Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2016/2017 Esercizi svolti sulla trasformata di Fourier

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1 Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 6/7 Esercizi svolti sulla trasformata di Fourier Marco Bramanti Politecnico di Milano December 5, 6 Esercizi A. Esercizi sul calcolo di trasformate Esercizio In questo esercizio si chiede: Osservando la funzione f x, prima di eseguire qualsiasi calcolo, cosa è possibile prevedere riguardo a f ξ in base alla teoria, riguardo ai seguenti punti: -se f è reale, immaginaria pura, o nessuna delle due; -se f è pari, dispari, o nessuna delle due; -che regolarità avrà f -con che velocità tenderà a zero f Calcolare quindi f, usando di volta in volta il metodo che appare più semplice metodi di integrazione elementari, metodi di analisi complessa, proprietà della trasformata di Fourier che riconducono il calcolo a situazioni già note, verificando poi che f ha effettivamente le proprietà richieste. a f x + x 4 b f x xe x c f x x + x + d f x x + x 4 e f x xχ a,a x f f x cos xχ π, π x g f x sin xχ π,π x h f x xe x

2 Suggerimento per il calcolo di f in b, d e h: usare la formula per il calcolo di F πixf x. Esercizio Trasformata di Fourier e convoluzione. Sia f x χ, x. Dopo aver calcolato f f e f, si usino questi risultati per dedurre quindi per calcolare sin x. B. Esercizi sull applicazione della trasformata di Fourier Esercizio 3 Dopo aver dimostrato l identità elementare x f f e F x f x + y ξ e πiyξ f ξ, che sarà utile in questo esercizio, e tenendo conto di quanto studiato nella risoluzione dell equazione del calore in R n, si risolva mediante trasformata di Fourier il problema di Cauchy per l equazione di diffusione, trasporto e reazione in R n : { ut D u + v u + γu u x, f x dove D, γ sono costanti positive e v è un vettore costante n-dimensionale. [Suggerimento: dopo aver calcolato û ξ, t, ci si riconduce al problema di sola diffusione cioè con v e γ nulli, che è stato trattato nel corso, utilizzando l identità e il fatto che l operazione di moltiplicazione per una funzione della sola variabile t si può portare dentro e fuori dalla trasformata di Fourier]. Esercizio 4 Si estendano i risultati dell esercizio precedente al caso in cui l equazione non è omogenea, cioè u t D u + v u + γu F t, x con F funzione assegnata che si può supporre soddisfatte le proprietà necessarie per applicare il metodo della trasformata di Fourier. In questo caso è suffi ciente concentrarsi sul caso in cui la condizione iniziale f x è nulla. Esercizio 5 Si consideri l equazione integrale di Fredholm di seconda specie: u + u k f dove: u, k, f sono funzioni reali di variabile reale, la funzione u è l incognita del problema mentre le funzioni f, k sono assegnate. Si vuole aff rontare il problema applicando la trasformata di Fourier. Supponiamo ad esempio che sia k x xe x non è necessario calcolare k, basta riflettere su alcune sue proprietà.

