u(x, 0) = 0 in R. Soluzioni

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1 Es. Es. Es. 3 Es. 4 Totale Politecnico di Milano - Ingegneria Energetica Metodi Analitici e Numerici A 6 Giugno 7 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio. a. Si consideri la funzione vx, t = e t x e t + e x. Calcolare t vx, t xvx, t e vx,. b. Determinare la soluzione u = ux, t del problema t ux, t xux, t = e t e x in R, +, ux, = in R. Verificare i risultati. a. Derivando in t una volta ed in x due volte, si vede facilmente che t vx, t xvx, t = e t x + e t e t x e x = e t e x, ed è inoltre immediato verificare che vx, = e x + e x. Riassumendo, v è una soluzione della seguente equazione del calore non omogenea t vx, t xvx, t = e t e x in R, +, vx, = e x + e x in R. b. Cerchiamo una soluzione della forma u = v + w, ove v Ë la funzione introdotta nel punto precedente e w risolve la seguente equazione del calore omogenea t wx, t xwx, t = in R, +, wx, = e x + e x in R. In base al principio di sovrapposizione linearità dell equazione del calore, tale funzione u è soluzione del problema proposto. Posto K t x = 4πt / e x nucleo del calore e φx = e x e x dato iniziale, utilizzando la formula fondamentale abbiamo quindi che wx, t = K t φ x = 4πt = 4πt dy e x e x y e x y] dy +y dy e x ] y dy. Per calcolare esplicitamente gli integrali alle riga sopra, ricordiamo preliminarmente l identità gaussiana e z dz = π.

2 Utilizzando le identità immediate y = y, e y y ± t y ± t ± y = t = t deduciamo che dy = e y dy = poniamo z = y dy = ] dz e ±y dy = = e z dz = 4πt, e y±t +tdy = poniamo z = y ± t = e t e z dz = 4πte t. dy = ] dz Tornando alla formula precedente, si ha che wx, t = e t x e t+x, e di conseguenza ux, t = vx, t + wx, t = e t + e x e x+t. In alternativa si può usare la formula di Duhamel ux, t = t + 4πτ e x y ±y e t τ e y] dydτ.

3 Esercizio. Determinare la soluzione u = ux, t del problema t ux, t xux, t = e t in R, +, ux, = e x in R, t ux, = e x in R. Verificare i risultati. Notiamo preliminarmente che l equazione proposta è una equazione delle onde con velocità c =. conseguenza, utilizzando la formula di d Alembert, abbiamo ux, t = e x+t + e x t] + x+t e y dy + t ] x+t τ e τ dy dτ = x t x t τ Di = e x e t + e t + t ey ] x+t x t + e τ t τdτ = = e x e t + e t + ex e t e t t + t e τ dτ t τe τ dτ = = e x cosht + e x sinht t e τ ] t + e τ τ + ] t 4 = = e x cosht + e x sinht t e t + 4 e t t + ] = = e x cosht + e x sinht + t + 4 e t 4.

4 Esercizio 3. Calcolare la trasformata di Fourier della funzione 96 x sin fx = 8x + 9, x R. Notiamo preliminarmente che la funzione trasformanda f si può riscrivere come fx = 48 i e x i e x i 8x + 9. Di conseguenza, per proprietà della trasformata, possiamo subito dire che: ˆfk = 48 i { F 8x + 9 Se avessimo gx= 8x +9, troveremmo: ] ĝk = F 8x k = F + 9 x + 3 ] k F ] k = F 8x + 9 x + 3 ] k + ] k abbiamo usato una proprietà della trasformata e poi una trasformata notevole. Per calcolare la trasformata di 8x +9 riconducendosi a ĝ, riscriviamo: 8x + 9 = 9 8x + 9 8x 8x + 9 = { 9 8x x. = π 6x 8x + 9 = { 9 8x x A questo punto, usando alcune altre proprietà della trasformata, otteniamo quanto segue. ] F 8x + 9 k = F gx] k F x g x ] k = = 9 ĝk + 8 i d dk F g x ] k = 9 ĝk + 8 i d {ik ĝk = dk = i d ĝk dk {k ĝk = 9 ĝk {ĝk + k ddk 8 ĝk = d dx k 3 e 3 8x + 9. = π 8 3 = 9 ĝk 8 ĝk k 8 ĝ k = 8 ĝk k 8 ĝ k = { e 3 k 3sgnk k e 3 k = π e 3 k 8 { + 3 k Possiamo infine concludere: ˆfk = 48 { π i 8 = 4π i { 9 e 3 k / e 3 k / k / 3 k / e 3 k+/ e 3 k+/ + 3 k + / + = 3 k + /.

5 Esercizio 4. Utilizzando la trasformata di Laplace, determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy y t + 3y t + yt = e 3t, t, +, y =, y = 7. Definiamo preliminarmente la notazione standard Ly]s = ys, s, + Trasformata di Laplace. Applichiamo quindi la trasformata di Laplace al termine di sinistra dell equazione e imponiamo le condizioni iniziali. Si ha s ys sy y + 3sys 3y + ys = s + 3s + ys 7 = s + s + ys 7. Ricordando inoltre che concludiamo che ys = In virtù della decomposizione Le 3t ]s = s 3 s 3, +, 7 s + s + + s + s + s 3 = 7s s + s + s 3. 7s s + s + s 3 = s + 3 s + + s 3, deduciamo infine che ] ] ] yt = L y]t = L t 3L t + L t s + s + s 3 = e t 3e t + e 3t.

