Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del log 1 + x4 +y 2. xy y

Transcript

1 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. (3 punti Data la funzione ( log + x4 +y, (x, y (, x f(x, y = +y, (x, y = (, i dire in quali punti del dominio è continua; ii determinare massimo e minimo di f(x, y sull insieme Ω = { (x, y R : x, x + y, x + y 4 } Esercizio. ( punti Calcolare l integrale xy 3 + y Ω (x + y dx dy dove Ω = {(x, y R : y } x, x y. Esercizio 3. (8 punti Data la superficie Σ = { (x, y, z R 3 : x + xy + z 3 + log( + y z = } i scrivere, se possibile, l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nei punti: P = Q = ii determinare, se possibile, una parametrizzazione locale di Σ in un intorno dei punti P, Q del punto precedente.

2 Svolgimento Esercizio. Data la funzione ( log + x4 +y, (x, y (, x f(x, y = +y, (x, y = (, i dire in quali punti del dominio è continua; La funzione f(x, y è definita su tutto R. Infatti per (x, y (,, l argomento del logaritmo è sempre positivo e il denominatore presente non si annulla mai. Dalla definizione della funzione, la sua continuità è garantita su R \ {(, }, parte interna del primo sottoinsieme di definizione, in quanto composizione di funzioni continue. Rimane quindi da studiare solo la continuità nell origine. Dobbiamo quindi determinare se lim ( log + x4 + y (x,y (, x + y = f(, =. Iniziamo a studiarne il comportamento lungo le rette della forma y = λx con λ R. Si trova lim ( log + x4 + y y=λx, (x,y (, x + y = lim log ( + x4 + λ x x x ( + λ = log ( + λ + λ. Poiché lungo le rette troviamo risultati diversi, e in particolare diversi da se λ, possiamo affermare che la funzione non è continua in (,. Concludiamo quindi che la funzione f(x, y è continua su R \ {(, }. ii determinare massimo e minimo di f(x, y sull insieme Ω = { (x, y R : x, x + y, x + y 4 } L insieme Ω è rappresentato nella figura. Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a Ω, sui punti critici vincolati al bordo di Ω, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non differenziabilità della funzione. La funzione f non ha punti di non differenziabilità in Ω in quanto composizione di funzioni differenziabili. Cerchiamo eventuali punti critici interni. Cerchiamo soluzioni nella parte interna di Ω del sistema x(x 4 +x y y = (x +y + x4 +y x +y + x4 +y x +y x y( x (x +y = Il termine è sempre ben definito su Ω e non si annulla mai, e quindi si può semplificare in + x4 +y x +y entrambe le equazioni. Anche il denominatore x + y non si annulla mai su Ω, e quindi il sistema

3 Figure : L insieme Ω. si riduce a { x(x 4 + x y y = x y( x = Le soluzioni della seconda equazione sono x = oppure y = oppure x = ±. Sostituendo nella prima equazione si trova che: se x = la prima equazione è sempre soddisfatta, dunque tutti i punti della forma (, y sono critici, ma non sono interni a Ω (sono sul bordo e si ritroveranno nello studio del bordo; se y =, nella prima equazione si trova x 5 =, e dunque si trova come soluzione (, che non appartiene a Ω, e non è neanche ammissibile come punto critico; se x = ±, nella prima equazione si trova ancora x 5 = che quindi non ha soluzioni. In conclusione, non ci sono punti critici liberi di f interni a Ω. Passiamo al comportamento di f sul bordo di Ω. Gli spigoli sono i punti ( ( ( ( Q = Q = Q 3 = Q 4 =. Il bordo è composto da quattro parti Γ = { x + y = 4, x } Γ = { x + y =, x } Γ 3 = {x =, y } Γ 4 = {x =, y } Studiamo prima f ristretta a Γ. Parametrizziamo la curva tramite ( 4 t γ (t =, t [, ] t Componiamo con f e otteniamo la funzione di una variabile ( g (t = f(γ (t = log + t4 7t + 6, t [, ] 4 3

4 Si trova g (t = + t4 7t +6 4 ammissibili. Otteniamo i punti critici vincolati Q 5 = γ ( = ( (t 3 7 t, che si annulla per t =, ± 7, tutti in [, ] e quindi Q 6 = γ ( 7 = 7 Studiamo ora f ristretta a Γ. Parametrizziamo la curva tramite ( t γ (t =, t [, ] t Componiamo con f e otteniamo la funzione di una variabile 7 Q 7 = γ ( = g (t = f(γ (t = log ( t 4 t +, t [, ] Si trova g (t = t 4 t + (4t3 t, che si annulla per t =, ±, tutti in [, ] e quindi ammissibili. Otteniamo i punti critici vincolati ( ( Q 8 = γ ( = Q 9 = γ = Q = γ ( =. Studiando f su Γ 3 e Γ 4 ci accorgiamo che f è costante. Infatti entrambi i segmenti sono parametrizzati da ( γ 3 (t = t per valori diversi di t, e g 3 (t = f(γ 3 (t = log (. Questo è equivalente al fatto che tutti i punti sono critici vincolati (sappiamo già che sono critici liberi, e quindi come valori di riferimento possiamo considerare quelli degli spigoli. I valori che dobbiamo confrontare sono dunque f(q = f(q = f(q 3 = f(q 4 = log(, ( 3 f(q 5 = log(5, f(q 6 = f(q 7 = log, 6 ( 7 f(q 8 = log(, f(q 9 = f(q = log, 4 Per cui su Ω, il minimo di f è log ( 7 4, e il massimo è log(5. 7. Esercizio. Calcolare l integrale Ω xy 3 (x + y + y dx dy 4

