ANALISI MATEMATICA 2 Prova scritta 02/07/2012. log(x 2 + 3y 2 ) ) [15 pt] Data la funzione f : dom f R 2 R, f(x, y) = 1 4. [1 pt] calcolare f:

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1 ANALISI MATEMATICA Prova scritta /7/1 COGNOME e Nome firma 1. [15 pt] Data la funzione f : dom f R R, fx, y) 1 4 logx + 3y ) ) [1 pt] calcolare f: [ pt] Disegnare l insieme dei punti stazionari di f [ pt] Determinare inf f e sup f [3 pt] Sia C {x, y) R : x + y 1}, determinare i punti di massimo di f su C. [7 pt] Siano F f, D {x, y) R : 1 x + y 4}, n il versore normale uscente da D e τ il versore tangente a D, orientato in senso antiorario. Calcolare D F n: D + F τ: 1

2 . [4 pt] Determinare l insieme di convergenza della serie 7n) x x 7n. 3. [4 pt] Determinare, all interno dell insieme dei parallelepipedi di volume 8 cm 3, quello se esiste) di superficie minima e quello se esiste) di superficie massima, specificando i passaggi salienti e.g., impostazione analitica, metodo risolutivo, risultato). 4. [4 pt] Sia dato Σ R 3 definito da Σ { x + y + z } { z }. Sia fx, y, z) x + y x + y + z. Calcolare l integrale superficiale f Σ 5. [3 pt] Domanda di teoria: Enunciare il criterio del confronto per serie numeriche.

3 1. Data f : R R, fx, y) 1 4 logx + y ) ) fx, y) 1 logx + y ) x, 4y) logx + y ) x, y) x + y x + y Punti stazionari: ellisse di equazione x + y 1 notare che l origine, ) non appartiene al dominio della funzione) inf, sup + Parametrizzando l insieme C come γt) cos t, sin t), t [, π], si trova fγt)) 1 4 logcos t + sin t) ) 1 log1 + sin t) ). 4 Si può notare direttamente che, essendo il logaritmo monotono crescente, il minimo si avrà quando sin t e il massimo per sin t 1. Oppure, si calcola d dt fγt)) 1 log1 + sin t) ) sin t cos t. In ogni caso, in t e t π si hanno punti di minimo, corrispondenti nel piano a m 1 1, ), m 1, ), mentre in t π/ e t 3π/ si hanno punti di massimo, corrispondenti a M 1, 1) e M, 1). Flusso. Notiamo che D B 1 B. Per r 1, parametrizziamo B r come γ r t) rcost), sint)), t [, π], e per semplicità di notazione, poniamo φt) cos t) + sin t). Calcoliamo anche i vettori tangente e normale alle curve γ r γ rt) r sint), cost)), n r t) rcost), sint)). Si ha quindi D F n f n B f n 1 B 1 π log4φt)) cost), 4 sint)) n t) dt 4φt) π logφt)) cost), sint)) n 1 t) dt φt) π π π π log4φt)) 4φt) dt 4φt) log4φt)) log φt) dt π log 4 + log φt) log φt) dt log 4 π log 4. log φt) φt) dt φt) Lavoro: teorema di Green) F τ D + D 3 rot F D rot f.

4 . Sia data 7n) x x 7n. Poniamo y x 7. Usando il criterio della radice, si ha che lim n n 7n)x 1 x R. Dunque, per ogni x R, il raggio della serie 7n) x y n è 1, e si ha convergenza se 1 < y < 1 1 < x 7 < 1 1 < x < 1. Volendo ora controllare il comportamento negli estremi dell intervallo, si vede velocemente che se x 1 la serie 7n) diverge, mentre se x 1, la serie 1) n 7n) 1 converge, grazie al criterio di Leibniz. Concludiamo che l insieme di convergenza è [ 1, 1). 3. Si tratta di minimizzare, o massimizzare, la funzione fx, y, z) xy +xz +yz), vincolata all insieme {x, y, z >, xyz V } R 3. L insieme di vincolo non è un compatto di R 3, quindi non è detto che la funzione abbia massimo e minimo. In particolare, non ha massimo. Questo si può vedere scegliendo x y, z V/x e facendo il limite per x + : lim fx, x, x V/x ) lim x + V ) +. x x Il minimo si può calcolare in diversi modi. Per esempio, con i moltiplicatori di Lagrange, si risolve il sistema y + z) λyz x + z) λxz x + y) λxy xyz V. L unica soluzione è x y z 3 V, a cui è associata una superficie di 6V /3. 4. Usando le coordinate sferiche standard, con raggio fissato R, la superficie Σ si può descrivere come σϕ, θ) R sin ϕ cos θ, R sin ϕ sin θ, R cos ϕ ), νϕ, θ) R sin ϕ, con ϕ [, π/3] e θ [, π]. Il secondo estremo di integrazione per ϕ si ricava dalla relazione z R cos ϕ cos ϕ 1. 4

5 Calcoliamo quindi Σ f π π π fσϕ, θ)) νϕ, θ) dϕ dθ R sin ϕ cos θ) + R sin ϕ sin θ) R sin ϕ dϕ dθ R R sin ϕ) sin ϕ dϕ dθ πr 1 cos ϕ) ) sin ϕ dϕ πr [ πr cos ϕ + sin ϕ sin ϕcos ϕ) dϕ cos ϕ)3 3 ] ϕ ϕ πr cos cos )3 3 ). 5