3 a. Assegnata f L R, si può garantire che esisterà sempre una soluzione u L R? Sotto quali eventuali ipotesi aggiuntive su f questo si potrà affermare? Si può garantire che l eventuale soluzione u L R sia unica? Sotto quali eventuali ipotesi aggiuntive su f questo si potrà aff ermare? b. Se invece supponiamo che f L R, si può garantire che esisterà sempre una soluzione u L R? Si può garantire l unicità in L R? c. Se ora k non è la funzione xe x ma una generica funzione L R, le conclusioni precedenti sono ancora vere? Quali ipotesi aggiuntive su k occorre fare? d. Si consideri ora l equazione integrale di Fredholm di prima specie: u k f dove, come sopra, u è la funzione incognita mentre k, f sono assegnate. Per questa equazione è più facile o più diffi cile dare condizioni su f, k che garantiscano la risolubilità in L o L? Esercizio 6 Operatori moltiplicatori su L R n. Sia a L R n assegnata. Si consideri l operatore T : L R n L R n definito dalla seguente identità: T f ξ a ξ f ξ. a Mostrare che questa relazione definisce univocamente un operatore lineare continuo T : L R n L R n, per il quale risulta T a L R n. Questo operatore è detto operatore moltiplicatore. b Si potrebbe definire con la stessa tecnica un operatore T : L R n L R n? Esercizio 7 L equazione dell oscillatore armonico come ben noto ha integrale generale u + ω u u t c cos ωt + c sin ωt, e nessuna di queste funzioni tranne quella identicamente nulla appartiene a L R o L R. Si controlli che, affrontando la risoluzione dell equazione con la trasformata di Fourier, eff ettivamente... non si trova nulla. [Come vedremo, per le equazioni diff erenziali ordinarie in generale è più indicato l uso della trasformata di Laplace]. 3

4 Svolgimenti Esercizio. a Ci aspettiamo: f reale, pari, all infinito tende a zero più rapidamente di ogni potenza, è almeno C R. Sapendo che è pari, calcoliamo solo per ξ < e poi simmetrizziamo pari per il metodo dei residui πi f ξ Im z k > R + x 4 e πiξx dx Res + z 4 e πiξz, z k e avendo la funzione 4 poli del prim ordine nei 4 punti semipiano Im z > sono e i π 4, e i 3π 4, f ξ πi Im z k > e πiξz k 4z 3 k 4, di cui i due nel fatti i calcoli... π e ξ π cos ξ π sin ξ π. Questo vale per ξ <. Per simmetrizzare pari sostituiamo ξ ξ, ottenendo f ξ π e ξ π cos ξ π + sin ξ π 4

5 b Ci aspettiamo: f immaginaria pura, dispari, all infinito tende a zero più velocemente di / ξ, è C R. Per il calcolo, ragioniamo così. Abbiamo già calcolato la trasformata di f x e x : f ξ 4π ξ +. Sappiamo anche che: quindi F xe x ξ πi Grafico di Im f: ĝ ξ F πixg x ξ 4π ξ + πi 4π ξ 4π ξ + i8πξ 4π ξ + c Ci aspettiamo: f né reale né immaginaria pura, né pari né dispari, all infinito tende a zero più velocemente di ogni potenza, è C R ma non C R. f ξ x + x + e πiξx dx per il metodo dei residui è: πi Im z k > Res z +z+ e πiξz, z k πi Im z k < Res z +z+ e πiξz, z k R se ξ < se ξ > 5

6 e avendo la funzione poli del prim ordine nei punti z +i 3, z i 3 πi z+ f e πiξz se ξ < /z ξ +i 3 πi se ξ > z+ e πiξz /z i 3 { π 3 e πξi+ 3 se ξ < π 3 e πξi 3 se ξ > π 3 e 3π ξ cos πξ + i sin πξ. Grafico di Re f, Im f:, { π 3 e π 3ξ cos πξ + i sin πξ se ξ < π 3 e 3πξ cos πξ + i sin πξ se ξ > d Ci aspettiamo: f immaginaria pura, dispari, all infinito tende a zero più velocemente di ogni potenza, è C R ma non C R. Per il calcolo, ragioniamo così. Abbiamo già calcolato la trasformata di g x +x : 4 ĝ ξ π e ξ π cos ξ π + sin ξ π Sappiamo anche che: ĝ ξ F πixg x ξ quindi x F + x 4 ξ π π πi e ξ cos ξ π + sin ξ π. Data la simmetria, eseguiamo il calcolo con ξ > in modo da non dover derivare il modulo, alla fine simmetrizzeremo i [ π e ξ π cos ξ π + sin ξ π π sin ξ π + π cos ξ ] π πie ξ π sin ξ π. 6

