Metodi Numerici con elementi di Programmazione (A.A )

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1 Metodi Numerici con elementi di Programmazione (A.A ) Metodi Numerici Appunti delle lezioni: Equazioni non lineari Metodi di linearizzazione

2 Docente Vittoria Bruni Ufficio: Via A. Scarpa, Pal. B, I piano, Stanza n. 16 Tel Ricevimento: Giovedì Testi consigliati: Calcolo Numerico, L. Gori, Ed. Kappa, 2006 Esercizi di Calcolo Numerico, L. Gori-M.L. Lo Cascio, F. Pitolli, Ed. Kappa, 2007 Il materiale didattico è disponibile sul sito nella pagina dedicata al corso Metodi Numerici con elementi di Programmazione 1

3 Metodi di linearizzazione Metodo babilonese o Metodo di Erone: fornisce un algoritmo iterativo (formulato già intorno al 1700 a.c.) per il calcolo della radice quadrata di un numero a: 1. scegliere un numero x 0 prossimo a a 2. dividere a per x 0 3. calcolare la media tra a e x 0, cioè x 1 = 1 2 ( x0 + a x 0 ) 4. ripetere i passi 2 e 3 dopo aver posto x 0 = x 1 L algoritmo si può schematizzare come segue x 0 x n = 1 2 dato ( x n 1 + ) x a, n 1 n 1 2

4 Esempio Si vuole calcolare 2 = usando il Metodo babilonese x 0 x n = 1 2 dato ( x n 1 + ) x a, n 1 n 1 In questo caso a = 2 e si sceglie x 0 = 1.5 x 1 = 1 2 x 2 = 1 2 x 3 = 1 2 ( ) = = ( ) = ( ) =

5 Esercizio E possibile scrivere un algoritmo per il calcolo del reciproco di un numero c senza eseguire divisioni? 4

6 Metodi di linearizzazione Si approssima la funzione f(x) in un intorno I di ξ con la sua tangente o con la sua secante, calcolate tramite un opportuno sviluppo in serie di Taylor. Metodo di Newton-Raphson o metodo delle tangenti Metodo delle secanti 5

7 Metodo di Newton-Raphson Approssimazione iniziale: x 0 Prima iterazione: t 0 è la retta tangente a f(x) nel punto (x 0, f(x 0 )): t 0 y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f(x) (x 0,f(x 0 )). t 0 Nuova approssimazione x 1 : ξ x 1 x 0 intersezione tra t 0 e y = 0 a x b f(x 0 ) + f (x 0 )(x 1 x 0 ) = 0 x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ) 6

8 Metodo di Newton-Raphson Nuova approssimazione: x 1 Seconda iterazione: t 1 è la retta tangente a f(x) nel punto (x 1, f(x 1 )): f(x) (x 0,f(x 0 )). t 1 y = f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ) (x 1,f(x 1 )). t 1 ξ x 2 x 1 t 0 x 0 Nuova approssimazione x 2 : intersezione tra t 1 e y = 0, a x b f(x 1 ) + f (x 1 )(x 2 x 1 ) = 0 x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) 7

9 Metodo di Newton-Raphson: algoritmo Ad ogni iterazione k = 1, 2,... la nuova approssimazione x k è data dall intersezione tra la retta t k 1, tangente a f(x) nel punto (x k 1, f(x k 1 )), e la retta y = 0; cioè (x k,f(x k )). t k ξ x k+1 x k (x,f(x )) k 1 k 1. f(x) t k 1 x k 1 t k 1 y=f(x k 1 )+f (x k 1 )(x-x k 1 ) e quindi f(x k 1 ) + f (x k 1 )(x k x k 1 ) = 0 Algoritmo: x 0 dato x k = x k 1 f(x k 1) f (x k 1 ), k = 1, 2,... 8 a x b

