Quarto appello di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 2017/2018. Prof. M. Bramanti. y = 1+y2

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1 Quarto appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Es Tot. Punti Cognome e nome in stampatello) codice persona o n di matricola) n d ordine v. elenco). Risolvere il problema di Cauchy y = +y x y ) = precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita.. Si consideri la funzione: x 5 +x y y 3 f x, y) = x +y per x, y), ) per x, y) =, ). a. Stabilire se f è derivabile in, ), calcolando in caso affermativo f, ). b. Stabilire se f è differenziabile in, ), giustificando la risposta. 3. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f x, y) = x + y ) 5 + x y).. Sia S la regione piana descritta in coordinate polari da S = ρ, θ) : θ [, π], ρ R } θ π θ) dove R > è un parametro fissato. Calcolare l area e il momento d inerzia rispetto all asse z, supponendo sia una lamina omogenea di massa m.

2 5. Sia Ω la regione tridimensionale descritta da: Ω = x, y, z) : z R x + y )} con R > fissato. a. Sfruttando le simmetrie, calcolare il volume di Ω. b. Detto Ω + la porzione di Ω compresa nel primo ottante, cioè nella regione in cui x, y, z, calcolare il centroide di Ω Si consideri il campo vettoriale piano x log x + y ) F x, y) = x + y, y log x + y ) ) x + y. a. Dopo aver determinato il suo insieme di definizione Ω, stabilire se il campo è irrotazionale in Ω b. Stabilire se il campo è conservativo in Ω determinando in caso affermativo un potenziale b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l arco di curva γ descritta in forma polare da ρ = e θ per θ [, 3π]. 7. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ] da f x) = x x) a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [, ]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier a k di f non è richiesto il calcolo dei b k ) e semplificare opportunamente l espressione ottenuta. [Suggerimento: sfruttare le simmetrie].

3 Quarto appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Svolgimento. Risolvere il problema di Cauchy y = +y x y ) = Es Tot. Punti precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. Equazione a variabili separabili. Non ha soluzioni costanti. dy + y = dx x dy + y = dx x = arctan y = log + x x + c + x + ) dx x imponiamo la condizione iniziale = arctan = log + + c = c e la soluzione è assegnata implicitamente da arctan y = log + x x. Per esplicitarla, cominciamo a osservare che in un intorno di x = è +x x. Deve anche essere π < arctan y < π π < ) + x log < π x ) + x π < log < π x e π < + x x < eπ +x x = 3

4 e risolvendo in x supponendo x < ) e π e π + < x < eπ e π + è un intorno dell origine, contenuto in, )). In questo intervallo si ha [ )] + x y x) = tan log. x. Si consideri la funzione: x 5 +x y y 3 f x, y) = x +y per x, y), ) per x, y) =, ). a. Stabilire se f è derivabile in, ), calcolando in caso affermativo f, ). c. Stabilire se f è differenziabile in, ), giustificando la risposta. a. f x, ) = x5 = x, perciò x f, ) =. x f, y) = y3 y f, ) =, y = y, perciò la funzione è derivabile in, ), con f, ) =, ). b. f x, y) f, ) f, ) x, y) x + y = x 5 +x y y 3 x +y x + y = x5 + x y y 3 x 5 xy + x y + y 3 x + y x + y ) x + y = x y xy + x y x + y ) g x, y). x + y g x, x) = x x 3 + x 5 x + x ) x x3 x x per x ±. Perciò, per x, y), ), g x, y) non tende a zero, e f x, y) non è differenziabile nell origine.

5 3. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella). f x, y) = x + y ) 5 + x y). fx = x x y) + x + y ) = f y = y x y) x + y ) = Sommando membro a membro x 3 + y 3) 5 + x y) = x x y) + x + y ) = La prima equazione dà y = x o y = x + 5. Se y = x la a eq. dà x x) + x = x 3 + 5x) =, x =, x = x = = y = x = = y = Se y = x + 5 la a eq. dà x + y = cioè x = = y, che però non soddisfa la y = x + 5. I punti stazionari sono:, ),, ). Calcoliamo la matrice hessiana. f xx = x 5 + x y) + 8x 3 f xy = x 3 + y 3 f yy = y 5 + x y) 8y 3 [ ] x Hf x, y) = 5 + x y) + 8x 3 x 3 + y 3 x 3 + y 3 y 5 + x y) 8y 3 [ ] 3x = 5 + x y) + x 3 x 3 + y 3 x 3 + y 3 3y 5 + x y) y 3 Studiamo ora la natura dei punti stazionari: [ ] Hf, ) = det Hf, ) =, caso dubbio. [ ] 6 Hf, ) =, det Hf, ) = 6 ) <, indefinita, punto di sella. 6 Studiamo ora il caso dubbio. Poiché f, ) = e in un piccolo intorno di, ) è 5 + x y) >, in un intorno piccolo di, ) si ha f x, y) = x + y ) 5 + x y), 5

