Analisi Matematica II - Ingegneria Meccanica/Energetica - 21 Giugno 2018

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1 Analisi Matematica II - Ingegneria Meccanica/Energetica - 21 Giugno Data la funzione f, y y 2 + y 4 α, α >. a Determinare al variare del parametro α > il dominio di definizione di f. b tudiare al variare di α > la continuità, la derivabilità e la differenziabilità di f nel dominio di definizione. c Calcolare per α 1/2 l equazione del piano tangente al grafico di f nel punto 1,. volgimento. a Il dominio di definizione della funzione è R 2 per ogni α >. b La funzione è continua in tutto il suo dominio, R 2, per ogni α > in quanto composizione di funzioni continue elevamento a potenza di ordine α composta con un polinomio. Per quanto riguarda la regolarità osserviamo che in generale la funzione g α è derivabile per se α 1, mentre per < α < 1 non è derivabile in. Quindi: Per α 1 la funzione f, y risulta C R 2 in quanto composizione di funzioni C. Analogamente per < α < 1 la funzione f, y risulta C R 2 \ {, }. Il gradiente della funzione in questi due casi è f, y α y 2 + y 4 α 1 2 y 2 y + 4y 3. Rimane da studiare la derivabilità e la differenziabilità della funzione in, per < α < 1. < α < 1 Per quanto riguarda la derivabilià si osservi che e analogamente f, f, 2α lim lim,, lim 2α { α > 1/2 < α < 1/2 f, y f, y 2 + 4y 4 α lim lim lim,y, y y y y y y 2α 1 + o1 { α > 1/2 < α < 1/2 Quindi la funzione risulta derivabile in, per 1/2 < α < 1 con gradiente pari a f,. Per quanto riguarda la differenziabilità per 1/2 < α < 1 passando in coordinate polari si ha f f f, y 2 + y 4 α coo.pol. ρ2α cos θ sin θ 2 + ρ 2 sin 4 θ α ρ ρ 2α 1 cos θ sin θ 2 + ρ 2 sin 4 θ α 2α 1 >. Quindi la funzione risulta differenziabile in, se, e solo se, 1/2 < α. 1

2 1 c Per α 1/2 si ha f1, 1 1 z f1, + f1,, y quindi l eqazione del piano tangente y y. 2

3 2 Data la forma differenziale ω : 2 y d + 1/2 2/3 2 y 2/3 dy a tudiare la chiusura e l esattezza di ω. Nel caso in cui la forma risulti esatta calcolarne una primitiva. b Calcolare l integrale γ ω dove γ è la curva definita dall equazione y e + 1 per [, 1] volgimento. Il dominio di ω è formato da due componenti connesse D ω {, y R 2 2 y } D + D ; D + : {, y R 2 2 > y}, D : {, y R 2 2 < y} onguna della quali D + e D è semplicemente connessa. Quindi il dominio, seppur non connesso, è un indieme semplicemente connesso. La forma differenziale è chiusa 1/2 a 2 2 y 2 2/3 3 2 y 5/3 y 2 y ya 2/3 1, quiandi, essendo il dominio semplicemente connesso, è anche esatta. Calcoliamo una primitiva f: f, y a 1, y f, y 2 y 2/3 2 y d + hy 3 2/3 2 2 y 1/3 + hy Per determinare h imponiamo la seconda equazione su f y 2/3 + yhy y f, y a 2, y frac 1/2 2 y 2/3 y hy ossia hy cost. cegliendo, per semplicità, h otteniamo la primitiva f, y y 1/3 b i ossevi che il sostegno della curva γ si trova nell insieme D. L integra è dato da ω fγ1 fγ f1, 1 + e f, e1/ /3 γ 3

4 3 Calcolare l ntegrale y 1/3 + y 2 ddy dove : {, y, z R y 2 z 1} volgimento. L insieme di integrazione è simmetrico rispetto allo scambio e y y. La funzione integranda f è formata dalla somma di tre termini f, y, z y 1/3 + y 2 e si osservi che il termine 2 y 1/3 da un contributo nullo in quanto è dispari rispetto all y. Quindi f, y, z ddy 2 + y 2 ddy L insieme di integrazione si può parametrizzare per strati nel modo seguente Quindi f, y, z ddy z 1, 2 + 4y 2 z 1 { 2 + y 2 ddy { 2 +4y 2 z} Per calcolare il primi integrale passimo in coordinate ellittiche: ρ cos θ, y 1/2ρ sin θ ρ z, θ [, 2π] la matrice Jacobiana della trasformazione risulta cos θ 1/2 sin θ Jρ, θ ρ sin θ 1/2ρ cos θ, detjρ, θ ρ 2. Quindi f, y, z ddy 1 1 2π { 2 +4y 2 z} 2π z π + π/4 5π 96 dθ dθcos 2 θ + sin2 θ 4 1 z2 8 5π y 2 ddy dρ ρ 2 ρ2 cos 2 θ ρ2 sin 2 θ 1 z z dρ ρ3 2 4

