Analisi Matematica 2 - a.a. 2009/2010

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1 Primo appello Esercizio Analisi Matematica 2 - a.a. 29/2 Sia f : R 2 R la funzione definita da f(x,y) = x 2 + y 2 se (x,y) (,), se (x,y) = (,).. Si studino continuità, derivabilità e differenziabilità di f. 2. Si provi che l equazione f(x,y) = definisce implicitamente in un intorno del punto (,) una funzione y = g(x) (sugg.: si riscriva f(x,y) = in modo opportuno). 3. Si provi che g ha un minimo locale in x =.. In R 2 \ {(,)} la funzione è rapporto di funzioni di classe C con denominatore non nullo e quindi è essa stessa di classe C. Resta da studiare la regolarità in (,). Innanzitutto studiamo la continuità di f nell origine andando a calcolarne il ite, studiando separatamente il comportamento di vale x 2 + y 2 e x 2 + y 2. x4 + y 4 x 2 + y 2 (x2 + y 2 ) 2 x 2 + y 2 = x 2 + y 2, x 2 + y 2 =. È possibile arrivare alla stessa conclusione è passando in coordinate polari: x 2 + y 2 = ρ4 cos 4 ϑ + ρ 4 sen 4 ϑ ρ 2 = ρ 2 (cos 4 ϑ + sen 4 ϑ), x=ρ cos ϑ y=ρ sen ϑ da cui si ottiene che sup ρ 2 (cos 4 ϑ + sen 4 ϑ) 2ρ 2 per ρ, ϑ,2π] e quindi la conclusione. Riguardo alla seconda quantità di cui dobbiamo studiare il comportamento per (x,y) (,), si osservi che x 2 + y 2 x2 y 2 x 2 + y 2 xy 2, e quindi x 2 + y 2 =.

2 Allora f(x,y) = x 2 + y 2 x 2 + y 2 = = f(,), da cui la continuità di f nell origine. Quanto alla derivabilità, si noti che f(x,) = x 2 e f(,y) = y 2 per ogni x,y R, e quindi f ha derivate parziali entrambe nulle nell origine. Veniamo alla differenziabilità. f(,) = e f(,) = (,), affinché f sia differenziabile nell origine deve essere cioè f(x,y) x 2 + y 2 =, (x 2 + y 2 ) 3/2 =. () Calcoliamo il ite. Sfruttando il lavoro fatto sopra si ottiene subito che da cui x4 + y 4 (x 2 + y 2 ) 3/2 x 2 + y 2, (x 2 + y 2 =. ) 3/2 Riguardo alla parte del ite che coinvolge la funzione seno, passando in coordinate polari si ottiene (x 2 + y 2 ) 3/2 x=ρcos ϑ = sen ( ρ 4 cos 2 ϑ sen 2 ϑ ) ρ 3 ρ 4 cos 2 ϑ sen 2 ϑ ρ 3 ρ, e quindi da cui si deduce che y=ρ sen ϑ sup ϑ,2π] sen ( ρ 4 cos 2 ϑ sen 2 ϑ ) ρ per ρ, ρ 3 (x 2 + y 2 =. ) 3/2 Allora () è verificata e f è differenziabile anche nell origine. 2. Si osservi preinarmente che f(,) =, e quindi (,) è soluzione dell equazione f(x,y) =. Tale equazione si riscrive = x 2 + y 2, e quindi studiare le soluzioni di f(x,y) = in un intorno di (,) equivale a studiare le soluzioni di ϕ(x,y) = dove Si osservi che ϕ(x,y) = x 2 y 2. y ϕ(x,y) = 4y 3 2x 2 y cos(x 2 y 2 ) 2y, da cui y ϕ(,) = 2. Per il teorema di Dini esistono un intorno U di x = ed un unica funzione g : U R tali che ϕ(x,g(x)) = per ogni x U e g() =, come si voleva. 2