6 Es. Es. Es. 3 Es. 4 Totale Politecnico di Milano - Ingegneria Energetica Metodi Analitici e Numerici B 6 Giugno 7 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio. a. Si consideri la funzione vx, t = e t x + e t e x. Calcolare t vx, t xvx, t e vx,. b. Determinare la soluzione u = ux, t del problema t ux, t xux, t = e x e t in R, +, ux, = in R. Verificare i risultati. a. Derivando in t una volta ed in x due volte, si vede facilmente che t vx, t xvx, t = e t x e t e t x + e x = e x e t, ed è inoltre immediato verificare che vx, = +e x e x. Riassumendo, v è una soluzione della seguente equazione del calore non omogenea t vx, t xvx, t = e x e t in R, +, vx, = + e x e x in R. b. Cerchiamo una soluzione della forma u = v + w, ove v Ë la funzione introdotta nel punto precedente e w risolve la seguente equazione del calore omogenea t wx, t xwx, t = in R, +, wx, = e x + e x in R. In base al principio di sovrapposizione linearità dell equazione del calore, tale funzione u è soluzione del problema proposto. Posto K t x = 4πt / e x nucleo del calore e φx = e x + e x dato iniziale, utilizzando la formula fondamentale abbiamo quindi che wx, t = K t φ x = 4πt = 4πt dy e x e x y + e x y] dy +y dy + e x ] y dy. Per calcolare esplicitamente gli integrali alle riga sopra, ricordiamo preliminarmente l identità gaussiana e z dz = π.

7 Utilizzando le identità immediate y = y, e y y ± t y ± t ± y = t = t deduciamo che dy = e y dy = poniamo z = y dy = ] dz e ±y dy = = e z dz = 4πt, e y±t +tdy = poniamo z = y ± t = e t e z dz = 4πte t. dy = ] dz Tornando alla formula precedente, si ha che wx, t = e t x + e t+x, e di conseguenza ux, t = vx, t + wx, t = e t e x + e x+t. In alternativa si può usare la formula di Duhamel ux, t = t + 4πτ e x y ±y e y e t τ] dydτ.

8 Esercizio. Determinare la soluzione u = ux, t del problema t ux, t xux, t = e t in R, +, ux, = e x in R, t ux, = e x in R. Verificare i risultati. Notiamo preliminarmente che l equazione proposta è una equazione delle onde con velocità c =. conseguenza, utilizzando la formula di d Alembert, abbiamo ux, t = e x+t + e x t] + x+t e y dy + t ] x+t τ e τ dy dτ = x t x t τ Di = e x e t + e t + t ey ] x+t x t + e τ t τdτ = = e x e t + e t + ex e t e t t + t e τ dτ t τe τ dτ = = e x cosht + e x sinht + t e τ ] t e τ τ ] t 4 = = e x cosht + e x sinht + t e t 4 e t t + ] = = e x cosht + e x sinht t + 4 et 4.

9 Esercizio 3. Calcolare la trasformata di Fourier della funzione 96 x cos fx = 8x + 9, x R. Notiamo preliminarmente che la funzione trasformanda f si può riscrivere come fx = 48 e x i + e x i 8x + 9. Di conseguenza, per proprietà della trasformata, possiamo subito dire che: ˆfk = 48 { ] F 8x + 9 k + F Se avessimo gx= 8x +9, troveremmo: ] ĝk = F 8x k = F + 9 x + 3 ] k = F 8x + 9 x + 3 ] k + ] k abbiamo usato una proprietà della trasformata e poi una trasformata notevole. Per calcolare la trasformata di 8x +9 riconducendosi a ĝ, riscriviamo: 8x + 9 = 9 8x + 9 8x 8x + 9 = { 9 8x x. = π 6x 8x + 9 = { 9 8x x A questo punto, usando alcune altre proprietà della trasformata, otteniamo quanto segue. ] F 8x + 9 k = F gx] k F x g x ] k = = 9 ĝk + 8 i d dk F g x ] k = 9 ĝk + 8 i d {ik ĝk = dk = i d ĝk dk {k ĝk = 9 ĝk {ĝk + k ddk 8 ĝk = d dx k 3 e 3 8x + 9. = π 8 3 = 9 ĝk 8 ĝk k 8 ĝ k = 8 ĝk k 8 ĝ k = { e 3 k 3sgnk k e 3 k = π e 3 k 8 { + 3 k Possiamo infine concludere: ˆfk = 48 { π 8 = 4π { 9 e 3 k / e 3 k / k / 3 k / + e 3 k+/ + e 3 k+/ + 3 k + / + = 3 k + /.

10 Esercizio 4. Utilizzando la trasformata di Laplace, determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy y t 3y t + yt = e 3t, t, +, y =, y =. Definiamo preliminarmente la notazione standard Ly]s = ys, s, + Trasformata di Laplace. Applichiamo quindi la trasformata di Laplace al termine di sinistra dell equazione e imponiamo le condizioni iniziali. Si ha s ys sy y 3sys + 3y + ys = s 3s + ys + = s s ys +. Ricordando inoltre che concludiamo che In virtù della decomposizione Le 3t ]s = s + 3 s 3, +, ys = s s + s s s + 3 = s + 4 s s s + 3. s + 4 s s s + 3 = 3 s + s + s + 3, deduciamo infine che ] ] ] yt = L y]t = 3L t + L t + L t s s s + 3 = 3e t + e t + e 3t.