Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del x 2 + y 2 sin x 2 + y 2. 2y x x 2 + y 2 dxdy

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1 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. punti Data la funzione fx, y = x + y sin x + y i determinare in quali punti del dominio naturale è differenziabile; ii determinare massimo e minimo di fx, y su } Ω = x, y R : x, y, x + y. Esercizio. punti Calcolare l integrale y x x + y dxdy dove Ω = x, y R : y x+, x + y }. Ω Esercizio 3. punti Data la superficie Σ = x, y, z R 3 : x + y z 3 =, z } i scrivere una parametrizzazione globale di Σ; ii calcolare il volume dell insieme V = x, y, z R 3 : x + y z 3, z x y }

2 volgimento Esercizio. Data la funzione fx, y = x + y sin x + y i determinare in quali punti del dominio naturale è differenziabile; Il dominio naturale della funzione è R e fx, y si può scrivere come somma della funzione gx, y = x + y e della composizione delle funzioni ht = sin t e gx, y. La funzione h è differenziabile su tutto il suo dominio naturale, mentre g è differenziabile in R \ x + y = }. Dunque possiamo concludere dai teoremi di carattere generale che la funzione f è certamente differenziabile in R \ x + y = } = R \, }. Rimane da studiare la differenziabilità in,. Iniziamo studiando l esistenza delle derivate parziali di f. i trova f, = lim x t ft, f, t = lim t t sin t t e usando lo sviluppo sin t = t t 3 + o t 3, troviamo Ripetendo lo stesso ragionamento abbiamo f, =. x f, = lim y t f, t f, t t sin t = lim =. t t Dobbiamo poi vedere se lim x,y, fx, y f, f f x, x y, y =. x + y ostituendo i valori della funzione e delle sue derivate parziali, si ottiene che dobbiamo studiare lim x,y, x + y sin x + y x + y = lim x,y, Dunque la funzione f risulta essere differenziabile anche in,. x + y 3 + o x + y 3 x + y =. ii determinare massimo e minimo di fx, y su } Ω = x, y R : x, y, x + y. L insieme Ω è rappresentato nella figura.

3 Figure : L insieme Ω. Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume su eventuali punti di non differenziabilità, sui punti critici liberi interni a Ω, sugli eventuali spigoli del bordo e sui punti critici vincolati al bordo di Ω. Nel punto precedente abbiamo determinato che la funzione f è differenziabile in tutto R. Nei punti x, y, possiamo calcolare il gradiente fx, y = x x +y y x +y x cos x + y x +y y cos x + y x +y da cui si ricava che non ci sono punti critici liberi interni a Ω, poiché cos cos x + y < su Ω \, }. Ci rimane da studiare il comportamento di f sul bordo di Ω. Gli spigoli sono i punti =, = e 3 =. Il bordo lo dividiamo in tre parti: Γ = Γ 3 = Γ = } y =, x x + y =, x =, y } x }. Per quanto riguarda Γ possiamo usare la parametrizzazione [ ] γ t = t,, t,, 3

4 e componendo con f troviamo la funzione di una variabile Risulta g t = fγ t = t sin t, t cos t, t, g t =, t = + cos t, t, [ ],. e dunque si trova un punto critico per t = che corrisponde al punto critico vincolato Q = γ =. L insieme Γ possiamo parametrizzarlo usando γ t = cos t, sin t, t [, t ], dove 3 = γ t, e dunque t,. Componendo con f troviamo la funzione di una variabile g t = fγ t = sin, t [, t ]. Essendo g una funzione costante, tutti i punti di Γ sono punti critici vincolati, e per i valori della funzione possiamo usare gli spigoli e 3. Osserviamo che Γ è parte di un insieme di livello di f. Per quanto riguarda Γ 3 possiamo usare la parametrizzazione γ 3 t =, t, t [, ], e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g 3 t = fγ 3 t = t + sin t + [, t, ]. Risulta g 3 t = t t t cos + t + t +, e dunque non si trovano punti critici in,. I valori che dobbiamo confrontare sono dunque fq =, f = f 3 = sin, f = sin. Dunque il massimo di f è sin e il minimo è. Esercizio. Calcolare l integrale Ω y x x + y dxdy 4