10 Metodo di Newton-Raphson: algoritmo Il calcolo della radice di un numero a è equivalente a trovare gli zeri della seguente funzione f(x) = x 2 a Se vogliamo calcolare la radice di a mediante il metodo di Newton- Raphson, dobbiamo usare il seguente algoritmo ovvero x 0 dato x k = x k 1 (x2 k 1 a) 2x k 1, k = 1, 2,... x 0 x k = 1 2 dato ( x k 1 + a x k 1 ), k = 1, 2,... che è proprio l algoritmo corrispondente al metodo babilonese 9

11 Metodo di Newton-Raphson: algoritmo Il calcolo del reciproco di un numero c è equivalente a trovare gli zeri della seguente funzione f(x) = 1 x c Se vogliamo calcolare il reciproco di c mediante il metodo di Newton- Raphson, dobbiamo usare il seguente algoritmo ovvero x 0 dato x k = x k 1 1 x c k 1 1 x 2 k 1, k = 1, 2,... { x0 dato x k = x k 1 (2 cx k 1 ), k = 1, 2,... 10

12 Metodo di Newton-Raphson: convergenza x 0 Ipotesi di applicabilità : dato x k = x k 1 f(x k 1) f, k = 1, 2,... (x k 1 ) è stato separato un intervallo I = [a, b] in cui c è un unica radice ξ; f, f, f sono continue in I: f C 2 [a, b]; f (x) 0 per x [a, b] esiste un intorno J I di ξ tale che, se x 0 J, la successione delle approssimazioni {x k } converge a ξ. [ ] }{{} a ξ x 0 b J Oss: il teorema garantisce solo l esistenza di J 11

13 Metodo di Newton-Raphson: ordine di convergenza Si vuole determinare l ordine di convergenza del metodo di Newton- Raphson Ordine di convergenza p: e lim k+1 k e k p = C L errore di troncamento alla k+1-esima iterazione si può scrivere come segue e k+1 = ξ x k+1 = ( ξ f(ξ) f (ξ) ) ( x k f(x k) f (x k ) ) ( f(ξ) = (ξ x k ) f (ξ) f(x k) f (x k ) ) Il valore di f(x k ) si può stimare considernado i primi tre termini dello sviluppo in serie di Taylor attorno alla radice ξ, cioè f(x k ) = f(ξ) + f (ξ) (x k ξ) }{{} e k f (ξ)(x k ξ)

14 mentre, supponendo che x k sia molto vicino a ξ, si può assumere che f (x k ) f (ξ) Sostituendo i valori di f(x k ) e f (x k ) così ottenuti nell espressione di e k+1 si ha e k+1 e k f(ξ) f(ξ) + f (ξ)e k 1 2 f (ξ)e 2 k f (ξ) = 1 2 f (ξ)e 2 k f (ξ) da cui risulta lim k e k+1 e k 2 = 1 2 f (ξ) f (ξ) p 2 e quindi, se f(x) C 3 [a, b] la convergenza è almeno quadratica 13

15 Efficienza computazionale Per valutare l efficienza di un metodo iterativo bisogna tener conto sia dell ordine di convergenza che del costo computazionale, cioè della quantità di calcoli richiesta ad ogni passo. Efficienza computazionale: E = p 1/r p: ordine di convergenza del metodo r: numero di valutazioni funzionali (calcolo di funzioni o derivate) richieste ad ogni passo Metodo di bisezione: E = 1 (ad ogni passo si richiede una sola valutazione funzionale, f(x k ), e quindi r = 1) Metodo di Newton: E = 2 1/2 (ad ogni passo si richiedono due valutazioni funzionali, f(x k ) e f (x k ), e quindi r = 2) 14

16 Metodo di Newton-Raphson: esempio Approssimare la radice ξ = 0 dell equazione f(x) = 4x 3 5x = 0 con il metodo di Newton-Raphson nell intervallo I = [ 0.5, 0.5] e scegliendo come approssimazione iniziale una volta x 0 = 0.5 e una volta x 0 = t f(x). ξ f(x). ξ t 0 1 t a qqqqqqq x 2k = 0.5 x b a qqqqqqq x 2k+1 = 0.5 x b 15

