TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA 1. x 1 + x y

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1 TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA GRAZIANO CRASTA E LUIGI ORSINA, A.A. 203/4. SPAZI METRICI, TOPOLOGIA, COMPLETEZZA Esercizio.. Dimostrare che la funzione d(, y) := + y + y, y R, è una distanza su R. Stabilire se lo spazio metrico (R, d) è completo. Stabilire anche se la topologia di (R, d) coincide con quella di (R, ). Esercizio.2. Dimostrare che la funzione ( d(, y) := tan() tan(y), y X := π 2, π ), 2 è una distanza su X. Stabilire se lo spazio metrico (X, d) è completo. Stabilire anche se la topologia di (X, d) coincide con quella di (X, ). Esercizio.3. Dimostrare che la funzione d(, y) := e 2 e 2y, y R, è una distanza su R. Stabilire se lo spazio metrico (R, d) è completo. Stabilire anche se la topologia di (R, d) coincide con quella di (R, ). Esercizio.4. Dimostrare che la funzione d(, y) := 2 y y 2, y X := (, ), è una distanza su X. Stabilire se lo spazio metrico (X, d) è completo. Stabilire anche se la topologia di (X, d) coincide con quella di (X, ). Esercizio.5. Sia, in R 2, Dimostrare che (R 2, d) è completo. Esercizio.6. Sia, in R 2, d((, y ), ( 2, y 2 )) = 2 + arctan( y y 2 ). d((, y ), ( 2, y 2 )) = 2 + arctan(y ) arctan(y 2 ). Dimostrare che (R 2, d) non è completo. Esercizio.7. Sia, in R 2, Dimostrare che (R 2, d) è completo. d((, y ), ( 2, y 2 )) = 2 + y y 2 + y y 2. Date: 0 marzo 205.

2 2 GRAZIANO CRASTA E LUIGI ORSINA, A.A. 203/4 Esercizio.8. Sia, in R 2, d((, y ), ( 2, y 2 )) = 2 + e y + e y ey2 + e y 2. Dimostrare che (R 2, d) non è completo. Esercizio.9. Sia d 2 la metrica euclidea nel piano; siano A = (, y) R 2 : y 0}, B = (, y) R 2 : y < 0}. Se O = (0, 0), P = (, y ) e Q = ( 2, y 2 ) in R 2, definiamo d 2 (P, Q) se P, Q A oppure P, Q B, d(p, Q) = d 2 (P, O) + d 2 (O, Q) altrimenti. Dimostrare che d è una distanza, e disegnare B 2 ((0, )). Esercizio.0. Sia d 2 la metrica euclidea nel piano; siano A = (, y) R 2 : 0}, B = (, y) R 2 : < 0}. Se O = (0, 0), P = (, y ) e Q = ( 2, y 2 ) in R 2, definiamo d 2 (P, Q) se P, Q A oppure P, Q B, d(p, Q) = d 2 (P, O) + d 2 (O, Q) altrimenti. Dimostrare che d è una distanza, e disegnare B 2 ((, 0)). Esercizio.. Sia d 2 la metrica euclidea nel piano; siano A = (, y) R 2 : y 0}, B = (, y) R 2 : y < 0}. Se O = (0, 0), P = (, y ) e Q = ( 2, y 2 ) in R 2, definiamo d 2 (P, Q) se P, Q A oppure P, Q B, d(p, Q) = d 2 (P, O) + d 2 (O, Q) altrimenti. Dimostrare che d è una distanza, e disegnare B 2 ((0, )). Esercizio.2. Sia d 2 la metrica euclidea nel piano; siano A = (, y) R 2 : 0}, B = (, y) R 2 : < 0}. Se O = (0, 0), P = (, y ) e Q = ( 2, y 2 ) in R 2, definiamo d 2 (P, Q) se P, Q A oppure P, Q B, d(p, Q) = d 2 (P, O) + d 2 (O, Q) altrimenti. Dimostrare che d è una distanza, e disegnare B 2 ((, 0)). Esercizio.3. Sia X = ( 2, 2) e d(, y) = 4 2 y. 4 y 2 Dopo aver dimostrato che d è una distanza su X, si dimostri che lo spazio (X, d) è completo. Esercizio.4. Sia X = R e d(, y) = 5 y 5. Dopo aver dimostrato che d è una distanza su X, si dimostri che lo spazio (X, d) è completo.