5 4 Calcolare il flusso del campo vettoriale F, y, attraverso la superficie {, y, z R y2 4 + z2 9 1, z} orientata in modo che la terza componente del vettore normale sia negativa. Calcolare, inoltre, il volume dell insieme {, y, z R y2 4 + z2 9 1, z}. volgimento. i osservi che la divergenza di F è costante ed uguale divf 2. Quindi, dal momento che la divergenza del campo fornisce un contributo non nullo, per calcolare il flusso potremmo applicare direttamente la definizione di flusso e calcolare l integrale. Tuttavia se vogliamo comunque applicare il teorema della divergenza chiudiamo prima la superficie con il disco D : {, y, z R y 2 /4 1, z } e orientiamo la superficie chiusa Σ D verso l esterno. Allora si osservi il volume interno alla superficie Σ è esattamente il volume del punto b e che 2vol divf F, N + + F, ND + F, N + dove N +, N D + sono i vettori normali a e D, rispettivamente, orientati verso l esterno di Σ, e dove si è osservato che F, ND + in quanto la terza componente di F è nulla. Quindi per risolvere i punti a e b possiamo o calcolare il volume di o calcolare il flusso fi F attraverso. Procediamo calcolando il volume di usanto coordinate ellissoidali: ρ sin ϕ cos θ sin ϕ cos θ 2 sin ϕ sin θ 3 cos ϕ y 2ρ sin ϕ sin θ, Jρ, ϕ, θ ρ cos ϕ cos θ 2ρ cos ϕ sin θ 3ρ sin ϕ z 3ρ cos ϕ ρ sin ϕ sin θ 2ρ sin ϕ cos θ dove ρ 1, ϕ [, π/2], θ [, 2π] ottenute sostituento le coordiante ellissoidali nelle relazioni che definiscono. i noti in particolare che detjρ, ϕ, θ 6ρ 2 sin ϕ. Quindi vol Quindi mentre F, N + ddy 6 2π dθ π/2 dϕ sin ϕ 1 vol 4π D dρρ 2 12π cos ϕ π/2 ρ 3 /3 1 4π. 2vol 8π. Tuttavia l orientamento di richiesto nel punto a indicato con N p è opposto a +. In conclusione si ha F, N p F, N + 8π. 5

6 5 Data l equazione differenziale ẍ 5ẋ + 6 e 2t + sint Trovare la soluzione generale dell equazione e risolvere il problema di Cauchy con dato iniziale ẋ. volgimento. i tratta di un equazione differenziale lineare e del secondo ordine. l omogenea: le radici del polinomio caratteristico sono Risolviamo P λ λ 2 5λ + 6, λ + 3, λ 2 quindi om t Ae 3t + Be 2t Il termine noto ft è combinazione lineare di due funzioni f 1 t e 2t e f 2 t sint. Troviamo due soluzioni particolari y i corrispondente al termine noto f i, per i 1, 2, e per linearità la funzione yt y 1 t + y 2 t sarà una soluzione particolare corrispondente a termine noto ft. Cominciamo trovando una soluzione particolare corrispondente al termine noto f 1 t e 2t. Osservando che 2 è radice del polinomio caratteristico dell omogenea cerchiamo una soluzione della forma y 1 t Kte 2t. ostituendo nell equazione si ha : ÿ 1 5y 1 + 6y 1 t e 2t K2e 2t + 2e 2t + 4te 2t 5e 2t + 2te 2t + 6te 2t K4e 2t 5e 2t e 2t Quindi K 1 e y 1 t te 2t. Per il termine noto f 2 t sint cerchiamo una soluzione particolare della forma y 2 t C sint + D cost, che sostituita nell equazione da cui C sint D cost 5C cost D sint + 6C sint + D cost sint sint5d+5c+cost 5C+5D sint D C, D+C 1/5, D C 1/1 Quindi y 2 t 1 1 sint + cost. Quindi una soluzione particolare è e la soluzione generale dell equazione è yt y 1 t + y 2 t e 2t + 1 sint + cost 1 Gen t Ae 3t + Be 2t te 2t + 1 sint + cost 1 Imponimo sa luzione del problema di Cauchy: Gen A + B + 1 1, ẋ Gen 3A + 2B 9 1 da cui B 12/1 e A 11/1. Quindi la soluzione del problema di Cacuchy Cauchy t 11 1 e3t 12 1 e2t te 2t + 1 sint + cost. 1 6