17 Si verifica facilamente che f verifica le condizioni di applicabilità del metodo di Newton-Raphson. Infatti, f C 2 (I), f (x) = 12x 2 5 = 0 x = ± / I Scegliendo x 0 = 0.5 si ha una situazione di stallo e il metodo non converge. Infatti, l algoritmo di Newton per f è il seguente e quindi x k = x k 1 4x3 k 1 5x k 1 12x 2 k 1 5 x 1 = x 0 4x3 0 5x 0 12x = = 0.5 x 2 = x 1 4x3 1 5x 1 12x = =

18 Al contrario, scegliendo x 0 = 0.4, il metodo converge k x k x k x k 1 f(x k ) Infatti, il teorema di convergenza del metodo di Newton-Raphson assicura la convergenza per ogni scelta dell approssimazione iniziale in un opportuno intorno J del punto ξ. Scegliendo come approssimazioni iniziali punti che non appartengono all intorno J, la convergenza non può essere garantita. Oss: f (x) = 24x = 0 x = 0 I. 17

19 Estremo di Fourier Se f(x) ha concavità fissa in un intervallo I, è possibile stabilire un criterio di scelta dell approssimazine iniziale che garantisce la convergenza del metodo. Estremo di Fourier: Data una funzione f continua e convessa in I = [a, b] con f(a)f(b) < 0, si dice estremo di Fourier di I l estremo verso cui f rivolge la convessità. Se esiste f, allora l estremo di Fourier è a o b a seconda che f(a)f (a) > 0 oppure f(b)f (b) > 0. 18

20 Estremo di Fourier: esempi a Estremo di Fourier f(x) x b f(x) a Estremo di Fourier x b f (x)<0 per x [a, b] { f(a)f (a) > 0 f(b)f (b) < 0 a è estremo di Fourier f (x)>0 per x [a, b] { f(a)f (a) < 0 f(b)f (b) > 0 b è estremo di Fourier 19

21 Metodo di Newton-Raphson: convergenza Ipotesi di applicabilità : f(a)f(b) < 0 f, f, f sono continue in I: f C 2 [a, b]; f (x) 0 per x [a, b]; f (x) 0 per x [a, b] e x 0 è l estremo di Fourier di [a, b]. 1) esiste un unica radice ξ [a, b]; 2) la successione delle approssimazioni { x k = x k 1 f(x k 1) f (x k 1 ) } k = 1, 2,... è monotona e converge a ξ; 3) se f C 3 [a, b], la convergenza è quadratica. 20

22 Nell esempio precedente, relativo alla funzione f(x) = 4x 3 5x, non è soddisfatta l ipotesi relativa alla derivata seconda. Al contrario, per la funzione f(x) = x 3 10x 2 + 5, considerando l intervallo I = [0.6, 0.8], si ha f (x) = 6x 20 = 0 x = 10 3 / I Le ipotesi del teorema sono verificate e, poichè mentre f (0.6) = < 0 f (0.8) = 24 5 f(0.6) > 0 f(0.8) < 0, 20 < 0, l estremo di Fourier è l estremo b = 0.8, che quindi può essere scelto come approssimazione iniziale del metodo di Newton-Raphson, cioè x 0 = 0.8. Esercizio: eseguire le iterazioni e verificare la convergenza monotona. 21

23 Problema 3: Soluzione con Metodo di Newton f(λ) = e λ λ (eλ 1) = 0 λ I = [0.05, 0.15] Nell intervallo I è stato separato un unico zero f, f, f sono continue in I f (x) = e λ λ 2 (eλ 1) λ eλ 0 per λ I Lo zero può essere approssimato con il metodo delle tangenti Inoltre f (x) = e λ λ 3 (eλ 1) 0.87 esiste l estremo di Fourier di I: λ 2 eλ λ f(0.15)f (0.15) > 0 x 0 = 0.15 eλ > 0 in I 22

