Primo Parziale del Corso di Analisi Matematica Calcolare la soluzione generale dell equazione differenziale

Transcript

1 Primo Parziale del Corso di Analisi Matematica 4. Calcolare la soluzione generale dell equazione differenziale =. Soluzione: Sostituendo = e λ si arriva all equazione caratteristica λ 5 + 3λ 4 + 3λ 3 + λ =, cioè λ λ + 3 = con lo zero doppio λ = e lo zero triplo λ =. Quindi = c + c + c 3 e + c 4 e + c 5 e. A. Calcolare la soluzione generale dell equazione differenziale 3 = 3, osservando che = / e = 3 sono soluzioni della corrispondente equazione omogenea. Soluzione: Utilizzando il metodo della variazione dei parametri poniamo = c +c 3, dove 3 c 3 c = 3. Il determinante della matrice Wronskiana vale 4 e quindi c c = = 5. Dunque c = c 6 e c = c + 4. Dunque = c ] 6 + c + 4 ] 3 = c + c B. Considerando la serie di potenze f = n= 3 n + n ] 5 n n + 5 n, Chi ha sostenuto il corso di analisi matematica 3 secondo il programma dell AA 3-4, farà gli esercizi A, 3A e 6A. Chi l ha sostenuto secondo il programma dell AA 4-5, farà gli esercizi B, 3B e 6B.

2 si stabilisca l insieme di tutti gli R per cui la serie di potenze è assolutamente convergente? Soluzione: Per il raggio di convergenza troviamo R = lim n 3 n+ + n+ ]5 n+ n+ + 3 n+ n + 5 n 3 n + n ]5 n = 3 lim n + /3 n+ ] + /5 n ] ] + /5 n+ ] + /3 n ] = 3, e dunque R =. La serie di potenze è assolutamente convergente se 3 < < e divergente se < e se >. Per = ± la serie è n= ± n + /3n + /5 n. Siccome il suo termine generale non tende a zero se n, è divergente anche per = ± 3. 3A. Calcolare la soluzione generale dell equazione differenziale = +. Si riesce e poichè si o poichè no trovare una soluzione :, ] R dell equazione differenziale tale che =? Soluzione: La separazione delle variabili conduce all equazione d = + d. Quindi arctan = + cost. Dunque = tancost. +. Malgrado il fatto che l equazione differenziale è = f, con una f che non è neanche definita in, =,, esiste la funzione = tan π + 4 continua per, ] tale che = f, per,. 3B. Consideriamo la funzione periodica f : R R di periodo tale che f = cosh def = e + e ] per <. / <. a. Calcolare i suoi coefficienti di Fourier. La soluzione generale è da rappresentare nella forma = F, cost..

3 b. È uniforme in R la convergenza della sua serie di Fourier? Poichè si o poichè no? c. Calcolare la sua somma per ogni R. Soluzione: Siccome la f è pari, abbiamo b k =, mentre a = 4 / cosh d = 4 sinh/; a k = 4 = πk = / πk cosh cos πk cosh sin sinh cos π k πk ] / d ] / πk = π k k sinh/ 4π k a k, e quindi a k = / π k πk sinh sin d πk cosh cos d / ]. k sinh + π k 4π k La somma f? = a + k= πk a k cos vale f periodo. Siccome la funzione f è continua e regolare a tratti, la sua serie di Fourier è uniformemente convergente in R. 4. Consideriamo la forma differenziale e + d a. Verificare se la forma è chiusa nel dominio d. + Ω = {, R : > > }. Se esiste, costruirne una primitiva. b. Esiste una primitiva nel dominio {, R : < + < 4}? Perchè esiste o perchè non esiste?

4 Soluzione: La forma differenziale è chiusa, poichè e + = + + = Siccome Ω = {, R : > > } è convesso e quindi semplicemente connesso, è esatta la forma differenziale. Risolvendo le equazioni f = e + +, f = + 3 +, risulta prima f, = e + arctan + g, dove g è una costante di integrazione. Sostituendolo nella seconda equazione si ha g = + 3 e quindi g = cost. Per, Ω arriviamo alla primitiva f, = e + arctan cost. Per stabilire se è esatta la forma differenziale in R \ {, }, si faccia un integrazione curvilinea lungo la circonferenza unitaria, dove la forma differenziale ha i componenti e cos θ + sin θ, + 3 sin θ cos θ in coordinate polari. Quest integrale curvilineo vale I = = π e cos θ + sin θ sin θ sin θ cos θ cos θ ] dθ e cos θ ep sin θ + sin θ + sin3 θ sin θ + cos θ ] π = π. Di consequenza, non può essere esatta la forma differenziale nel dominio R \ {, }.

5 5. Calcolare la lunghezza della curva spaziale definita in coordinate cilindriche da ρθ = e θ, zθ = e θ, θ π. Soluzione: Lunghezza: ϕθ = e θ cosθ, e θ sinθ, e θ. Dunque L = π ϕ θ dθ = π e θ cosθ + sin θ] + e θ cosθ sin θ] + e θ ] / π dθ = 3 e θ dθ = 3 e π ]. 6A. Calcolare il volume del solido rinchiuso tra le coniche di equazione z = + + e z = 4 +. Soluzione: In coordinate cilindriche abbiamo le coniche di equazione z = + r e z = 4 r. Cercando l intersezione risulta + r = 4 r, cioè r = e z =. Quindi l intersezione è la circonferenza {,, z : + =, z = }. Inoltre, per r abbiamo + r 4 r. Per il volume risulta V = π = π r 4 r + r] dr dθ 3r 3r ] dr = π. 6B. Calcolare la soluzione generale dell equazione differenziale 8 =. Soluzione: Sostituendo = e λ si arriva all equazione caratteristica λ 8 =, cioè z = cos πk πk + i sin per k =,,, 3, 4, 5, 6, 7. Cioè, 8 8 z =, + i, i, + i,, i, i, i. Quindi = c e + c e cos + c 3 e sin + c 4 cos + c 5 sin + c 6 e cos + c 7 e sin + c 8 e.