5 Figure : L insieme Ω. dove Ω = x, y R : y x+, x + y }. L insieme Ω è rappresentato nella figura. Per semplificare il calcolo usiamo il cambiamento di variabili in coordinate polari, ossia ψρ, θ = x, y con x = ρ cos θ y = ρ sin θ e det J ψ ρ, θ = ρ. volgiamolo con il cambiamento di variabili. Dunque ponendo l insieme tale che ψ = Ω, abbiamo y x x + y dxdy = sin θ cos θ dρdθ. Ω Determiniamo adesso e proviamo a scriverlo come insieme semplice. Dalla definizione di Ω troviamo = ρ, θ [, + [, ] : ρ sin θ ρ cos θ + }, ρ La prima e la terza condizione ci dicono che ρ [, ] e θ [, ]. La prima, la seconda e la terza condizione per si riscrivono insieme come sin θ cos θ > sin θ cos θ < θ [, ] θ [, ] ρ sin θ cos θ ρ [, ] ρ sin θ cos θ ρ [, ] da cui troviamo θ ] arccos, ρ sin θ cos θ ρ [, ] θ [, arccos ρ sin θ cos θ ρ [, ]

6 Chiamando l insieme delle soluzioni del primo sottosistema in, otteniamo l insieme rappresentato in figura 3 con ρ sulle ascisse e θ sulle ordinate. Per scriverlo come insieme semplice Figure 3: L insieme. dobbiamo considerare la soluzione in arccos, ] di sin θ cos θ = che sono θ = arccos 3 e θ =. Dunque = ρ, θ : arccos < θ < arccos 3 }, ρ ρ, θ : arccos 3 } < θ <, ρ sin θ cos θ Chiamando poi l insieme delle soluzioni del secondo sottosistema in, osservando che per ogni θ [, arccos, si ha che la seconda condizione è sempre verificata. Dunque = ρ, θ : θ < arccos }, ρ sin θ cos θ < In conclusione possiamo dunque scrivere = come = ρ, θ : < θ < arccos 3 }, ρ ρ, θ : arccos 3 } < θ <, ρ sin θ cos θ Dunque = arccos 3 Ω sin θ cos θ dρ = y x x + y dxdy = sin θ cos θ dρdθ = arccos 3 dθ + arccos 3 sin θ cos θ sin θ cos θ dθ + arccos 3 sin θ cos θ dρ dθ = dθ =

7 arccos 3 = cos θ sin θ + θ arccos 3 = arccos 3 = arccos 3 Esercizio 3. Data la superficie i scrivere una parametrizzazione globale di Σ; Σ = x, y, z R 3 : x + y z 3 =, z } L insieme Σ si può interpretare come superficie di rotazione o come superficie cartesiana. Nel secondo caso, si tratta del grafico della funzione continua fx, y = x + y 3 sull insieme D = x, y R : x + y 9 } Quindi possiamo scrivere la parametrizzazione globale σ : D R 3, σx, y = x, y, x + y 3. ii calcolare il volume dell insieme V = x, y, z R 3 : x + y z 3, z x y } L insieme V è rappresentato in figura 4, e si può scrivere come un insieme semplice rispetto a z nella forma } V = x, y, z R 3 : x, y E, x + y 3 z x y dove E = x, y R : x + y }. Il volume di V si può quindi calcolare utilizzando la formula Figure 4: L insieme V. di integrazione per fili, da cui volv = V dxdydz = E x y x +y 3 dz dxdy = 7

8 = E x y x + y 3 dxdy = dove abbiamo usato il cambiamento di variabili in coordinate polari ρ ρ 3 ρ dρdθ ψρ, θ = x, y con x = ρ cos θ y = ρ sin θ e det J ψ ρ, θ = ρ e abbiamo posto E = ψ, e quindi = ρ, θ, + [, ] : ρ } = [, ] [, ]. Quindi volv = ρ ρ 3 ρ dρdθ = ρ ρ 3 ρ dρ dθ = = ρ 3 8 ρ 4 3 = + 3 =