24 k x k x k x k 1 f(x k ) Ripetere scegliendo x 0 =

25 Metodi di linearizzione Il metodo di Newton-Raphson richiede la conoscenza della f (x) che non sempre è di facile valutazione. Metodi alternativi sono, per esempio, il metodo della tangente fissa: ad ogni iterazione f (x n ) è approssimato con f (x 0 ) il metodo delle secanti con estremi variabili: f (x n ) è approssimato con il rapporto incrementale il metodo delle secanti con estremo fisso: f (x n ) è approssimato con il rapporto incrementale in cui un punto rimane fisso ad ogni iterazione 24

26 Metodi di linearizzione Metodo di Newton-Raphson (x k 1,f(x k 1 )). Metodo delle secanti con estremi variabili (x k 1,f(x k 1 )). f(x) (x,f(x )) k k. t k x ξ k+1 x k t k 1 x k 1 x k 2. (x k 2,f(x k 2 )) x k. (x k,f(x k )) x k+1 s k 1 ξ s k f(x) x k 1 a x b a x b Ad ogni iterazione k = 1, 2,... la nuova approssimazione x k è data dall intersezione tra la retta t k 1, tangente a f(x) nel punto (x k 1, f(x k 1 )), e y = 0. Algoritmo: dato x 0 x k = x k 1 f(x k 1), k = 1, 2,... f (x k 1 ) Ad ogni iterazione k = 2, 3,... la nuova approssimazione x k è data dalla intersezione tra la retta s k 1, secante f(x) nei punti (x k 2, f(x k 2 )) e (x k 1, f(x k 1 )), e y = 0. Algoritmo: x 0, x 1 dati x k 1 x k 2 x k = x k 1 f(x k 1 ) f(x k 1 ) f(x k 2 ), k 2 25

27 Metodo delle secanti x 0, x 1 dati x x k = x k 1 f(x k 1 ) k 1 x k 2, k = 2,... f(x k 1 ) f(x k 2 ) Vantaggi: si può usare quando non si conosce la derivata di f(x) o quando f(x) è nota per punti ad ogni passo richiede una sola valutazione funzionale Svantaggi: servono due approssimazioni iniziali x 0 e x 1 la scelta di x 0 e x 1 deve essere accurata 26

28 Convergenza del metodo delle secanti Se è stato separato un intervallo I = [a, b] simmetrico intorno alla radice ξ, f, f, f sono continue in I: f C 2 [a, b], f (x) 0 per x [a, b], esiste un intorno J I di ξ tale che, se x 0, x 1 J, la successione delle approssimazioni {x k } converge a ξ con convergenza superlineare, cioè 1 < p < 2. Se f (x) 0 in I, l ordine di convergenza è p = E = p

29 Convergenza del metodo delle secanti con p = e Se f (x) 0 in I, allora e n+1 C p p+1 C N la costante asintotica del metodo di Newton (C N = f (ξ) 2f (ξ) ). Dim: Sottraendo ξ ad ambo i membri della formula di iterazione del metodo delle secanti si ha e k+1 = e k f(x k)(x k x k 1 ) f(x k ) f(x k 1 ) poichè e k 1 e k = ξ x k 1 (ξ x k ) = x k x k 1, l uguaglianza precedente può essere riscritta nel modo seguente e k+1 = e k f(x k)(e k e k 1 ) f(x k ) f(x k 1 ) = f(x k)e k 1 f(x k 1 )e k. f(x k ) f(x k 1 ) N e n 28