3 TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA 3 2. UNIFORME CONTINUITÀ Esercizio 2.. Stabilire se la funzione f() := + 2 sin, (0, + ), è uniformemente continua in (0, + ). Esercizio 2.2. Stabilire se la funzione è uniformemente continua in [0, + ). Esercizio 2.3. Stabilire se la funzione f() := arctan + log( + ), [0, + ), f() = è uniformemente continua in [0, + ). Esercizio 2.4. Stabilire se la funzione f() = 0 è uniformemente continua in [0, + ). Esercizio 2.5. Stabilire se la funzione 0 e t dt, [0, + ), sin(t 2 ) t 2 + dt, [0, + ), f() := log, (0, + ), è uniformemente continua in (0, ] e [, + ). Esercizio 2.6. Stabilire se la funzione f() := + 2, (0, + ), è uniformemente continua in (0, ] e [, + ). Esercizio 2.7. Stabilire se la funzione f() := cos, (0, + ), è uniformemente continua in (0, ] e [, + ). Esercizio 2.8. Stabilire se la funzione f() := e è uniformemente continua in (0, ] e [, + )., (0, + ), Esercizio 2.9. Sia cos(t) f() = dt, > 0. t Si dimostri che f è uniformemente continua su [, + ). Dopo aver verificato che f(2/n) f(/n) non tende a zero, si discuta l uniforme continuità di f su (0, ].

4 4 GRAZIANO CRASTA E LUIGI ORSINA, A.A. 203/4 Esercizio 2.0. Sia f() = t ( + t 3 dt, > 0. ) Senza calcolare l integrale, si dimostri che f è uniformemente continua su [, + ). Dopo aver verificato che f(2/n) f(/n) non tende a zero, si discuta l uniforme continuità di f su (0, ]. 3. SUCCESSIONI DI FUNZIONI E IN SPAZI METRICI Esercizio 3.. Si consideri la successione di funzioni f n () := + cos(n) + n 4 4, R, n N. (a) Determinare il limite puntuale e l insieme di convergenza puntuale; (b) stabilire se la successione converge uniformemente su [0, ], [, 2], [2, + ); (c) calcolare, se esiste, il limite lim n + 2 f n () d. Esercizio 3.2. Si consideri la successione di funzioni f n () := 2 + arctan(n) + n 2 2, R, n N. (a) Determinare il limite puntuale e l insieme di convergenza puntuale; (b) stabilire se la successione converge uniformemente su [0, ], [, 2], [2, + ); (c) calcolare, se esiste, il limite lim n + 2 f n () d. Esercizio 3.3. Si consideri la successione di funzioni f n () := 3 arctan(n) + n 4 4, R, n N. (a) Determinare il limite puntuale e l insieme di convergenza puntuale; (b) stabilire se la successione converge uniformemente su [0, ], [, 2], [2, + ); (c) calcolare, se esiste, il limite lim n + 2 f n () d. Esercizio 3.4. Si consideri la successione di funzioni f n () := 4 cos(n) + n 2 2, R, n N. (a) Determinare il limite puntuale e l insieme di convergenza puntuale; (b) stabilire se la successione converge uniformemente su [0, ], [, 2], [2, + ); (c) calcolare, se esiste, il limite lim n + 2 f n () d. Esercizio 3.5. Sia n f n () = + n 3, [0, + ). 3 Si studi la convergenza puntuale ed uniforme di f n su [0, ] e su [, + ).

5 Esercizio 3.6. Sia TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA 5 f n () = n e n2 2, [0, + ). Si studi la convergenza puntuale ed uniforme di f n su [0, ] e su [, + ). 4. SERIE DI POTENZE, DI FOURIER E DI FUNZIONI Esercizio 4.. Determinare l insieme di convergenza della serie di potenze ( ) n n 2n. n= Detta s() la somma, calcolare /2 0 s() d. Esercizio 4.2. Determinare l insieme di convergenza della serie di potenze 2n+ 2n +. Detta s() la somma, calcolare s (0). Esercizio 4.3. Determinare l insieme di convergenza della serie di potenze Detta s() la somma, calcolare s (0). n=0 n=2 n n log(n). Esercizio 4.4. Determinare l insieme di convergenza della serie di potenze n=0 Detta s() la somma, calcolare /2 0 s() d. Esercizio 4.5. Data la serie di potenze k=0 (n + ) n. ( ) k 2k + 3 k 2k, determinarne l intervallo di convergenza puntuale, e discuterne la convergenza uniforme e totale; successivamente, detta f() la somma della serie, si calcoli, giustificando i passaggi, f() d. Esercizio 4.6. Data la serie di potenze 0 k= ( ) k 2k 4 k 2k, determinarne l intervallo di convergenza puntuale, e discuterne la convergenza uniforme e totale; successivamente, detta f() la somma della serie, si calcoli, giustificando i passaggi, f ().