3 3. Sempre dal teorema di Dini, essendo ϕ di classe C, anche g ha tale regolarità ed inoltre si ottiene g (x) = xϕ(x,g(x)) y ϕ(x,g(x)). (2) x ϕ(x,y) = 4x 3 2xy 2 cos(x 2 y 2 ) 2x, g () = xϕ(,) y ϕ(,) =, e quindi g ha un punto critico in x =. Deriviamo ulteriormente (2): g (x) = 2 xx ϕ(x,g(x)) + xyϕ(x,g(x))g 2 (x) ] y ϕ(x,g(x)) x ϕ(x,g(x)) xyϕ(x,g(x))g 2 (x) = y ϕ(x,g(x))] 2. Sfruttando il fatto che g () = x ϕ(,) =, si ottiene g () = 2 xx ϕ(,) y ϕ(,). 2 xx ϕ(x,y) = 2x2 2y 2 cos(x 2 y 2 ) + 4x 2 y 4 2, si ha 2 xx ϕ(,) = 4, da cui si deduce che g () = 2, e quindi g ha un minimo relativo in x =. Esercizio 2 Data la matrice t t 2 t 3 W(t) = t t 2, t R. t. Si determinino gli intervalli massimali nei quali W(t) è matrice wronskiana di un sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine. 2. In tali intervalli si determini la matrice A(t) che definisce il sistema di equazioni differenziali y = A(t)y di cui W è matrice risolvente. 3. Nell intervallo massimale di cui sopra contenente t = si determini l integrale generale del sistema di equazioni differenziali y = A(t)y + b(t) con b(t) = (te t,, t).. detw(t) = t 3, si ha detw(t) se e solo se t, e quindi gli intervalli massimali dove W è matrice wronskiana di un sistema di equazioni differenziali lineari sono ], e ],+. 3

4 2. La matrice W è soluzione dell equazione W = A(t)W, e quindi A(t) = W (t)(w(t)). 2t 3t 2 W (t) = 2t, non resta che calcolare (W(t)). Essendo W matrice triangolare superiore, tale è anche W. Sfruttando questa informazione si ottiene che ( ) t 2 t 3 W(t) = t 3 t 2 t 3, t 2 da cui A(t) = 2t 3t 2 t 2 t 3 /t t t 3 2t t 2 t 3 = /t. t 2 /t Il sistema lineare di cui W è matrice risolvente si scrive x = x/t + y + tz y = y/t + z z = z/t. 3. L intervallo massimale in cui calcolare l integrale generale è ], +. W è matrice risolvente del sistema omogeneo associato, l integrale generale di tale sistema si scrive x(t) c c + c 2 t 2 + c 3 t 3 y(t) = W(t) c 2 = c 2 t + c 3 t 2, z(t) c 3 c 3 t con c,c 2,c 3 R costanti arbitrarie. Per calcolare l integrale generale del sistema non omogeneo non resta che procurarci una soluzione particolare v = v(t). Usando il metodo della variazione delle costanti questa si scrive /s se s v(t) = W(t) t ( ) t b(s)ds W(s) = W(t) /s /s s ds t e s e s t = W(t) s ds = W(t) s /2 t t t 2 t 3 e t e s = t t 2 t /2 /2 t t t t(e t e) t 2 /2 + t 3 t 4 /2 = t 3 /2 + t 2 t/2 t t 2. Allora l integrale generale del sistema non omogeneo si scrive x(t) = c + c 2 t 2 + c 3 t 3 + t(e t e) t 2 /2 + t 3 t 4 /2 ỹ(t) = c 2 t + c 3 t 2 t 3 /2 + t 2 t/2 z(t) = c 3 t + t t 2. 4

