Terzo appello di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 2018/2019. Prof. M. Bramanti. { y + y. 2 1 x 2 y (0) = 1.

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1 Terzo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 8/9. Prof. M. Bramanti Es Tot. Punti Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco. Risolvere il seguente problema di Cauchy, determinando a priori il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione. y + y x = x y =.. Dimostrare che l equazione f x, y = y + y log x + x = definisce implicitamente esattamente due funzioni y = g x, y = h x in un intorno di x =. Calcolare quindi g e h.. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = x + 6x y y.. Si consideri una lamina piana Ω non omogenea, triangolare di vertici,, a,,, a con a >, avente densità superficiale δ x, y = µ a x + y dove µ > ha le dimensioni di una massa. Si calcoli il momento d inerzia di Ω rispetto all asse y. Suggerimento: si presti cura all impostazione del problema, scrivendo anzitutto la rappresentazione di Ω come dominio semplice e la definizione del momento d inerzia.

2 5. Si consideri il solido omogeneo rappresentato da: } Ω = x, y, z : x + y R x + y, h z h. con R, h > parametri fissati aventi le dimensioni di una lunghezza. Calcolare volume e centroide del solido. Riportare con cura impostazione e passaggi e sfruttare le simmetrie. 6. Calcolare il lavoro del campo vettoriale F = yz, xz, z R lungo l arco di curva x = cos t γ : y = sin t z = t per t [π, π]. Riportare impostazione e passaggi intermedi. 7. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ] da x se x < f x = x se x a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [, ]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, poi particolarizzarla e eseguire il calcolo esplicito, riportando i passaggi essenziali e il risultato, nella forma più esplicita e semplificata.

3 Terzo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 8/9. Prof. M. Bramanti Svolgimento Es Tot. Punti. Risolvere il seguente problema di Cauchy, determinando a priori il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione. y + y x = x y =. Equazione lineare del prim ordine, i coeffi cienti sono continui nell intervallo massimale, contenente il punto x = in cui è assegnata la condizione iniziale, quindi quello sarà l intervallo massimale in cui è definita la soluzione. Risolviamo. dx A x = x = x + dx = + x log + x + x x = log x Possiamo togliere il modulo perché per x, è +x x >. y x = e c Ax + e Ax b x dx = e Ax c + e Ax A x dx = e Ax c + e Ax = ce Ax + = ce log +x x + = c x + x +. Imponiamo la condizione iniziale: = y = c + c = e la soluzione è y x = x + x per x,.. Dimostrare che l equazione f x, y = y + y log x + x =

4 definisce implicitamente esattamente due funzioni y = g x, y = h x in un intorno di x =. Calcolare quindi g e h. Si ha: f, y = y + y =, y = y =. Calcoliamo ora y x, y = y + log x, = y, = y e per il teorema di Dini, essendo f C x, y R : x > }, f, = f, =, y,, y,, l equazione f x, y = definisce implicitamente due e due sole funzioni y = g x, y = h x in un intorno di x = ; risulta g =, h = e Calcoliamo perciò g x, = y, ; h = x, y = y x x log, = x log g = log h = log = x y,, ;, = x log = 6 log. 6 log +.. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = x + 6x y y.

5 fx = x + 6 y = x + y = = x = o y = ± f y = x + 6x y y = y x + x y = x = 9 y 9 y = y =, quindi,. y = ± ±8 x + x =, x = o x =, quindi, ±,, ± Punti stazionari:,,, ±,, ±. Calcoliamo la matrice hessiana. f xx = y f xy = y x + f yy = x + x y [ ] y Hf x, y = y x + y x + x + x y Studiamo ora la natura dei punti stazionari: Hf [ ], = 9 definita negativa,, è punto di massimo relativo. Hf, ± = [ ] ± ± 8 indefinita,, ± è punto di sella. [ ] Hf, ± = indefinita, 8, ± è punto di sella. 5

6 . Si consideri una lamina piana Ω non omogenea, triangolare di vertici,, a,,, a con a >, avente densità superficiale δ x, y = µ a x + y dove µ > ha le dimensioni di una massa. Si calcoli il momento d inerzia di Ω rispetto all asse y. Suggerimento: si presti cura all impostazione del problema, scrivendo anzitutto la rappresentazione di Ω come dominio semplice e la definizione del momento d inerzia. Ω = x, y : x a, y a x}. I = = Ω a x δ x, y dxdy x a x µ x a + y dy dx = µ a a x x a x + a x dx = µ a a x a x 5 + x a a x + ax x dx = µ a = µ a a x a x 5 + x a x a + x a x5 dx [ 5 x5 a 6 x6 + 9 x a x a + 5 x5 a 9 x6 = µa = µa = µa = µa. ] a 5. Si consideri il solido omogeneo rappresentato da: } Ω = x, y, z : x + y R x + y, h z h. con R, h > parametri fissati aventi le dimensioni di una lunghezza. Calcolare volume e centroide del solido. Riportare con cura impostazione e passaggi e sfruttare le simmetrie. R 6

7 Ω = x +y R = π R h x h +y R ρ h ρdρ = πh R = πhr = 8 πhr. dz dxdy = π [ ρ R ρ + + R h ρ h ] R dz ρdρ R Per simmetria rispetto all asse z, x c = y c =. Calcoliamo z c = zdz = h Ω Ω πhr zdz dxdy x +y R x h +y R = R h πhr π zdz ρdρ = 8 R h ρ / ρ h hr R R ρdρ [ ] R = h ρ R ρ + + = h R + = 5 h. 6. Calcolare il lavoro del campo vettoriale F = yz, xz, z lungo l arco di curva x = cos t γ : y = sin t z = t per t [π, π]. Riportare impostazione e passaggi intermedi. r t = sin t, cos t,. t / F r t = t sin t, t cos t, t F r t r t = t sin t t cos t + t = t + t = t π π L = F r t r t dt = t dt = [ t π = π / π / = π/ π. ] π π 7

8 7. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ] da x se x < f x = x se x a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [, ]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, poi particolarizzarla e eseguire il calcolo esplicito, riportando i passaggi essenziali e il risultato, nella forma più esplicita e semplificata. a. grafico di f in [, ] La periodizzata è continua in R, regolare a tratti e pari. Perciò la serie di Fourier di f converge puntualmente a f ovunque; i coeffi cienti di Fourier saranno o /k ma non meglio di così. b. La funzione è pari, perciò b k = per ogni k. Per calcolare gli a k, poiché T =, ω = π T = π, a k = T = T/ T/ f x cos kωx dx = f x cos kωx dx = T/ T x cos k π x dx + x cos k π x dx. a = x dx + x dx = + = 5 6 f x cos k π x dx 8

9 Per k =,,..., x cos k π [ x dx = x kπ sin k π ] x = k kπ sin π kπ = k kπ sin π = kπ sin k π kπ [ x x kπ sin k π x dx kπ cos k π x ] k kπ cos π + 8 kπ cos k π x cos k π [ x dx = x kπ sin k π ] x = kπ sin k π a k = k kπ sin π + 8 kπ sin k π k= = kπ cos k π kπ + kπ + 6 kπ sin k π + } kπ cos k π x dx sin k π } kπ sin k π x dx [ cos kπ cos k π ] k kπ cos π 6 k kπ sin π [ cos kπ cos k π ] x kπ 6 k kπ sin π cos kπ kπ e la serie di Fourier di f è } f x = 5 + k kπ cos π 6 k kπ sin π cos kπ cos k π kπ x. Grafico di f x insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = : 9