Esercitazione Scritta di Analisi Matematica II Pisa, 7 Dicembre 2005

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1 Università di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Civile Esercitazione Scritta di Analisi Matematica II Pisa, 7 icembre eterminare per quale delle seguenti funzioni l origine non è un punto stazionario. (A) cosx cosy (B) e x2 y (C) y cosx 2 () y sin x 2 2. eterminare quante delle seguenti equazioni differenziali u = u sin t, u = t sin u u = sin(tu) sono lineari. (A) (B) 1 (C) 2 () 3 3. Una montagna ha la forma descritta dal grafico della funzione e xy 3y 2, in cui abbiamo orientato gli assi x e y, rispettivamente, verso Est e verso Nord. Uno sciatore si trova nel punto corrispondente ad x = 1, y = 1 e si appresta a scendere lungo la linea di massima pendenza. eterminare quale delle seguenti rappresenta meglio la direzione verso cui procede lo sciatore. (A) Nord-Est (B) Nord-Ovest (C) Sud-Est () Sud-Ovest 4. eterminare la soluzione generale dell equazione differenziale u + 64u =. (A) u(t) = a + b sin(8t) + c cos(8t) (B) u(t) = a + be 8t + ce 8t (C) u(t) = at + b sin(8t) + c cos(8t) () u(t) = ae 4t + bte 4t + ct 2 e 4t 5. Sia = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 25, x }. eterminare quanti dei seguenti integrali x xy x 3 y 2 x 2 y 3 sono uguali a zero. (A) 1 (B) 2 (C) 3 () 4 6. Per trovare una soluzione dell equazione differenziale u u = e t + t conviene cercarla della forma (A) ae t + bt (B) ae t + bt + c (C) ate t + bt + c () ate t + bt 1

2 7. Sia A = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 4, z, x + y }. eterminare la descrizione di A in coordinate sferiche. (A) ρ [, 2], θ [, π], ϕ [, π/2] (B) ρ [, 2], θ [, π], ϕ [ π/2, ] (C) ρ [, 2], θ [3π/4, 7π/4], ϕ [ π/2, ] () ρ [, 2], θ [ π/4, 3π/4], ϕ [ π/2, π/2] 8. Consideriamo l insieme T = {(x, y) R 2 : x 1, y x}. eterminare quante delle seguenti funzioni x 2 y x 2 + y 2 y x 4 x + y assumono il loro massimo in T nel punto (1, ). (A) 1 (B) 2 (C) 3 () 4 9. Indichiamo con B R (, ) il cerchio di R 2 con centro nell origine e raggio R. eterminare quale delle seguenti affermazioni è equivalente a dire che lim f(x, y) = +. x 2 +y 2 + (A) M R R si ha che f(x, y) M (x, y) B R (, ). (B) M R tale che R si ha che f(x, y) M (x, y) B R (, ). (C) M R R tale che f(x, y) M se e solo se (x, y) B R (, ). () M R R tale che f(x, y) M (x, y) B R (, ). 1. Tre degli integrali indicati nelle risposte sono uguali qualunque sia la funzione f : R 2 R continua che si integra. eterminare il quarto. (A) (B) (C) () x/2 2 y+1 2y x/2 f(x, y) f(x, y) f(x, y) f(x, y) x 1 2y 2 x/2 1 x 1 f(x, y) f(x, y) f(x, y) 11. Sia F = {(x, y) R 2 : π x 2π, y cosx }. eterminare il volume del solido ottenuto ruotando F intorno all asse y. (A) π 2 /2 (B) 2π 2 (C) 3π () 6π 2 2

3 12. Consideriamo la funzione f(x, y) = x 4 + 3xy y 2. eterminare quale delle seguenti affermazioni è corretta (A) f è convessa in tutto R 2 (B) f è concava in tutto R 2 (C) Esistono dei sottoinsiemi (non vuoti) di R 2 in cui è concava ed altri in cui è convessa () In ogni sottoinsieme (non vuoto) di R 2 si ha che f non è né concava né convessa 13. eterminare il tempo di vita della soluzione del problema di Cauchy u = u 2 + 1, u() = 1. (A) π/2 (B) 3π/4 (C) 1 () La matrice ha (A) Tre autovalori positivi (B) ue autovalori positivi ed uno negativo (C) Un autovalore positivo e due negativi () Tre autovalori negativi L estremo inferiore della funzione f(x, y) = y 2 x + x 2 + x 4, al variare di (x, y) in R 2 è (A) (B) (C) un numero reale negativo () non esiste 16. Sia Q il primo quadrante di R 2. L integrale improprio x + arctan x 1 + (x 4 + y 4 ) α converge se e solo se Q (A) α > (B) α > 1/4 (C) α > 1/2 () α > 3/4 3

4 17. Sia u(t) la soluzione del problema di Cauchy u = arctan(u 1), u() = 1. Allora (A) u(25) < 1 (B) u(25) = 1 (C) u(25) > 1 () non ha senso chiedere u(25) perché il tempo di vita della soluzione è minore di Per la funzione f(x, y) = y 2 x + x 2 + x 4 l origine è (A) un punto non stazionario (B) un punto di minimo locale (C) un punto di massimo locale () un punto stazionario, ma non un punto di massimo o minimo locale 19. Sia E = {(x, y) : 2x 2 + 3y 2 1}. Calcolare E y 2. (A) π 12 6 (B) π 4 6 (C) π 6 12 () π 4 2. Consideriamo l insieme A = {(x, y) : 4x 2 + y 2 36, x }. I punti di minimo della funzione x 2 + (x + 1)y 2 nell insieme A stanno (A) tutti nella parte interna di A (B) tutti sul tratto rettilineo del bordo di A (estremi compresi) (C) tutti sul tratto curvilineo del bordo di A (estremi esclusi) () nessuna delle precedenti 21. Consideriamo il problema di Cauchy u = u 2 sin t, u() = α. eterminare per quali valori del parametro α si ha esistenza globale. (A) α < 1/2 (B) 1/2 < α < 1/2 (C) 1/2 < α < () α < 1/2 22. Sia il cerchio con centro nell origine e raggio 2. L integrale improprio x y α (x 2 + y 2 ) 8 converge se e solo se (A) α > 13 (B) α < 13 (C) α > 5 () α < 5 4

5 Università di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Civile Esercitazione Scritta di Analisi Matematica II - Risposte Pisa, 7 icembre 25 omanda Risposta 1 C 2 B 3 B 4 A 5 B 6 C 7 C 8 A 9 1 B B 14 C 15 B B A 2 C 21 A 22 A 5