2.9 Moltiplicazione di serie

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1 2.9 Moltiplicazione di serie A prima vista il problema di moltiplicare fra loro due serie sembra irrilevante. Fare il prodotto di due serie significa moltiplicare tra loro le successioni delle rispettive somme parziali; se queste convergono a S e S 2, il loro prodotto convergerà a S S 2. Dov è il problema? Il punto è che noi vogliamo ottenere, come risultato del prodotto di due serie, una nuova serie. Il motivo di questo desiderio è legato alla teoria delle serie di potenze: due serie di potenze hanno per somma una funzione definita sul cerchio di convergenza di ciascuna serie; il prodotto di tali funzioni è una nuova funzione, definita sul più piccolo dei due cerchi di convergenza, e della quale si vorrebbe conoscere uno sviluppo in serie di potenze che ad essa converga. Dunque si vuole trovare una serie di potenze che sia il prodotto delle due serie di potenze date, ed abbia per somma il prodotto delle somme. Scrivendo il prodotto di due polinomi N a nz n e M b nz n con N M è naturale raggruppare i termini con la stessa potenza z n : quindi si metteranno insieme i prodotti a 0 b n, a b n,..., a n b, a n b 0. Il polinomio prodotto sarà quindi ponendo a n = 0 per n = N +,..., M N a k b n k z n. Passando dai polinomi alle serie di potenze o, più in generale, parlando di serie numeriche, siamo indotti alla seguente Definizione 2.9. Date due serie a n e b n reali o complesse, la serie c n, ove c n = a k b n k n N, si dice prodotto di Cauchy delle due serie. Si potrebbe sperare di dimostrare che se a n e b n sono convergenti, allora la serie prodotto c n è convergente, magari con somma uguale al prodotto delle somme. Ma non è così, come mostra il seguente esempio: se a n = b n = n n + n N, 82

2 allora e quindi c n = k + n k + n N, c n = n + n + n + n + = n N, per cui c n non è infinitesima e c n non può convergere. Si ha però questo risultato: Teorema di Cauchy Se le serie a n e b n sono assolutamente convergenti, allora il loro prodotto di Cauchy c n è assolutamente convergente; inoltre c n = a n b n. Dimostrazione Si consideri la serie d n, la cui legge di formazione è illustrata dallo schema che segue: a 0 b 0 a b 0 a 2 b 0 a n b 0 a 0 b a b a 2 b a n b a 0 b 2 a b 2 a 2 b 2 a n b 2 a 0 b n a b n a 2 b n a n b n Si ha dunque d n = a 0 b 0 + a 0 b + a b + a b 0 + a 0 b 2 + a b 2 + a 2 b 2 + a 2 b + a 2 b a 0 b n + a b n a n b n + a n b n a n b + a n b

3 e tale serie converge assolutamente, in quanto per ogni n 2 si ha 2 n n d k d k = a k b k a k b k <. Dunque d k è convergente ad un numero S. D altra parte, posto A = a k e B = b k, considerando la somma parziale della serie d k di indice n 2 si ha per n 2 n n d k = a k b k A B. Ne segue S = AB perché ogni sottosuccessione di una successione convergente deve convergere allo stesso limite. Dalla serie d k, riordinando i termini per diagonali, si ottiene la serie a 0 b 0 + a 0 b + a b 0 + a 0 b 2 + a b + a 2 b a 0 b n + a b n a n b , la quale per il teorema di Dirichlet teorema è assolutamente convergente ed ha somma AB. Ma raggruppandone opportunamente i termini si ottiene proprio la serie prodotto di Cauchy di a k e b k, la quale dunque per il teorema è una serie assolutamente convergente con somma AB. Osservazione Se le serie a n e b n hanno indice iniziale, anziché 0, nella definizione di prodotto di Cauchy occorrerà prendere c n = a k b n k+ n N +, anziché c n = a k b n k n N. k= Esempi Moltiplicando per se stessa la serie geometrica z = z n, z <, si ottiene, sempre per z <, z = z k z n k = 2 84 n + z n ;

4 da qui si ricava anche nz n = n + z n z n = 2 Come sappiamo si ha, posto z = x + iy, z 2 z = z, z <. z 2 e z = e x+iy = e x cos y + i sin y = z n z C. Calcoliamo e z e w con la regola della moltiplicazione di serie: il termine generale della serie prodotto ha la forma k! n k! zk z n k = n z k w n k = k z + wn ; dunque e z e w = z + w n = e z+w z, w C. Pertanto l esponenziale complessa mantiene le proprietà algebriche dell esponenziale reale. Si noti che e z = e z+2πi per ogni z C, cioè la funzione esponenziale è periodica di periodo 2πi; in particolare, e z non è una funzione iniettiva su C. Esercizi 2.9. Provare che se a nz n = fz per z <, allora posto A n = n a k si ha A n z n = fz per z <. z 2. Dimostrare che se z < si ha n + k k z n = [Traccia: utilizzare l esercizio.7. iv.] z k+ k N. 85

5 3. Verificare che per z < si ha 4. Poniamo per ogni n N n 2 z n = z2 + z z 3. δ n = a 0 b n +... a n b n + a n b n a n b + a n b 0. Si provi che se a n = A e b n = B, allora δ n = AB. 5. Per y R si verifichi la relazione sin 2y = 2 sin y cos y, utilizzando gli sviluppi in serie di potenze del seno e del coseno. [Traccia: si verifichi preliminarmente che risulta 2 2n = + 2n 2n = 2n + 6. Dimostrare, usando le serie di potenze, le relazioni 2k cos 2 x + sin 2 x = x R, n N.] sinx + y = sin x cos y + sin y cos x x, y R. 7. Determinare il prodotto di Cauchy della serie n n+ serie che così si ottiene è convergente? per se stessa. La 8. Sia c n = 2 n 3 n : calcolare esplicitamente c n e provare che 3 n c n 2 n n N. 86