7 Ora simmetrizzando dispari abbiamo Grafico di Im f: f ξ πie ξ π sin ξ π e Ci aspettiamo: lentamente, è C R. f immaginaria pura, dispari, all infinito tende a zero f ξ integrando per parti.. a a xe πiξx dx i a aπξ cos πaξ sin πaξ i π ξ. x sin πξx dx La regolarità di f non è evidente il denominatore si annulla, ma si può controllare dallo sviluppo di MacLaurin del numeratore. Grafico di Im f: 7

8 f Ci aspettiamo: C R. f reale, pari, all infinito tende a zero lentamente, è f ξ fatti i calcoli... π π π cos x e πiξx dx cos x cos πξx dx cos π ξ 4π ξ. La regolarità di f non è evidente il denominatore si annulla in ± π, ma in questi punti si annulla anche il numeratore, e il limite è finito. Grafico di f: g Ci aspettiamo: lentamente, è C R. f immaginaria pura, dispari, all infinito tende a zero f ξ π sin x e πiξx dx i π π sin x sin πξx dx fatti i calcoli... i 4ξ cos π ξ 4π ξ. 8

9 Grafico di Im f: h Ci aspettiamo: f immaginaria pura, dispari, all infinito tende a zero più velocemente di qualsiasi potenza, è C R. Per il calcolo, ragioniamo così. Abbiamo già calcolato la trasformata di g x e x : ĝ ξ πe π ξ Sappiamo anche che: quindi F Grafico di Im f: ĝ ξ F πixg x ξ xe x ξ πe π ξ i πi π e π ξ π ξ iπ 3/ ξe π ξ. Esercizio. Calcoliamo: f f x χ, x y dy. 9

10 Si osserva che f f x è pari e f f x se x >. Quindi possiamo limitarci a calcolare l integrale assumendo < x <. Si ha: Complessivamente è: f f x +x dy x. Calcoliamo ora: f ξ Perciò: Per calcolare e πixξ dx f f x { x x x >. [ cos πxξ dx f f ξ f ξ sin πξ. πξ sin x x usiamo le proprietà: se g f f, ] sin πxξ πξ ξ sin ξ ĝ 4 π ξ ξ ĝ ĝ /π ξ ĝ /π ξ π sin x x /π ĝ ξ 4 4 g /π ξ πg πξ 4 π πξ χ π, π ξ π πξ χ π, π ξ. sin πξ. πξ Esercizio 3. Calcoliamo: F x f x + y ξ R f x + y e πixξ dx R f t e πit yξ dt e πiyξ f ξ, come enunciato. Ora ponendo û ξ, t F x u, t ξ trasformiamo l equazione differenziale u t D u + v u + γu ottenendo û t + 4π D ξ û + v πiξû + γû û t + 4π D ξ + πiv ξ + γ û

11 û ξ, t û ξ, e 4π D ξ +πiv ξ+γt f ξ e 4π D ξ t e πiv ξt e γt. Ricordando ora che, come visto nella risoluzione dell equazione del calore su tutto lo spazio, x F e 4Dt ξ e 4Dπ ξ t k n/ t ξ 4Dπt si ha: f ξ e 4π D ξ t k t f ξ f ξ e 4π D ξ t e πiv ξt k t f ξ e πiv ξt F k t f x v xt ξ f ξ e 4π D ξ t e πiv ξt e γt F k t f x v xt ξ e γt F e γt k t f x v xt ξ da cui u x, t e γt e γt k t f x v xt 4Dπt n/ R n e x v xt y 4Dt f y dy. Esercizio 4. Ponendo F t, ξ F x F t, ξ e utilizzando i calcoli dell esercizio precedente si ha: { û t + 4π D ξ + πiv ξ + γ û F t, ξ û ξ, che, risolvendo l equazione differenziale lineare del prim ordine in t porta a: da cui û ξ, t e 4π D ξ +πiv ξ+γt t t F u x, t t t e 4π D ξ +πiv ξ+γt τ F τ, ξ dτ F t t e 4π D ξ +πiv ξ+γτ F τ, ξ dτ e γt τ k t τ F, τ x v xτ ξ dτ e γt τ k t τ F, τ x v xτ ξ dτ e γt τ k t τ F, τ x v xτ dτ e γt t 4Dπ t τ n/ R n e x v xt τ y 4Dt τ F τ, y dydτ.