30 Mettendo a fattor comune la quantità e k e k 1 risulta x k x k 1 x k x k 1, e k+1 = e k e k 1 Poichè per x k 1 x k ξ f(x k ) e k f(x k 1) e k 1 x k x k 1 x k x k 1 f(x k ) f(x k 1 ) x k x k 1 f(x k ) f(x k 1 ) 1 f (x k ) 1 f (ξ) e moltiplicando per. f(x k ) e k con g(x) = f(x) f(ξ) x ξ, f(x k 1) e k 1 x k x k 1 g (x k ) f (ξ) 2, e g (x) = f (x)(x ξ) f(x)+f(ξ) (x ξ) 2 = f (x)(x ξ) f(x) (x ξ) 2 f (ξ) 2 (infatti lim x ξ g (x) = lim x ξ f (x)(x ξ)+f (x) f (x) 2(x ξ) = f (ξ) 2 ) 29

31 Quindi, per x k ξ risulta (1) e k+1 = C N e k e k 1. D altra parte, il metodo ha ordine di convergenza p se e k+1 Ce p k, ovvero se e k Ce p k 1. Per determinare i valori di C e p si considera e k 1 e lo si sostituisce in eq. (1), da cui ( ek C )1 p )1 p e 1+1/p e quindi e k+1 C N ( 1 C k Ce p k C N ( )1 1 p 1+1/p e k C 30

32 da cui e 1+1/p p k C1+1/p C N. Affinchè l ultima relazione sia vera deve accadere che 1 + 1/p p = 0 p 2 p 1 = 0 p = 1 ± 5, 2 di cui si considera solo la soluzione positiva. In corrispondenza del valore di p trovato si ha da cui 1 C1+1/p C N, C = C p 1+p N. 31

33 Esercizio: Quale è l ordine di convergenza del metodo delle secanti se usato per il calcolo dello zero di f(x) = x 3 10x contenuto nell intervallo I = [0.6, 0.8]? 32

34 Esercizio 1 Data l equazione non lineare f(x) = x 3 + α cos x = 0: 1) individuare per quali valori di α R l equazione non ammette radici positive 2) per α = 1 separare la radice più piccola ξ 3 3) fornire una stima a priori del numero di iterazioni necessarie per approssimare ξ con un errore inferiore a ɛ = 10 6 tramite il metodo di bisezioni; 3) quante iterazioni sono necessarie per approssimare con la stessa tolleranza ɛ la radice ξ tramite il metodo di Newton e il metodo delle secanti? 33

35 Traccia della soluzione 1) Tracciando qualitativamente i grafici delle funzioni y = g(x) = x 3 + α y = h(x) = cos x, si deduce che se α 1, la funzione f(x) non ha zeri positivi. 1.5 g(x) = x g(x) = x g(x) = x h(x) = cos(x) g(x) = x x 34

36 2) L intervallo [0, 1] contiene l unica radice positiva dell equazione Infatti f(x) = x 3 + 1/3 cos x = 0 f(0) = 2/3 < 0, f(1) = 4/3 cos(1) > 0 f(0)f(1) < 0 e inoltre f (x) = 3x 2 + sin(x) > 0 per x (0, 1] 35

37 3) Nell intervallo [0, 1] sono verificate le ipotesi di applicabilità del metodo di bisezioni. Quindi il numero di iterazioni K per cui e K ɛ si ricava dalla relazione e K = ξ x K b a 2 K ɛ K > log(b a) log ɛ. log 2 In questo caso a = 0, b = 1, ɛ = 10 6 K > log(1) log 10 6 log K

38 4) Nel caso dei metodi di Newton e delle secanti si possono verificare le ipotesi di applicabilità nell intervallo [0, 1]: nell intervallo I è stato separato un unico zero f, f, f sono continue in I f (x) = 3x 2 + sin(x) > 0 per x J I, J = [δ, 1] con 0 < δ << 1 f (x) = 6x + cos(x) > 0 per x I l estremo b = 1 è l estremo di Fourier dell intervallo J. Il numero di iterazioni si può calcolare eseguendo le iterate. 37

39 k x k (bisez.) x k x k 1 x k (Newton) x k x k 1 x k (secanti) x k x k , e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-6 38

