Analisi Matematica 2 3 febbraio Risposte. (Giusta = 3, non data = 0, sbagliata = 1) Versione Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 Es. 6 Es.

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1 Analisi Matematica 2 3 febbraio 204 Nome, Cognome, Matricola: Cognome del Docente: Risposte. (Giusta = 3, non data = 0, sbagliata = ) Esercizio. Se il raggio di convergenza della serie di potenze a n (x b) n è 5, allora necessariamente n=0 A) la serie converge puntualmente e uniformemente in [b 5,b+5] B) la serie converge puntualmente e uniformemente in [b 4,b+3] C) la serie converge puntualmente in [b 5,b+5] D) la serie converge puntualmente in ( 5, 5) Esercizio 2. Sia f : R R una funzione 2π periodica e integrabile su [ π,π], e sia S = ( 2) n 3+ ( 3) cosnx n n= la sua serie di Fourier. Detto f 2 2 il quadrato della norma quadratica di f su [π,π], si ha A) f 2 2 = 5π B) f 2 2 = 9π C) f 2 2 = 5 D) f 2 2 = 8π Esercizio 3. Per ogni n N, sia f n : [4,+ ) R la funzione f n (x) = (2+sinx)n +x n. Per n, la successione f n converge A) puntualmente a zero sull intervallo [4, + ), ma non uniformemente B) uniformemente a zero sull intervallo [4, + ) C) uniformemente a zero su tutti gli intervalli [4,K], con K > 4, ma non su [4,+ ) D) puntualmente a f(x) = 2 sull intervallo [4,+ ), ma non uniformemente x

2 Esercizio 4. Sia D = {(x,y) R 2 9(x 3) 2 +36(y 6) 2 } e sia Σ il sostegno della superficie σ : D R 3 definita da σ(x,y) = (x,y,x+2y). L area di Σ vale A) π 6 B) π 0 C) π 8 6 D) π 8 Esercizio 5. Sia D R 2 una lamina con densità di massa σ(x,y) = x 2 siny. La coordinata x G del baricentro di D è A) Dx3 sinydxdy D x2 sinydxdy D B) xsinydxdy D sinydxdy D C) x3 sinydxdy D dxdy D D) xdxdy D x2 sinydxdy Esercizio 6. Sia Ω = {(x,y,z) R 3 x 2 +y 2 3z 2, 0 z 2}. Il flusso del campo vettoriale F(x,y,z) = ( x+cos(yz) z 3 e y, ze x + y + x 3, x 3 y 2 +sin(xy) ) uscente da Ω vale A) 8π B) 24π C) 6π D) 20π Esercizio 7. La serie n= A) converge se e solo se α 5 B) converge se e solo se α < 5 C) converge se e solo se α = 5 D) converge se e solo se α > 5 ( ) ( ne 3 n n sin α n n) 5

3 Esercizio 8 (9 punti). Sia F : R 3 R 3 il campo vettoriale F(x,y,z) = ( e y +αy, xe y +e z +2x+βyz, ye z +3y 2). a) Determinare α,β R in modo che il campo sia conservativo. b) Con tali valori di α e β, trovare il potenziale U(x,y,z) che vale 0 nel punto (,0,2). b) CalcolareillavorocompiutodaF lungolacurvaγ : [0,] R 3 definitadaγ(t) = ( t,sin ( π 2 t), t ).

4 Analisi Matematica 2 2 febbraio 204 Nome, Cognome, Matricola: Cognome del Docente: Risposte. (Giusta = 3, non data = 0, sbagliata = ) Esercizio. Sia f : ( π,π] R la funzione f(x) = dell estensione 2π periodica di f su R { x se x x 4. La serie di Fourier se x > A) è del tipo n= b nsin(nx) e converge a f puntualmente ma non uniformemente in [ π,π] B) è del tipo a 0 + n= a ncos(nx) e converge a f puntualmente ma non uniformemente in [ π,π] C) è del tipo n= b nsin(nx) e converge uniformemente a f in [ π,π] D) è del tipo a 0 + n= a ncos(nx) e converge uniformemente a f in [ π,π] Esercizio 2. Sia Q un punto di R 2 e siano dati i campi F : R 2 \Q R 2, di classe C e conservativo, e G : R 2 R 2, di classe C e irrotazionale. Sia A R 2 un cerchio, e A il suo bordo. Supponiamo che Q / A. Allora A) (4F +2G) dp = 0 A B) 4F +2G non è conservativo in R 2 \Q C) 4F +2G non è irrotazionale in R 2 \Q D) (4F +2G) dp = 0 se e solo se Q / A A Esercizio 3. L insieme di convergenza puntuale della serie A) (/2,+ ) B) ( /2,/2) C) [ /2,/2] D) (, /2) (/2,+ ) n= n 2 6 n +n3 n (2+6x 2 ) n è

5 Esercizio 4. Sia Σ = {(x,y,z) R 3 6 x2 + y 2 + z 2 = 6, x 4}, e sia F : R 3 R 3 il campo vettoriale definito da F(x,y,z) = (3x 2 yz, 5xz, 2xy). Il flusso del rotore di F attraverso Σ, orientata in modo che il versore normale punti verso l interno dell ellissoide che definisce Σ, vale A) 48π B) 60π C) 60π D) 48π Esercizio 5. Sia f : [0,] [0,3] R la funzione f(x,y) = x 3 +3y 2 e sia Σ il suo grafico. L integrale 5x+2y +9x 4 +36y dσ 2 vale A) 6 B) 33/2 C) 5 D) 80/3 Σ Esercizio 6. La serie A) converge se a < 0 B) converge se a < 5 n= C) converge se a < log 5 D) converge se a < log5 ( ) a+n n 2 5 n n Esercizio 7. La serie di funzioni n= e sin(nx) (4+2x) n A) converge puntualmente in [0, + ), ma non uniformemente B) converge uniformemente in [0, + ) C) converge uniformemente in [0,K] per ogni K > 0, ma non in [0,+ ) D) non converge puntualmente in tutto [0, + )