9 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito B del È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. punti Data la funzione fx, y = x + y cos x + y i determinare in quali punti del dominio naturale è differenziabile; ii determinare massimo e minimo di fx, y su } Ω = x, y R : x, y, x + y. Esercizio. punti Calcolare l integrale y + x x + y dxdy dove Ω = x, y R : y x, x + y }. Ω Esercizio 3. punti Data la superficie Σ = x, y, z R 3 : x + y 4 z 3 =, z } i scrivere una parametrizzazione globale di Σ; ii calcolare il volume dell insieme V = x, y, z R 3 : x + y 4 z 3, z 4 x 4 } y 9

10 volgimento Esercizio. Data la funzione fx, y = x + y cos x + y i determinare in quali punti del dominio naturale è differenziabile; Il dominio naturale della funzione è R e fx, y si può scrivere come somma della funzione gx, y = x + y e della composizione delle funzioni ht = cos t e gx, y. La funzione h è differenziabile su tutto il suo dominio naturale, mentre g è differenziabile in R \ x + y = }. Dunque possiamo concludere dai teoremi di carattere generale che la funzione f è certamente differenziabile in R \, }. Rimane da studiare la differenziabilità in,. Iniziamo studiando l esistenza delle derivate parziali di f. i trova f, = lim x t ft, f, t e usando lo sviluppo cos t = t + o t, troviamo f, = lim x t = lim t t cos t + t t + t + o t t e quindi il limite non esiste. i ottiene quindi che la funzione non è differenziabile in,. ii determinare massimo e minimo di fx, y su } Ω = x, y R : x, y, x + y. L insieme Ω è rappresentato nella figura. Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume su eventuali punti di non differenziabilità, sui punti critici liberi interni a Ω, sugli eventuali spigoli del bordo e sui punti critici vincolati al bordo di Ω. Nel punto precedente abbiamo determinato che la funzione f è differenziabile in R \, }, dunque prendiamo in considerazione il punto D = Passando ai punti critici liberi interni, per x, y, possiamo calcolare il gradiente x + x sin x + y x +y x +y fx, y = y x +y + y sin x + y x +y

11 Figure : L insieme Ω. da cui si ricava che non ci sono punti critici liberi interni a Ω, poiché < sin x + y < sin < sin su Ω. Ci rimane da studiare il comportamento di f sul bordo di Ω. Gli spigoli sono i punti =, = e 3 =. Il bordo lo dividiamo in tre parti: Γ = Γ 3 = Γ = y =, x x + y =, x } } }. x =, y Per quanto riguarda Γ possiamo usare la parametrizzazione γ t = t,, t [, e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g t = fγ t = t cos t, ], t [, ]. Risulta che g non è derivabile per t =, che corrisponde al punto D di non differenziabilità già preso in considerazione, e per t si ha g t + sin t, t, = + sin t, t, dunque non si trovano punti critici vincolati.

12 L insieme Γ possiamo parametrizzarlo usando γ t = t, t, t [, ], de componendo con f troviamo la funzione di una variabile g t = fγ t = t cos t, t [, ]. t t t Risulta g t = t per t =, che corrisponde al punto critico vincolato sin t, e dunque in, si trova un punto critico solo Q = γ = Per quanto riguarda Γ 3 possiamo usare la parametrizzazione [ γ 3 t =, t, t, ], e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g 3 t = fγ 3 t = t + cos t + [, t, ]. Risulta g 3 t = t t + t sin + t + t +, e dunque non si trovano punti critici in,. I valori che dobbiamo confrontare sono dunque fd =, fq = cos, f = cos f = cos, f 3 = cos Dunque il massimo di f è cos e il minimo è. Esercizio. Calcolare l integrale Ω y + x x + y dxdy dove Ω = x, y R : y x, x + y }. L insieme Ω è rappresentato nella figura. Per semplificare il calcolo usiamo il cambiamento di variabili in coordinate polari, ossia ψρ, θ = x, y con x = ρ cos θ y = ρ sin θ e det J ψ ρ, θ = ρ.