5 Figure : L insieme Ω. dove Ω = {(x, y R : y } x, x y L insieme Ω è rappresentato nella figura. La funzione da integrare e il dominio suggeriscono di risolvere l integrale usando il cambiamento di variabili in coordinate polari, ossia ψ(ρ, θ = (x, y con { x = ρ cos θ y = ρ sin θ e det J ψ (ρ, θ = ρ. Dunque ponendo S l insieme tale che ψ(s = Ω, abbiamo Ω xy 3 + y (x + y dx dy = S sin 3 θ cos θ ρ + ρ sin θ dρ dθ. Determiniamo adesso S e proviamo a scriverlo come insieme semplice. troviamo S = { (ρ, θ [, + [ π, π] : ρ sin θ, ρ, ρ cos θ ρ sin θ } La prima e la seconda condizione ci dicono che mentre la terza condizione si riscrive come Siamo quindi arrivati a S = ρ e θ [, π], ρ cos θ sin θ. { (ρ, θ [, + [ π, π] : θ π, } cos θ sin θ ρ Dalla definizione di Ω 5

6 Figure 3: L insieme S. L insieme S è rappresentato nella figura 3 con ρ sulle ordinate e θ sulle ascisse. Per scriverlo come insieme semplice dobbiamo considerare θ [, π ] tale che cos θ sin θ =, e osservare che cos θ sin θ = per θ = π. Possiamo quindi scrivere S come unione di due insiemi semplici, ossia { S = (ρ, θ : θ θ π, cos θ } {(ρ, sin θ ρ θ : π } θ π, ρ. Dunque = θ = ( θ cos θ sin θ Ω xy 3 + y (x + y dx dy = sin 3 θ cos θ ρ sin 3 θ cos θ = 3 θ + ρ sin θ dρ ( ( + ρ sin θ 3 3 sin θ S dθ+ dθ + cos θ sin θ sin θ cos θ ( + sin θ 3 dθ 3 = ( + sin θ 5 5 sin 3 θ cos θ ρ + ρ sin θ dρ dθ = π θ π θ + = 7 3 ( + sin θ 5 π ( sin 3 θ cos θ ρ + ρ sin θ dρ dθ = sin 3 θ cos θ cos θ sin θ dθ 3 π 3 sin θ sin θ θ sin θ. π π ( ( + ρ sin θ 3 3 sin dθ = θ = π sin θ cos θ dθ = Per concludere basta osservare che dalla condizione su θ si ricava che cos θ = sin θ 5 =. 6 5, e quindi

7 Esercizio 3. Data la superficie Σ = { (x, y, z R 3 : x + xy + z 3 + log( + y z = } i scrivere, se possibile, l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nei punti: P = Q = La superficie Σ è scritta come insieme di livello della funzione di classe C F (x, y, z = x + xy + z 3 + log( + y z dunque certamente esiste il piano tangente nei punti di Σ in cui non si annulla il gradiente di F. Abbiamo x + y F (x, y, z = x + yz +y z, 3z + e quindi F (P = y z +y z, F (Q = Ne segue che il piano tangente a Σ esiste certamente in Q, e la sua equazione cartesiana è (x + (y + 3(z + =. (Approfondimento. La condizione F (P = non implica che necessariamente il piano tangente non esista in P. Il problema andrebbe studiato in maniera più approfondita e va al di là di quello che è richiesto in questo esame. Tuttavia il disegno di Σ in figura 4 suggerisce che in effetti il piano tangente non esista in P. 3, ii determinare, se possibile, una parametrizzazione locale di Σ in un intorno dei punti P, Q del punto precedente. Per il Teorema delle Funzioni Implicite, siamo certi di poter trovare una parametrizzazione locale di Σ come grafico di una funzione in un intorno dei punti in cui non si annulla il gradiente di F, dunque nel punto Q. Nel caso del punto Q, poiché F x (Q, esistono un intorno U(,, un intorno V ( ed una funzione g(y, z : U V tale che g(, = e F (g(y, z, y, z = per ogni (y, z U. Quindi Σ si può parametrizzare localmente come grafico della funzione g. Dall equazione F (g(y, z, y, z = g (y, z + yg(y, z + z 3 + log( + y z 7

8 Figure 4: La superficie Σ in un intorno di P. con la condizione g(, =, troviamo g(y, z = y y z 3 log( + y z La parametrizzazione locale di Σ è quindi data da σ(u, v = (g(u, v, u, v con (u, v U, dove g(u, v = u u v 3 log( + u v. 8