Esame di Analisi Funzionale e Trasformate Seconda prova in itinere. 12 Luglio 2017 A.A. 2016/2017. Prof. M. Bramanti

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1 Esame di Analisi Funzionale e Trasformate Seconda prova in itinere. Luglio 07 A.A. 06/07. Prof. M. Bramanti Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su, a propria scelta A. 6 punti. Mostrare come si risolve mediante la trasformata di Fourier il problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore in tutto lo spazio R n : { ut D u 0 per R n, t > 0 u 0, f per R n con D costante positiva. Non si richiede di discutere le ipotesi di validità della formula ottenuta, ma di mostrare in dettaglio come si ottiene la formula, richiamando con precisione le proprietà della trasformata di Fourier che si utilizzano nella deduzione. B. 6 punti. Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà che riguardano la L-trasformata della primitiva di una funzione, della derivata e derivata n-esima di una funzione. C. 6 punti. Dopo aver richiamato la definizione di traslata τ a T, dilatata D a T, riflessa T di una distribuzione T, e di prodotto gt con g funzione regolare, enunciare le formule di derivazione per queste espressioni di T, dimostrando quella della dilatata e del prodotto. D. 6 punti. Discutere il problema di definire la trasformata di Fourier di una distribuzione e mostrare come si arriva a restringere l insieme delle distribuzioni. Dare la definizione di convergenza nello spazio di Schwartz delle funzioni a decrescenza rapida e la definizione di distribuzione temperata. Dare la definizione di trasformata di Fourier di una distribuzione temperata, dimostrando che questa è a sua volta una distribuzione temperata.

2 Svolgere i seguenti esercizi. 5 punti. Si vuole calcolare la trasformata di Fourier di 5. a. Osservando la funzione f, prima di eseguire qualsiasi calcolo, dire a quale spazio funzionale appartiene f e a quale apparterrà perciò f; cosa è possibile prevedere riguardo a f ξ in base alla teoria, riguardo ai seguenti punti: se f è reale, immaginaria pura, o nessuna delle due; se f è pari, dispari, o nessuna delle due; che regolarità avrà f; con che velocità tenderà a zero f. b. Calcolare quindi f e riscrivere l espressione trovata per f ξ in forma semplificata, separando parte reale e immaginaria.. 5 punti. Si consideri l equazione integro-differenziale di un circuito LCR in serie con una tensione v t applicata: Li t Ri t C q 0 t 0 i τ dτ v t dove i 0 0, q 0 0 e L, C, R. a. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, determinare la formula di rappresentazione che assegna la soluzione di questo problema per un generico termine noto v t L-trasformabile. b. Calcolare esplicitamente la soluzione quando v t e t/ punti. a. Calcolare, nello spazio D R delle distribuzioni, la derivata D e δ. Per far questo si chiede anzitutto di calcolare esplicitamente, per φ D R, l espressione D e δ, φ si raccomanda di procedere ordinatamente, applicando le definizioni e riportando tutti i passaggi, e quindi riesprimere il risultato trovato nella forma T, φ dove T è espressa nel modo più semplice possibile mediante opportune derivate della δ. b. Calcolare, nello spazio D R delle distribuzioni, la derivata di T f dove sin giustificando il procedimento in base ai risultati studiati.

3 Esame di Analisi Funzionale e Trasformate Seconda prova in itinere. Luglio 07 A.A. 06/07. Prof. M. Bramanti Svolgimento Dom Dom Dom 3 Es Es Es 3 Tot. Punti Domande di teoria rispondere a 3 domande su, a propria scelta A. 6 punti. Mostrare come si risolve mediante la trasformata di Fourier il problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore in tutto lo spazio R n : { ut D u 0 per R n, t > 0 u 0, f per R n con D costante positiva. Non si richiede di discutere le ipotesi di validità della formula ottenuta, ma di mostrare in dettaglio come si ottiene la formula, richiamando con precisione le proprietà della trasformata di Fourier che si utilizzano nella deduzione. [Risposta: v. Dispensa, 5.3. B. 6 punti. Dopo aver ricordato la definizione di trasformata di Laplace e ascissa di convergenza, enunciare con precisione e dimostrare le proprietà che riguardano la L-trasformata della primitiva di una funzione, della derivata e derivata n-esima di una funzione. [Risposta: v. Dispensa, 6. C. 6 punti. Dopo aver richiamato la definizione di traslata τ a T, dilatata D a T, riflessa T di una distribuzione T, e di prodotto gt con g funzione regolare, enunciare le formule di derivazione per queste espressioni di T, dimostrando quella della dilatata e del prodotto. [Risposta: v. Dispensa, 7..3 D. 6 punti. Discutere il problema di definire la trasformata di Fourier di una distribuzione e mostrare come si arriva a restringere l insieme delle distribuzioni. Dare la definizione di convergenza nello spazio di Schwartz delle funzioni a decrescenza rapida e la definizione di distribuzione temperata. Dare la definizione di trasformata di Fourier di una distribuzione temperata, dimostrando che questa è a sua volta una distribuzione temperata. [Risposta: v. Dispensa, 7.. 3