13 Figure : L insieme Ω. volgiamolo con il cambiamento di variabili. Dunque ponendo l insieme tale che ψ = Ω, abbiamo ZZ ZZ y + x dxdy = sin θ + cos θ dρdθ. Ω x +y Determiniamo adesso e proviamo a scriverlo come insieme semplice. Dalla definizione di Ω troviamo ρ cos θ = ρ, θ [, + [, ] : ρ sin θ,ρ La prima e la terza condizione ci dicono che ρ [, ] e θ [, ]. La prima, la seconda e la terza condizione per si sin θ + cos θ > θ [, ] [ ρ sin θ+cos θ ρ [, ] riscrivono insieme come sin θ + cos θ < θ [, ] ρ sin θ+cos θ ρ [, ] da cui troviamo h θ, arccos ρ sin θ+cos θ [ i θ arccos, ρ ρ [, ] sin θ+cos θ ρ [, ] Chiamando l insieme delle soluzioni del primo sottosistema in, otteniamo l insieme rappresentato in figura 7 con ρ sulle ascisse e θ sulle ordinate. Per scriverlo come insieme semplice dobbiamo considerare la soluzione in [, arccos di = sin θ + cos θ 3

14 Figure 7: L insieme. che sono θ = e θ = arccos 3. Dunque = ρ, θ : < θ < arccos 3, ρ } sin θ + cos θ } ρ, θ : arccos 3 < θ < arccos, ρ Chiamando poi l insieme delle soluzioni del secondo sottosistema in, osservando che per ogni θ arccos, ], si ha che la seconda condizione è sempre verificata. Dunque = ρ, θ : arccos } θ <, ρ sin θ+cos θ < In conclusione possiamo dunque scrivere = come = ρ, θ : < θ < arccos 3 }, ρ ρ, θ : arccos 3 } < θ <, ρ sin θ + cos θ Dunque = arccos 3 = θ arccos 3 Ω sin θ+cos θ = y + x x + y dxdy = sin θ + cos θ dρ arccos 3 sin θ + cos θ dρdθ = dθ + arccos 3 dθ + sin θ + cos θ dθ = arccos 3 + cos θ + sin θ arccos 3 = arccos sin θ + cos θ dρ dθ = = arccos 3 4

15 Esercizio 3. Data la superficie i scrivere una parametrizzazione globale di Σ; Σ = x, y, z R 3 : x + y 4 z 3 =, z } L insieme Σ si può interpretare come superficie di rotazione o come superficie cartesiana. Nel secondo caso, si tratta del grafico della funzione continua fx, y = x + y 4 3 sull insieme D = x, y R : x + y } Quindi possiamo scrivere la parametrizzazione globale σ : D R 3, σx, y = x, y, x + y 4 3. ii calcolare il volume dell insieme V = x, y, z R 3 : x + y 4 z 3, z 4 x 4 } y L insieme V è rappresentato in figura 8, e si può scrivere come un insieme semplice rispetto a z nella forma } V = x, y, z R 3 : x, y E, x + y 4 3 z 4 4 x y dove E = x, y R : x + y 4 }. Il volume di V si può quindi calcolare utilizzando la formula di integrazione per fili, da cui = E volv = V Figure 8: L insieme V. dxdydz = 4 4 x y x + y 4 3 dxdy = E 4 4 x y x +y 4 3 dz dxdy = 4 4 ρ ρ 4 3 ρ dρdθ

16 dove abbiamo usato il cambiamento di variabili in coordinate polari ψρ, θ = x, y con x = ρ cos θ y = ρ sin θ e det J ψ ρ, θ = ρ e abbiamo posto E = ψ, e quindi = ρ, θ, + [, ] : ρ } = [, ] [, ]. Quindi volv = 4 4 ρ ρ 4 3 ρ dρdθ = 4 4 ρ ρ 4 3 ρ dρ dθ = = 4 ρ 3 8 ρ =

17 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito C del È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. punti Data la funzione fx, y = x + y cos x + y i determinare in quali punti del dominio naturale è differenziabile; ii determinare massimo e minimo di fx, y su } Ω = x, y R : x, y, x + y. Esercizio. punti Calcolare l integrale y + x x + y dxdy dove Ω = x, y R : y x, x + y }. Ω Esercizio 3. punti Data la superficie Σ = x, y, z R 3 : x + y 9 z 3 =, z } i scrivere una parametrizzazione globale di Σ; ii calcolare il volume dell insieme V = x, y, z R 3 : x + y 9 z 3, z 9 x 9 } y 7