5 Esercizio 3 Sia dato il campo vettoriale in R 3 x F(x,y,z) = x 2 + y 2 + i y x 2 + y 2 + j + ez k.. Si provi che F è conservativo e se ne calcoli il potenziale U tale che U(,,) =. 2. Sia Σ la superficie definita da Σ = { (x,y,z) R 3 : U(x,y,z) =, x 2 + y 2 < }, orientata in modo che nell origine il versore normale n sia k. Si calcoli il flusso del campo vettoriale G(x,y,z) = (x 2 + y 2 + ) 3/2 F(x,y,z) attraverso Σ.. Si osservi che, dette F,F 2,F 3 le componenti di F lungo i,j,k rispettivamente, si ha y F (x,y,z) = xy (x 2 + y 2 + ) 3/2 = xf 2 (x,y,z), z F (x,y,z) = = x F 3 (x,y,z), z F 2 (x,y,z) = = y F 3 (x,y,z), da cui si deduce che rotf(x,y,z) = per ogni (x,y,z) R 3 (o, equivalentemente, che la forma differenziale ω = F dx + F 2 dy + F 3 dz è chiusa in R 3 ), e quindi che F è conservativo essendo R 3 semplicemente connesso. Per calcolare un potenziale Ũ, integriamo F rispetto ad x ottenendo che Ũ(x,y,z) = x 2 + y ψ(y,z), (3) dove ψ è funzione di classe C. deve essere y y Ũ(x,y,z) = x 2 + y 2 +, da (3) deduciamo che deve essere y ψ(y,z) =, cioè che la funzione ψ dipende dalla sola variabile z, e quindi possiamo scrivere ψ = ψ(z). poi deve essere z Ũ = e z, ancora da (3), si ottiene che ψ (z) = e z, e quindi possiamo scegliere ψ(z) = e z. Allora si ottiene Ũ(x,y,z) = x 2 + y e z, ed essendo Ũ(,,) =, si ha che il potenziale cercato è proprio Ũ, e quindi U = Ũ. 2. Σ è contenuta nell insieme degli zeri di U, il suo versore normale è parallelo a U = F, e quindi a G. Inoltre, essendo G(x,y,z),k = e z (x 2 + y 2 + ) 3/2 >, il campo vettoriale G ha anche lo stesso verso del versore normale n. Se ne deduce che Φ Σ (G) = G,n ds = G ds. Σ Σ 5

6 Per calcolare quest ultimo integrale, osserviamo che Σ può essere parametrizzata come una superficie cartesiana. Infatti, dalla definizione di Σ e usando l espressione di U si ottiene Σ = { (x,y,z) R 3 : e z = x 2 + y 2 +, x 2 + y 2 < }, e quindi una parametrizzazione di Σ è Riguardo a G si ottiene σ(x,y) = ( x,y,(/2)ln(x 2 + y 2 + ) ) (x,y) B (,). G(x,y,z) = (x 2 + y 2 + ) 3/2 F(x,y,z) = (x 2 + y 2 + ) 3/2 x 2 + y 2 x 2 + y e2z, e quindi G(σ(x,y)) = ( G x,y,(/2)ln(x 2 + y 2 + ) ) = (x 2 + y 2 + ) 3/2 x 2 + y 2 x 2 + y (x2 + y 2 + ) Mettendo assieme quanto trovato si ottiene Φ Σ (G) = = B (,) B (,) = (x 2 + y 2 + ) x 2 + y 2 + (x 2 + y 2 + ) 2. (x 2 + y 2 + ) x 2 + y 2 + (x 2 + y 2 + ) 2 + x 2 + y 2 + (x 2 + y 2 + ) 2] dxdy, x 2 + y 2 (x 2 + y 2 + ) 2 dxdy dove si è sfruttato la formula dell integrale superficiale su una superficie cartesiana. Passando in coordinate polari si ottiene Φ Σ (G) = 2π = 2π 4 ρ4 ρ 2 + (ρ 2 + ) 2] ρdρdϑ = 2π ρ 3 + ρ(ρ 2 + ) 2] dρ + 2π 6 (ρ2 + ) 3 = 7π 6, dove abbiamo potuto usare le formule di riduzione per gli integrali doppi su rettangoli essendo la funzione integranda continua. Esercizio 4 Data la funzione di variabile complessa f(z) = e /z /(z ) 2 se ne classifichino le singolarità e si calcolino i residui nei suoi poli. È evidente che le singolarità di f sono z = e z =. Osservando il comportamento della restrizione di f all asse reale si nota che e /x f(x) = =, f(x) = x x (x ) 2 x + (x ) 2 = +, x e /x 6

7 da cui si deduce che f non ha ite per z e quindi che z = è singolarità essenziale per f. Riguardo a z =, poiché (z z )2 f(z) = e /z = e C \ {}, z si deduce che z = è un polo del secondo ordine per f. L unico residuo da calcolare è allora res(f,): usando la formula per il calcolo del residuo di una funzione in un suo polo si ottiene d res(f,) = (z ) 2 f(z) ] d e /z = z dz z dz e/z = z z 2 = e. 7