40 Esercizio 2 La lunghezza d onda di uno tsunami L, per una certa profondità dell acqua d soddisfa la seguente equazione non lineare L = a gt 2 2π tanh ( ) 2πd L con a g e T rispettivamente l accelerazione di gravità e il periodo. Sapendo che T = 2880s e d = 4000m (valore tipico dell Oceano Indiano), produrre una stima del valore di L con precisione almeno

41 Esercizio 2: Metodo di Newton-Raphson Si osserva che f (L) = 1 + a gt 2 d L 2 1 cosh 2 ( 2πd L ) 0 L 0. Inoltre f è una funzione continua nello stesso dominio ed in particolare nell intervallo I in cui è stata isolata la radice positiva di f. f (L) = a g T 2 d ( 2 L 3 cosh 2 ( 2πd L ) + 2πd L 4 sinh( 4πd L ) cosh 4 ( 2πd L ) é una funzione continua nel dominio di esistenza di f. Inoltre è strettamente negativa nell intervallo I. Scegliamo x 0 = b = come approssimazione iniziale della soluzione. ) 40

42 Calcoliamo ora il punto x 1 tale che cioè x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ) x 1 = = L errore e 1 = x 1 x 0 = > Calcoliamo ora il punto x 2 tale che cioè x 2 = x 1 f(x 1) f (x 1 ) x 2 = =

43 L errore e 2 = x 2 x 1 = > L approssimazione ottenuta non ha ancora la precisione richiesta, quindi calcoliamo il punto x 3 tale che cioè x 3 = x 2 f(x 2) f (x 2 ) x 3 = = L errore e 3 = x 3 x 2 = >

44 cioè x 4 = x 3 f(x 3) f (x 3 ) x 4 = = = L errore e 4 = x 4 x 3 = <

45 Riassumendo k x k e k f(x k ) Dopo 4 iterazioni è stata raggiunta la precisione ɛ richiesta per l errore! Dopo 3 iterazioni il valore di f nell approssimazione alla terza iterazione è molto più piccolo di ɛ! 44

46 Poichè f (a) < 0 e f (b) < 0 mentre f(a) < 0 e f(b) > 0, a è l estremo di Fourier dell intervallo I = [ , ] e quindi può essere scelto come approssimazione iniziale della soluzione, cioè x 0 = a = : k x k e k f(x k )

47 Esercizio 2: Metodo delle secanti La continuità di f, f e f e f (L) 0 L I, assicurano la convergenza del motodo delle secanti. Si scelgono gli estremi dell intervallo I come punti iniziali, cioè x 1 = a = e x 2 = , e si calcola il punto = x x 3 = x 2 f(x 2 ) 2 x 1 f(x 2 ) f(x 1 ) = = =

48 L errore e 3 = x 3 x 2 = > ɛ = Calcoliamo il punto x x 4 = x 3 f(x 3 ) 3 x 2 f(x 3 ) f(x 2 ) = = ( ) = =

49 Continuando si ottiene la seguente tabella k x k e k f(x k ) Il metodo converge dopo 5 iterazioni (Oss: la f(x 5 ) è zero rispetto alla precisione di macchina.) 48

50 Esercizio 2: Separazione delle radici La separazione delle radici di f(l) può essere fatta anche in modo analitico. Infatti, basta osservare che in quanto tanh( 2πd L ) 1, mentre in quanto tanh( 2πd L ) 0. lim f(l) = a gt 2 L 0 2π, lim f(l) = + L + Inoltre, la derivata prima di f è strettamente positiva per L > 0 da cui si deduce che f è una funzione monotona crescente per L > 0. 49

51 Scegliendo L = 2πd, si ha f(2πd) = 2πd a gt 2 2π e 2 1 e < 0, mentre, considerando che tanh(x) x, si ha L = a g dt e f( a g dt ) = > 0. Quindi, l intervallo I = [ 2πd, isola la radice positiva di f. a g dt ] = [25133, ] 50