6 perciò, ) è punto di minimo relativo.. Sia S la regione piana descritta in coordinate polari da S = ρ, θ) : θ [, π], ρ R } θ π θ) dove R > è un parametro fissato. Calcolare l area e il momento d inerzia rispetto all asse z, supponendo sia una lamina omogenea di massa m. S = = ) R θπ θ) ρdρ dθ R R θ π θ) dθ = I = m S = m π 3 R = 3mR π 3 S R x + y ) dxdy = m S θπ θ ) dθ = R π 3 π3 3 ) R θπ θ) ρ 3 dρ dθ ) = π3 R. θ π θ) dθ = 3mR θ π 3 π πθ 3 + θ ) dθ ) π 5 3 π5 + π5 = 3mR π ) = π 5 mr. 5. Sia Ω la regione tridimensionale descritta da: Ω = x, y, z) : z R x + y )} con R > fissato. a. Sfruttando le simmetrie, calcolare il volume di Ω. 6

7 b. Detto Ω + la porzione di Ω compresa nel primo ottante, cioè nella regione in cui x, y, z, calcolare il centroide di Ω +. a. Ω = 8 Ω + = 8 = 8 R R = 8 b. Poiché x,y,x+y R ) R x R x y) dy dx = 8 R x) dx = R ) R x+y) dz dxdy x dx = 3 R3. R [ R x) Ω + = x, y, z) : x, y, z, x + y + z R}, Ω + è simmetrico rispetto alle tre variabili, perciò x c = y c = z c = Ω + xdxdydz Ω + = 8 ) R x+y) dz xdxdy Ω x,y,x+y R = 8 3 R 3 R = 3 R 3 R x R x) R 3 + R dx = 3 R R R 3 x Rx + x 3) dx ) = 3R 3 + ) ] R x) dx = 3R = R. 6. Si consideri il campo vettoriale piano x log x + y ) F x, y) = x + y, y log x + y ) ) x + y. a. Dopo aver determinato il suo insieme di definizione Ω, stabilire se il campo è irrotazionale in Ω b. Stabilire se il campo è conservativo in Ω determinando in caso affermativo un potenziale b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l arco di curva γ descritta in forma polare da ρ = e θ per θ [, 3π]. 7

8 a. Ω = R \, )}. y x F ) y = x +y x + y ) y log x + y ) ) log x + y ) ) x + y ) = xy x + y ) x x F ) x = y +y x + y ) x log x + y ) ) log x + y ) ) x + y ) = xy x + y ) Poiché F ) y = F ) x per ogni x, y), ), il campo è irrotazionale in Ω. b. Poiché Ω non è semplicemente connesso, il fatto che il campo sia irrotazionale in Ω non implica che sia conservativo. La conservatività o meno va stabilita cercando un potenziale. Cerchiamo U x, y) tale che U x = F e U y = F perciò x log x + y ) U x, y) = F x, y) dx = x + y dx = [ log x + y )] + c y) U y x, y) = y log x + y ) x + y + c y) = F = y log x + y ) x + y = c y) =, c y) = c = cost. Perciò esiste un potenziale del campo in Ω, U x, y) = [ log x + y )], e in particolare il campo è conservativo in Ω. c. Siano A, B gli estremi di γ. Poiché in coordinate polari è U ρ, θ) = e ρ A) = e =, ρ B) = e 3π, il lavoro è [ log ρ )] = [ log ρ)] = log ρ L = U B) U A) = log e 3π) log ) = 3π) = 9π. 7. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ] da f x) = x x) a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [, ]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier a k di f non è richiesto il calcolo dei b k ) e semplificare opportunamente l espressione ottenuta. [Suggerimento: sfruttare le simmetrie]. 8

9 a. La funzione è regolare a tratti ma la sua periodizzata è discontinua perché f ) f ), quindi la serie di Fourier converge puntualmente a f in [, ] tranne nei punti ±, in cui converge a = f)+f ). La funzione f non è né pari né dispari, quindi tutti i coeffi cienti di Fourier a priori vanno calcolati ma f x) = x x con x dispari e x pari, sfrutteremo questo fatto nel calcolo degli integrali). I coeffi cienti a k, b k tenderanno a zero ma ci aspettiamo che non siano o /k). b. Poiché T =, ω = π/t = π, a k = T = per le simmetrie Perciò T/ T/ = f x) cos kωx) dx = x cos x) dx mentre per k =,, 3,... x cos x) dx = a = } a k = x cos x) dx = = = x cos x) dx x x ) cos x) dx x dx = 3 [ x sin x) dx = x } cos ) + = k π )k+. Nota. Il calcolo, non richiesto, dei b k, dà: e quindi f x) k= x cos x) dx. [ ] sin x) x ] cos x) + b k = )k+ } sin x) x dx } cos x) dx k π )k+ cos x) + } )k+ sin x). 9

10 Grafico di f x) e della somma parziale di Fourier per n =