6 6 GRAZIANO CRASTA E LUIGI ORSINA, A.A. 203/4 Esercizio 4.7. Data la serie di potenze k=0 ( ) k 3k + 8 k 3k, determinarne l intervallo di convergenza puntuale, e discuterne la convergenza uniforme e totale; successivamente, detta f() la somma della serie, si calcoli, giustificando i passaggi, f() d. Esercizio 4.8. Data la serie di potenze k= 0 ( ) k k 3 k+ 3k, determinarne l intervallo di convergenza puntuale, e discuterne la convergenza uniforme e totale; successivamente, detta f() la somma della serie, si calcoli, giustificando i passaggi, f (). Esercizio 4.9. Sia, per in [ π, π], f() = 2 se π se π 2 2, < π. Scrivere la serie di Fourier di f e discuterne la convergenza. Detta S() la somma della serie, calcolare S(π). Esercizio 4.0. Sia, per in [ π, π], se π f() = 2, 2 se π 2 < π. Scrivere la serie di Fourier di f e discuterne la convergenza. Detta S() la somma della serie, calcolare S(π/2). Esercizio 4.. Sia, per in [ π, π], 3 se π f() = 2, 2 se π 2 < π. Scrivere la serie di Fourier di f e discuterne la convergenza. Detta S() la somma della serie, calcolare S(π/2). Esercizio 4.2. Sia, per in [ π, π], 2 se π f() = 2, 3 se π 2 < π. Scrivere la serie di Fourier di f e discuterne la convergenza. Detta S() la somma della serie, calcolare S(π). Esercizio 4.3. Sia, per in ( π, π], f() = 0 se < 0, 2 se 0,

7 TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA 7 e si consideri f prolungata per periodicità su R. Si discuta la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier associata ad f. Si calcolino i coefficienti di Fourier di f. Detta S() la somma della serie, si calcoli S(π). Esercizio 4.4. Sia, per in ( π, π], f() = 2 se < 0, 0 se 0, e si consideri f prolungata per periodicità su R. Si discuta la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier associata ad f. Si calcolino i coefficienti di Fourier di f. Detta S() la somma della serie, si calcoli S(π). Esercizio 4.5. Sia, per in ( π, π], f() = 0 se < 0, 2 se 0, e si consideri f prolungata per periodicità su R. Si discuta la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier associata ad f. Si calcolino i coefficienti di Fourier di f. Detta S() la somma della serie, si calcoli S(π). Esercizio 4.6. Sia, per in ( π, π], f() = 2 se < 0, 0 se 0, e si consideri f prolungata per periodicità su R. Si discuta la convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier associata ad f. Si calcolino i coefficienti di Fourier di f. Detta S() la somma della serie, si calcoli S(π). Esercizio 4.7. Sia f() = π 2 per in ( π, π], e si consideri f prolungata per periodicità su R. Scrivere la serie di Fourier di f, e studiarne la convergenza. Esercizio 4.8. Sia f() = π per in ( π, π], e si consideri f prolungata per periodicità su R. Scrivere la serie di Fourier di f, e studiarne la convergenza. Esercizio 5.. Sia 5. FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI sin( 3 y) f(, y) = 2 + y 2 se (, y) (0, 0), 0 se (, y) = (0, 0). Studiare continuità, derivabilità parziale e differenziabilità di f nell origine. Dato v = (v, v 2 ), con v 2 + v2 2 =, calcolare f/ v nell origine. Esercizio 5.2. Sia log( + 2 y 2 ) f(, y) = 2 + y 2 se (, y) (0, 0), 0 se (, y) = (0, 0). Studiare continuità, derivabilità parziale e differenziabilità di f nell origine. Dato v = (v, v 2 ), con v 2 + v2 2 =, calcolare f/ v nell origine.