52 Esercizio 2: nuovo intervallo di separazione Confrontare le approssimazioni della radice positiva di f nell intervallo I = [25133, ], usando il metodo di bisezione, di Newton-Raphson e delle secanti, con i risultati delle tabelle precedenti. 51

53 Esercizio 2: Metodo di Bisezione I = [25133, ] Si osserva che il metodo converge alla soluzione con la precisione richiesta dopo 36 iterazioni k estremo inf. estremo sup. x k e k f(x k )

54

55 Esercizio 2: Metodo di Newton-Raphson I = [25133, ] k x k e k = x k x k 1 f(x k ) L approssimazione iniziale è molto più vicina alla soluzione. 54

56 Esercizio 2: Metodo delle secanti I = [25133, ] k x k e k = x k x k 1 f(x k )

57 Esercizio 1.6 L. Gori, M.L. Lo Cascio, F. Pitolli, Esercizi di Calcolo Numerico, II ed. Data l equazione dipendente da un parametro positivo α f(x, α) = αe x x 1 = 0 determinare i valori di α per i quali f ha una radice in I = [0.01, 1]; detto A l insieme di tali valori, si consideri α A e si discuta con quali modalità va applicato il metodo di Newton-Raphson per approssimare detta radice. 56

58 Soluzione Il dominio di esistenza di f è dato da x 0, α. Inoltre, risulta e f(0) = α e = 1, f (x) = α ( e x x + ex 2 x ) lim f(x) = + x + ( ) = αe x 2x > 0 x > 0 x Infatti e x > 0 x, x > 0 x > 0 e 2x + 1 > 0 x > 1 Quindi, f è una funzione monotona crescente. 2 57

59 Poichè risulta f(0.01) = α e e f(1) = αe 1 affinchè f abbia la sua unica radice in I deve accadere (f è monotona crescente) cioè f(0.01) < 0 mentre f(1) > 0, da cui deriva α e < 0 e αe 1 > 0 1 e < α < 10 e

60 Per poter applicare il Metodo di Newton-Raphson e soprattutto per essere certi che il metodo converga alla radice cercata, è necessario che f, f, f siano funzioni continue in I, che f (x) 0 e f (x) 0, x I. Sicuramente f e f sono funzioni continue in I, inoltre la monotonia di f garantisce che f (x) 0 in I. Per quanto riguarda f, invece, si ha f (x) = αe x ( 2x x ) + αe x ( 1 2 x 1 4x x ) = αex 2 x 4x 2 + 4x 1 2x che risulta continua in I ma 59

61 f (x) = 0 4x 2 + 4x 1 = 0 x = 1 ± 2. 2 Poichè la soluzione positiva (cioè x = ) appartiene all intervallo I, la convergenza del metodo non è garantita per qualsiasi scelta del punto iniziale x 0. 60

62 In questo caso, può accadere che nella successione delle approssimazioni prodotte siano compresi punti che non appartengono all intervallo I, come, per esempio, scegliendo x 0 = 0.38 e α = 8. k x k e k f(x k ) La tangente alla funzione f nel punto x 0 interseca l asse delle ascisse nel punto x 1 = / I 61

63 Inoltre, per alcune scelte di α e x 0, come per esempio α = 8 e x 0 = 0.1, il punto di intersezione può non appartenere al dominio di esistenza della funzione stessa!!! x 1 = < f(x) retta tangente a f in x 0 y= In questi casi è necessario cambiare la scelta del punto iniziale. Per esempio, si può calcolare l approssimazione prodotta dal metodo di bisezione dopo poche iterazioni (o quando si raggiunge una certa precisione) e usarla come punto iniziale per il metodo di Newton. 62

64 Per esempio, dopo quattro iterazioni del metodo di bisezione (ɛ = ) k a k b k x k e k f(x k ) si ottiene x 4 = che, usato come punto iniziale nel metodo di Newton produce k x k e k f(x k )