18 volgimento Esercizio. Vedi Esercizio del compito B. Esercizio. Vedi Esercizio del compito B. Esercizio 3. Data la superficie i scrivere una parametrizzazione globale di Σ; Σ = x, y, z R 3 : x + y 9 z 3 =, z } L insieme Σ si può interpretare come superficie di rotazione o come superficie cartesiana. Nel secondo caso, si tratta del grafico della funzione continua fx, y = x + y 9 3 sull insieme D = x, y R : x + y } Quindi possiamo scrivere la parametrizzazione globale σ : D R 3, σx, y = x, y, x + y 9 3. ii calcolare il volume dell insieme V = x, y, z R 3 : x + y 9 z 3, z 9 x 9 } y L insieme V è rappresentato in figura 9, e si può scrivere come un insieme semplice rispetto a z nella forma } V = x, y, z R 3 : x, y E, x + y 9 3 z 9 9 x y dove E = x, y R : x + y 9 }. Il volume di V si può quindi calcolare utilizzando la formula di integrazione per fili, da cui = E volv = V dxdydz = 9 9 x y x + y 9 3 dxdy = E 9 9 x y x +y 9 3 dove abbiamo usato il cambiamento di variabili in coordinate polari dz dxdy = 9 9 ρ ρ 9 3 ρ dρdθ ψρ, θ = x, y con x = ρ cos θ y = ρ sin θ e det J ψ ρ, θ = ρ e abbiamo posto E = ψ, e quindi = ρ, θ, + [, ] : ρ 9 } = [, 3] [, ]. 8

19 Figure 9: L insieme V. Quindi volv = 9 9 ρ ρ ρ dρdθ = 9 9 ρ ρ 9 3 ρ dρ dθ = 3 = 3 9 ρ 3 8 ρ =

20 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito D del È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. punti Data la funzione fx, y = x + y sin x + y i determinare in quali punti del dominio naturale è differenziabile; ii determinare massimo e minimo di fx, y su } Ω = x, y R : x, y, x + y. Esercizio. punti Calcolare l integrale y x x + y dxdy dove Ω = x, y R : y x+, x + y }. Ω Esercizio 3. punti Data la superficie Σ = x, y, z R 3 : x + y z 3 =, z 3 } i scrivere una parametrizzazione globale di Σ; ii calcolare il volume dell insieme V = x, y, z R 3 : x + y z 3, z 3 3x 3y }

21 volgimento Esercizio. Vedi Esercizio del compito A. Esercizio. Vedi Esercizio del compito A. Esercizio 3. Data la superficie i scrivere una parametrizzazione globale di Σ; Σ = x, y, z R 3 : x + y z 3 =, z 3 } L insieme Σ si può interpretare come superficie di rotazione o come superficie cartesiana. Nel secondo caso, si tratta del grafico della funzione continua fx, y = x + y 3 sull insieme D = x, y R : x + y 8 } Quindi possiamo scrivere la parametrizzazione globale σ : D R 3, σx, y = x, y, x + y 3. ii calcolare il volume dell insieme V = x, y, z R 3 : x + y z 3, z 3 3x 3y } L insieme V è rappresentato in figura, e si può scrivere come un insieme semplice rispetto a z nella forma } V = x, y, z R 3 : x, y E, x + y 3 z 3 x y dove E = x, y R : x + y }. Il volume di V si può quindi calcolare utilizzando la formula di integrazione per fili, da cui = E volv = V dxdydz = 3 x y x + y 3 dxdy = E 3 x y x +y 3 dove abbiamo usato il cambiamento di variabili in coordinate polari dz dxdy = 3 ρ ρ 3 ρ dρdθ ψρ, θ = x, y con x = ρ cos θ y = ρ sin θ e det J ψ ρ, θ = ρ e abbiamo posto E = ψ, e quindi = ρ, θ, + [, ] : ρ } = [, ] [, ].

22 Figure : L insieme V. Quindi volv = 3 ρ ρ 3 ρ dρdθ = 3 ρ ρ 3 ρ dρ dθ = = 3 4 ρ 3 8 ρ = =