiposolutore(5) % metodo dela bisezione parconv = [toll numitermax]; x0 = I; [ xi, bzconv, bzdiary ] = bisez( x0, nomefunz, parconv ); % stampo i risultati disp(' '), disp(' ') disp(' Metodo di bisezione ') disp(' ') disp(['funzione usata : ', nomefunz]) disp(['numero iterazioni massimo : ', int2str( parconv(2) )]) disp(['criterio arresto : s_k < ', num2str(parconv(1))]) if bzconv < 0 12

13 % no convergenza messaggio = ['convergenza : ', 'no']; else messaggio = ['convergenza : ', 'si (',... int2str(bzconv), ' iterazioni)']; disp(messaggio) disp(' ') if bzconv disp(['sintesi del processo di convergenza : ',... 'k, [low_k, up_k], x_k, f(x_k), s_k ']) disp(' '), disp(' ') % valuto gli scarti sbz = bzdiary( 2:bzconv+1, 4 ) - bzdiary( 1: bzconv, 4 ); % creo la tabella bzdiary = [ bzdiary [ sbz; NaN ] ]; % stampo la tabella tab = sprintf( '%5i %18.6e %18.6e %20.15f %15.4e... %15.4e \n', bzdiary' ); disp( tab ),disp(' ') disp('stima costante di errore M usando il rapporto degli scarti') disp(' ') bzm = abs(sbz(2:length(sbz)))./(abs(sbz(1:length(sbz)-1))); bztabm = sprintf('%10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f... %10.4f \n',bzm); disp( bztabm ) if tiposolutore(6) % metodo del punto fisso % grafici degli scarti semilogy(abs(snw),'-or','linewidth',2) hold on xlabel('numero di iterazioni', 'fontsize', 18) ylabel('valore assoluto degli scarti', 'fontsize', 18) semilogy(abs(sbz),'-db','linewidth',2) leg('newton', 'bisezione') 5.2. Metodo di Newton-Raphson function [ xi, conv, convdiary ] = newton( x0, fname, dfname, parconv ) % [ XI, CONV, CONVDIARY ] = NEWTON( X0, FNAME, DFNAME, PARCONV ) % risolve f(x)=0 applicando il metodo di Newton con punto iniziale x0. % Il test di arresto e' basato sullo scarto: x_(k+1)-x_k < toll. % % Parametri di ingresso: % x0 : stima iniziale della radice. % fname : nome della function matlab che contiene la funzione f(x) % dfname : nome della function matlab che contiene la derivata di f(x) % toll : tolleranza desiderata sullo scarto % nitmax : massimo numero di iterazioni ammesse % p : molteplicita' della radice % parconv : vettore (1 x 3) che contiene i parametri del metodo % parconv(1): tolleranza sullo scarto % parconv(2): numero massimo di iterazioni % parconv(3): molteplicita' della radice % % Parametri di uscita: 13

14 % xi : valore della radice % conv : vale niter se il processo di convergenza ha sortito effetto % positivo, -1 in caso contrario (niter: numero di iterazioni % eseguite per calcolare la radice con la tolleranza prescritta) % convdiary : matrice (niter+1)x4 che tiene traccia del processo di % convergenza secondo il prospetto: % 1 colonna : indice k della iterazione, k = 0,1,2,..., niter % 2 colonna : x_k, k = 0,1,2,..., niter % 3 colonna : f(x_k), k = 0,1,2,..., niter % 4 colonna : f'(x_k), k = 0,1,2,..., niter % $ Roberto Bertelle 20-Mar-2010 $ % estraggo i parametri del metodo toll = parconv(1); kmax = parconv(2); p = parconv(3); % inizializzo le variabili di uscita convdiary = zeros( kmax, 4 ); % inizio del ciclo iterativo di stima della radice xold = x0; ktoll = 2*toll; k = 0; while ( ktoll > toll & k <= kmax ) % determino la nuova stima x_(k+1) fxold = feval( fname, xold); % valuto f(x_k) Dfxold = feval( dfname, xold); % valuto df(x_k)/dx convdiary( k+1, 1:4 ) = [ k xold fxold Dfxold]; % tengo traccia xnew = xold - p* fxold/dfxold; % calcolo x_(k+1) ktoll = abs(xnew - xold); % determino tolleranza dell'iterazione xold = xnew; % aggiorno la stima k = k + 1; % aggiungo l'ultimo punto a convstory fxlast = feval( fname, xnew); Dfxlast = feval( dfname, xnew); convdiary( k+1, 1:4 ) = [ k xnew fxlast Dfxlast]; % imposto le variabili di uscita xi = xnew; % migliore stima disponibile per la radice convdiary = convdiary( 1:k+1, 1:4 ); % tolgo gli zeri non necessari conv = k; if ( k > kmax & ktoll > toll ) % non c'e' stata convergenza conv = -1; 5.3. Metodo della tangente fissa 5.4. Metodo della secante variabile 5.5. Metodo della secante fissa 14