65 Al contrario, per altre scelte sia di α che del punto iniziale x 0, come per esempio x 0 = 0.5 e α = 1, il metodo converge alla soluzione in poche iterazioni k x k e k f(x k )

66 Osserviamo, infine, che scegliendo α = e , 2 2 la radice di f è il suo punto di flesso (la derivata seconda si annulla in questo punto) e l ordine di convergenza del metodo di Newton aumenta essendo almeno 3. 65

67 Esercizio Data l equazione non lineare dove ξ è un parametro reale. h(y; ξ) = (ξ 1) e y 1 = 0, 1. Determinare i valori di ξ per cui l equazione ha una radice nell intervallo I = [0.02, 1.02]; 2. per i valori di ξ individuati al punto precedente, verificare se il metodo delle tangenti è adatto ad approssimare la radice in I. Specificare la scelta dell approssimazione iniziale e l ordine di convergenza del metodo. 66

68 Soluzione del punto 1) La funzione è ben definita per y 0. Inoltre si osserva che, poichè e y > 0 y 0 l uguaglinaza (ξ 1) e y = 1 non può essere mai verificata per valori di ξ 1 Si osserva anche che, e y 1 y 0, e quindi l uguaglianza (ξ 1) e y = 1 non è mai verificata per ξ > 2. Infine, per ξ = 2, lo zero di h(y; 2) è proprio y = 0 / I. Sicuramente gli eventuali valori di ξ per cui la funzione h ammette uno zero in I soddisfano la seguente condizione 1 < ξ < 2 67

69 D altra parte, h (x; ξ) = (ξ 1) e y y > 0, y > 0 ξ > 1, quindi, h(y; ξ) è una funzione monotona crescente per y > 0 ξ > 1, e se ammette uno zero in I, questo è anche unico. Affinchè abbia uno zero nell intervallo I, deve accadere cioè da cui h(0.02; ξ) < 0 h(1.02; ξ) > 0 (ξ 1)e < 0 (ξ 1)e > 0 ξ < 1 e ξ > 1 e e + 1 < ξ < Possiamo, dunque, concludere che per e + 1 la 0.02 funzione h(y; ξ) ammette un unico zero nell intervallo I = [0.02, 1.02]. 68

70 Esercizio Si consideri l equazione non lineare log(x) + x 2 x = Mostrare che l equazione ammette un unica radice e che quest ultima è contenuta nell intervallo I = [0.7, 2.3]. 2. Applicare, se possibile, due passi del metodo di bisezione. 3. Detta x 0 l approssimazione prodotta al passo precedente, eseguire, se possibile, un passo dell algoritmo del metodo di Newton-Raphson e sia x 1 l approssimazione prodotta. 4. Applicare, se possibile il metodo delle secanti usando x 0 e x 1, determinate ai punti 2) e 3), come approssimazioni iniziali e interrompere l esecuzione quando la approssimazione prodotta ha 5 decimali esatti. 5. Calcolare la costante asintotica di convergenza del metodo delle secanti. 69

71 Esercizi 1. Approssimare la radice negativa più prossima allo zero dell equazione non lineare sin(x) xe x = 0 usando il metodo di Newton-Raphson e isolando lo zero in modo che si possa scegliere l estremo di Fourier come approssimazione iniziale. L approssimazione prodotta deve avere almeno due decimali esatti. 2. Scrivere il diagramma di flusso per il metodo di Newton usando le due condizioni di arresto a posteriori. 3. Ripertere l esercizio precedente per il metodo delle secanti. 70

72 Riferimenti bibliografici L. Gori, Calcolo Numerico: Cap. 3, 3.6 (escluso metodo delle secanti con estremo fisso) L. Gori, M.L. Lo Cascio, F. Pitolli Esercizi di Calcolo Numerico: Es. 1.1, 1.4, 1.5, 1.8, 1.9, 1.10, 1.13, 1.14, 1.21, 7.29, 7.43, ,