12 Esercizio 5. a. Trasformando l equazione abbiamo û ξ + û ξ k ξ f ξ û ξ f ξ + k ξ. Per k x xe x L R, reale e dispari, si ha k continua, tendente a zero all infinito, immaginaria pura e dispari. In particolare essendo k immaginaria pura, + k ξ + k ξ per ogni ξ R. Quindi la funzione h ξ + k ξ è continua e limitata su R. Se esiste soluzione u L R, questa è unica perché la differenza risolve l equazione con f e per f si ha û e quindi u. Se f L R, il procedimento precedente porta a û ξ f ξ h ξ con h limitata. Per poter applicare il teorema di inversione abbiamo bisogno di sapere che f ξ h ξ L R, il che non accade per ogni f L R. Se però assumiamo anche f L R che è un ipotesi di regolarità su f allora questo è vero. Quindi: la soluzione esiste assumendo f, f L R. b. Se f L R, anche f L R, quindi fh L R e si può determinare u L R tale che û ξ f ξ h ξ. Dunque per f L R la soluzione in L esiste ed è unica. c. Se k è una generica funzione L, si potrebbe annullare + k ξ; se così accade û ξ risulta discontinua e non può esistere soluzione u L R. Ad esempio se k è reale e pari, + k ξ è una funzione reale, e niente esclude che si possa annullare. Se assumiamo k integrabile, reale e dispari, il discorso al punto a si può ripetere. d. Se ora trasformiamo l equazione integrale di Fredholm di prima specie u k f otteniamo û ξ f ξ k ξ. Ora il denominatore k ξ potrebbe annullarsi; certamente tende a zero all infinito, quindi il quoziente fξ kξ può essere integrabile o L solo assumendo che f tenda

13 a zero all infinito molto rapidamente, cioè che f sia molto regolare, e invece k all infinito tenda a zero lentamente. Ad ogni modo il problema è più diffi cile. Esercizio 6. a Se f L R n si ha f L R n e poiché a L R n, anche a f L R n. Dunque esiste una e una sola T f L R n tale che T f a f, ossia l operatore T è ben definito. T è ovviamente lineare, e si ha: T f L R n L T f a f R n L R n a L R n f a L R n L R n f L R n perciò T è continuo su L e T a L R n. b Se f L R n si ha f C R n e poiché a L R n, tutto ciò che si può dire su a f è che appartiene a L R n e tende a zero all infinito. Questo non garantisce che a f sia continua, e se non è così non può esistere una funzione T f L R n tale che T f a f. Anche se prendessimo a continua e limitata, e quindi ottenessimo a f continua e infinitesima all infinito, questa condizione sarebbe solo necessaria ma non suffi ciente a poter vedere questa funzione come trasformata di Fourier di una funzione T f L R n. Quindi questa tecnica non consente di definire un operatore T : L R n L R n. Esercizio 7. Trasformando l equazione si trova u + ω u 4π ξ û + ω û û ξ ω 4π ξ, equazione che apparentemente dà solo la soluzione û ξ cioè u. La conclusione è che l equazione differenziale di partenza non ha alcuna soluzione che sia L R come già sappiamo, conoscendo esplicitamente le soluzioni di quest equazione elementare. La teoria delle distribuzioni consente di risolvere l equazione û ξ ω 4π ξ trovando le vere soluzioni dell equazione dell oscillatore armonico, ma in questo corso non ce ne occupiamo. 3