8 8 GRAZIANO CRASTA E LUIGI ORSINA, A.A. 203/4 Esercizio 5.3. Sia arctan( y 3 ) f(, y) = 2 + y 2 se (, y) (0, 0), 0 se (, y) = (0, 0). Studiare continuità, derivabilità parziale e differenziabilità di f nell origine. Dato v = (v, v 2 ), con v 2 + v2 2 =, calcolare f/ v nell origine. Esercizio 5.4. Sia ep( 2 y 2 ) f(, y) = 2 + y 2 se (, y) (0, 0), 0 se (, y) = (0, 0). Studiare continuità, derivabilità parziale e differenziabilità di f nell origine. Dato v = (v, v 2 ), con v 2 + v2 2 =, calcolare f/ v nell origine. Esercizio 5.5. Stabilire se la funzione 3 y 2 f(, y) := 4, se (, y) (0, 0), + y2 0, se (, y) = (0, 0), è continua, direzionalmente derivabile, differenziabile nell origine. Esercizio 5.6. Stabilire se la funzione 2 y 3 f(, y) := 2, se (, y) (0, 0), + y4 0, se (, y) = (0, 0), è continua, direzionalmente derivabile, differenziabile nell origine. Esercizio 5.7. Stabilire se la funzione 3 y 4 f(, y) := 4, se (, y) (0, 0), + y6 0, se (, y) = (0, 0), è continua, direzionalmente derivabile, differenziabile nell origine. Esercizio 5.8. Stabilire se la funzione 4 y 3 f(, y) := 6, se (, y) (0, 0), + y4 0, se (, y) = (0, 0), è continua, direzionalmente derivabile, differenziabile nell origine. Esercizio 5.9. Sia f(, y) = y 2 se y, 2 y se y <. Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità di f nell origine. La funzione è continua su R 2?

9 TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA 9 Esercizio 5.0. Sia 2 y se y, f(, y) = y 2 se y <. Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità di f nell origine. La funzione è continua su R 2? 6. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizio 6.. Determinare le soluzioni massimali del problema di Cauchy = e t, (log 3) =. Esercizio 6.2. Determinare le soluzioni massimali del problema di Cauchy = + t 2, (0) = π 2 /64. Esercizio 6.3. Determinare le soluzioni massimali del problema di Cauchy = 3t 2 3, (0) =. Esercizio 6.4. Determinare le soluzioni massimali del problema di Cauchy = e t 3, (0) =. Esercizio 6.5. Si consideri l equazione differenziale = 2t + t 2 + b(t), con b C(R). (a) Si determini l integrale generale dell equazione nel caso b(t) = t. (b) Sia b una funzione continua e limitata in R e sia la soluzione del problema di Cauchy con dato iniziale (0) = 0. Si calcoli lim t 0 [(t) 0 ]/t. Esercizio 6.6. Si consideri l equazione differenziale = 4t3 + t 4 + b(t), con b C(R). (a) Si determini l integrale generale dell equazione nel caso b(t) = t 3. (b) Sia b una funzione continua e limitata in R e sia la soluzione del problema di Cauchy con dato iniziale (0) = 0. Si calcoli lim t 0 [(t) 0 ]/t. Esercizio 6.7. Si consideri l equazione differenziale = 2t + t 2 + b(t), con b C(R). (a) Si determini l integrale generale dell equazione nel caso b(t) =. (b) Sia b una funzione continua e limitata in R e sia la soluzione del problema di Cauchy con dato iniziale (0) = 0. Si calcoli lim t 0 [(t) 0 ]/t.

10 0 GRAZIANO CRASTA E LUIGI ORSINA, A.A. 203/4 Esercizio 6.8. Si consideri l equazione differenziale = et + e t + b(t), con b C(R). (a) Si determini l integrale generale dell equazione nel caso b(t) = e t. (b) Sia b una funzione continua e limitata in R e sia la soluzione del problema di Cauchy con dato iniziale (0) = 0. Si calcoli lim t 0 (t)/t. Esercizio 6.9. Si consideri il problema di Cauchy y (t) 3y (t) + 2y(t) = C e t sin(t) y(0) = y (0) = 0. Scrivere la soluzione del problema per C = 0 e per C = 2. Esercizio 6.0. Si consideri il problema di Cauchy y (t) 5y (t) + 6y(t) = C e 2t sin(t) y(0) = y (0) = 0. Scrivere la soluzione del problema per C = 0 e per C = 2. Esercizio 6.. Si consideri il problema di Cauchy y (t) + 3y (t) + 2y(t) = C e 2t sin(t) y(0) = y (0) = 0. Scrivere la soluzione del problema per C = 0 e per C = 2. Esercizio 6.2. Si consideri il problema di Cauchy y (t) + 5y (t) + 6y(t) = C e 3t sin(t) y(0) = y (0) = 0. Scrivere la soluzione del problema per C = 0 e per C = 2. Esercizio 6.3. Dato il problema di Cauchy y (t) y (t) 2y(t) = 4e 2t, y(0) = a, y (0) = 0, determinare per quale valore di a si ha lim y(t) = 0. t + Esercizio 6.4. Dato il problema di Cauchy y (t) + y (t) 2y(t) = 4e 2t, y(0) = a, y (0) = 0, determinare per quale valore di a si ha lim y(t) = 0. t