15 5.6. Metodo della bisezione function [ xi, conv, convdiary ] = bisez( x0, fname, parconv ) % [XI, CONV, CONVDIARY] = BISEZ( X0, FNAME, PARCONV ) bisezione % Stima la radice di f(x)=0 usando il metodo dicotomico. % Il criterio di uscita prevede che l'ampiezza dell'intervallo % che contiene la radice sia inferiore a toll. % % Parametri di ingresso: % x0 : intervallo iniziale [ xlow xup ] contenente la radice % fname : nome della function matlab che contiene la funzione f(x) % parconv : vettore (1 x 3) che contiene i parametri del metodo % parconv(1): tolleranza sullo scarto % parconv(2): numero massimo di iterazioni % % Parametri di uscita: % xi : approssimazione della radice % conv : vale niter se il processo di convergenza ha sortito effetto % effetto positivo, -1 altrimenti, dove niter e' il numero % di iterazioni necessarie ad ottenere la tolleranza desiderata. % convdiary : matrice di sei colonne e niter righe, dove % 1 colonna : indice k della iterazione, k = 0,1,2,..., niter % 2 colonna : estremo inferiore dell'intervallo k-esimo % 3 colonna : estremo superiore dell'intervallo k-esimo % 4 colonna : x_k, k = 0,1,2,..., niter % 5 colonna : f(x_k), k = 0,1,2,..., niter % % dove per x_k si pre la media aritmetica degle estremi % dell'intervallo k-esimo. % $ Roberto Bertelle 20-Mar-2010 $ % estraggo i parametri del metodo toll = parconv(1); kmax = parconv(2); % inizio del ciclo iterativo di stima della radice xlow = x0(1); % estremo inferiore dell'intervallo xup = x0(2); % estremo superiore dell'intervallo convdiary = zeros( kmax + 1, 5 ); ktoll = xup-xlow; fxlow = feval( fname, xlow ); k = 1; while ( ktoll > toll & k <= kmax ) % nuova iterazione xmed = xlow + 0.5*(xup-xlow); % punto mediano di [xlow xup] fxmed = feval( fname, xmed ); % valuto f(xmed) convdiary( k, 1:5 ) = [ k-1 xlow xup xmed fxmed ]; % tengo traccia if sign( fxmed * fxlow ) > 0 % f( xlow ) e f( xmed ) hanno lo stesso segno xlow = xmed; fxlow = feval( fname, xlow ); else % f( xlow ) e f( xmed ) hanno segno opposto xup = xmed; ktoll = xup - xlow; % controllo ampiezza intervallo k = k +1; xmed = xlow + 0.5*(xup-xlow); fxmed = feval( fname, xmed ); convdiary( k, 1:5 ) = [ k-1 xlow xup xmed fxmed ]; % imposto le variabili di uscita 15

16 xi = xmed; convdiary = convdiary( 1:k, 1:5); % tolgo gli zeri non necessari conv = k-1; if ( k > kmax & ktoll > toll ) % non c'e' stata convergenza conv = -1; 5.7. Metodo del punto fisso 5.8. Altre funzioni function y = f(x) %Y = F(X) funzione y = exp(-x)-x.^2 % Y = F(X) funzione per la esercitazione sulle equazioni % non lineari del corso di Calcolo Numerico per Ingegneria % Aerospaziale, prof. G. Zilli, a.a % $ Roberto Bertelle 20-Mar-2010 $ y = exp(-x)-x.^2; function y = df(x) %Y = DF(X) derivata di y = exp(-x)-x.^2 % Y = DF(X) derivata della funzione per la esercitazione sulle equazioni % non lineari del corso di Calcolo Numerico per Ingegneria % Aerospaziale, prof. G. Zilli, a.a % $ Roberto Bertelle 20-Mar-2010 $ y = -exp(-x)-2*x; 16

17 6. Uscita del programma >> progrprincipale Metodo di Newton-Raphson funzione usata : f numero iterazioni massimo : 50 criterio arresto : s_k < 1e-006 molteplicita' radice : p = 1 convergenza : si (4 iterazioni) Sintesi del processo di convergenza : k, x_k, f(x_k), f'(x_k), s_k e e e e e e e e e e e e e e+000 NaN Stima costante di errore M usando il rapporto degli scarti Metodo di bisezione funzione usata : f numero iterazioni massimo : 50 criterio arresto : s_k < 1e-006 convergenza : si (20 iterazioni) Sintesi del processo di convergenza : k, [low_k, up_k], x_k, f(x_k), s_k e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-007 NaN Stima costante di errore M usando il rapporto degli scarti

18 7. Bibliografia [ 1 ] G. Zilli, Calcolo Numerico, Lezioni ed Esercizi, nuova edizione, Edizioni Libreria Progetto,