4 Svolgere i seguenti esercizi. 5 punti. Si vuole calcolare la trasformata di Fourier di 5. a. Osservando la funzione f, prima di eseguire qualsiasi calcolo, dire a quale spazio funzionale appartiene f e a quale apparterrà perciò f; cosa è possibile prevedere riguardo a f ξ in base alla teoria, riguardo ai seguenti punti: se f è reale, immaginaria pura, o nessuna delle due; se f è pari, dispari, o nessuna delle due; che regolarità avrà f; con che velocità tenderà a zero f. b. Calcolare quindi f e riscrivere l espressione trovata per f ξ in forma semplificata, separando parte reale e immaginaria. a. f L R \ L R, quindi sarà f L R ma non necessariamente f continua; f è reale né pari né dispari, a priori f non sarà né reale né immaginaria pura e non avrà simmetrie; f è infinitamente derivabile, quindi f tenderà a zero all infinito più rapidamente di ogni potenza di ; f tende a zero lentamente, f potrebbe essere discontinua. b. Sia g, con 5 g 5, calcoliamo anzitutto ĝ col metodo dei residui. La funzione g z ha poli del prim ordine in z ± i. e πiξ e ĝ ξ R 5 d se ξ < 0 πi Res πizξ z z5, i e se ξ > 0 πi Res πizξ z z5, i e se ξ < 0 πi πizξ e z se ξ < 0 πi πiξ i /z i i e se ξ > 0 πi πizξ e z se ξ > 0 πi πiξi i /z i { se ξ < 0 π eπξ e πiξ π se ξ > 0 e πξ e πiξ π e π ξ e πiξ π e π ξ cos πξ i sin πξ

5 Ora sfruttiamo la proprietà f ξ F g ξ πiĝ ξ πi π [ e π ξ cos πξ i sin πξ [ e π ξ cos πξ ie π ξ sin πξ i i { [ [ } e π ξ cos πξ i e π ξ sin πξ i [ e π ξ π sgn ξ cos πξ π sin πξ [ e π ξ π sgn ξ sin πξ π cos πξ π [ e π ξ sgn ξ sin πξ cos πξ i π [ e π ξ sgn ξ cos πξ sin πξ π e π ξ [ cos πξ sin π ξ i sgn cos πξ sin πξ Re f ξ Im f ξ. 5 punti. Si consideri l equazione integro-differenziale di un circuito LCR in serie con una tensione v t applicata: Li t Ri t C q 0 t 0 i τ dτ v t dove i 0 0, q 0 0 e L, C, R. a. Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace, determinare la formula di rappresentazione che assegna la soluzione di questo problema per un generico termine noto v t L-trasformabile. b. Calcolare esplicitamente la soluzione quando v t e t/. 5

6 a. Ponendo I s L i t s, V s L v t s e trasformando l equazione differenziale tenendo conto delle condizioni iniziali si ha: L si s i 0 RI q 0 I s V s C s LsI RI I s Cs V s I s L R V s Cs V s I s L R. Cs Ora L R Cs e con L, C, R si ha Ora: L R Cs s s 6 s 6 L s s R L, LC s s 8 s ; t L cos L e t/ cos 6 t s L sin 6 { e t/ sin t s. 6 t s 6 s 6 } quindi I s L e t/ cos i t e t/ cos t t t sin t sin v t s v t. b. Per v t v t e t/ si ha t τ τ e τ/ cos sin e t τ/ dτ i t 0 t [ τ e t/ cos 0 t e [sin t/ cos τ sin t dτ [ τ e t/ sin. τ t cos 0 6

7 3. 5 punti. a. Calcolare, nello spazio D R delle distribuzioni, la derivata D e δ. Per far questo si chiede anzitutto di calcolare esplicitamente, per φ D R, l espressione D e δ, φ si raccomanda di procedere ordinatamente, applicando le definizioni e riportando tutti i passaggi, e quindi riesprimere il risultato trovato nella forma T, φ dove T è espressa nel modo più semplice possibile mediante opportune derivate della δ. b. Calcolare, nello spazio D R delle distribuzioni, la derivata di T f dove sin giustificando il procedimento in base ai risultati studiati. a. D e δ, φ D e δ, φ e δ, D / φ δ, e φ δ, e φ e φ 0 e φ e φ 0 φ 0 φ 0 δ δ, φ Quindi D e δ δ δ. 7

8 sin b. La funzione è regolare a tratti, con: una discontinuità a salto in 0, con f 0 f 0 ; punti angolosi per kπ, k ±, ±, ±3,... Nei punti kπ, dove f è derivabile in senso classico, si ha: sin cos sin f sgn sin sgn sin. Poiché la derivata distribuzionale di una funzione continua e regolare a tratti coincide con la derivata classica definita quasi ovunque e la derivata di un gradino coincide con il salto moltiplicato per la δ nel punto di salto, si ha: T f cos sin T f δ sgn sin δ cos sgn sin sin δ. 8