6 Esercizio 8 (9 punti). SiaΩ = {(x,y,z) R 3 x 2 +y 2 +z 2 6, z } x 2 +y 2. SiaF : R 3 R 3 ( il campo vettoriale defnito da F(x,y,z) = zy 2 2x, ) 4 yz +z2, xy +2x 2 +2z. Calcolare il flusso di F uscente da Ω.

7 Analisi Matematica 2 3 luglio 204 Nome, Cognome, Matricola: Cognome del Docente: Risposte. (Giusta = 3, non data = 0, sbagliata = ) Esercizio. Se la serie di potenze a n x n converge in x = 5, allora necessariamente n=0 A) la serie converge puntualmente in [ 5, 5] B) la serie converge uniformemente in [ 5, 5] C) la serie converge uniformemente in ( 5, 5) D) la serie converge uniformemente in [ k,k] per ogni k (0,5) Esercizio 2. Sia D = {(x,y) R 2 x 2 y 4x 2, 2x y 3x} e sia I = cambio di variabile x = v/u, y = v 2 /u si ha A) I = B) I = C) I = D) I = v dudv v u 3 dudv v u 3 dudv vu 2 dudv D x dxdy. Usando il y Esercizio 3. L insieme di convergenza della serie A) ( 4, 3) B) [ 4, 3) C) (,) D) [,) n(2x+7) n è n=0

8 Esercizio 4. La successione di funzioni f n (x) = nx2 +3 2nx 2 +5 A) converge uniformemente su R B) converge uniformemente su [ K,K] per ogni K > 0, ma non su R C) converge puntualmente su R, ma non uniformemente D) converge puntualmente su [ /2, /2], ma non su R Esercizio 5. Sia D = {(x,y) R 2 y x, x, y 4/x}. L integrale A) 8 B) 2 C) 6 D) 8 D (3x 6y) dxdy vale Esercizio 6. La serie A) diverge ( ) nlog(n+4) n+3 n= B) converge assolutamente C) è indeterminata D) converge, ma non converge assolutamente Esercizio 7. Sia Ω = {(x,y,z) R 3 5 z 6 x 2 +y 2 } e sia F : Ω R 3 il campo vettoriale F(x,y,z) = (2x y 2, 4zx 2, 2xy 3 ). Il flusso di F uscente da Ω vale A) π B) 4π/3 C) 2π/3 D) 2π

9 Esercizio 8 (9 punti). Data la superficie Σ = {(x,y,z) R 3 x 2 +y 2 +z 2 = 4, y 0}, orientata in modo che il versore normale formi un angolo acuto con l asse y, calcolare il flusso del rotore del campo vettoriale F(x,y,z) = ( xz +2z, x 2 e y, z 2) attraverso Σ.

10 Analisi Matematica 2 esame riservato agli studenti vecchio ordinamento 7 luglio 204 Nome, Cognome, Matricola: Cognome del Docente: Risposte. (Giusta = 3, non data = 0, sbagliata = ) Esercizio. Sia D = {(x,y) R 2 x 2 +y 2 2, 0 y x}. L integrale A) 4/5 B) /5 C) 3 D) 2/5 D xy 2 dxdy vale Esercizio 2. La serie A) converge B) diverge a + C) diverge a D) è indeterminata n= n+3 2 n 4 Esercizio 3. Sia Ω = {(x,y,z) R 3 0 x 2, 0 y, 0 z 3+x}. Il flusso del campo vettoriale F(x,y,z) = (e y +sinz, 2x 2 e z, e x +3z) uscente dal bordo di Ω vale A) 2 B) 8 C) 24 D) 4

11 Esercizio 4. Sia f : ( π,π] R la funzione f(x) = xcosx. La serie di Fourier dell estensione 2π periodica di f a tutto R è del tipo A) a 0 + b n sin(nx), a 0 0 n= B) a 0 + a n cos(nx), a 0 0 n= C) D) b n sin(nx) n= a n cos(nx) n= Esercizio 5. IllavorocompiutodalcampovettorialeF(x,y) = (2x,x y)lungolacurvaγ : [0,] R 2 definita da γ(t) = (e t,2t) vale A) e 2 +2e+ B) e 2 +2e 5 C) 2e+ D) e 2 2e Esercizio 6. Se la serie a n x n ha come raggio di convegenza R a > 0 e la serie b n x n ha come n= raggio di convegenza R b > 0, allora la serie verifica A) R = min{r a,r b } B) R min{r a,r b } n= (a n b n )x n ha come raggio di convegenza un R che n= C) R = R a +R b D) R = R a R b Esercizio 7. Sia U : R 2 \{0} R la funzione U(x,y) = +x3 x 2 e sia F(x,y) = U(x,y). Allora +y2 A) Il campo vettoriale F è conservativo in R 2 \{0} B) Il campo vettoriale F è irrotazionale in R 2 \{0} ma non conservativo C) Il campo vettoriale F non è irrotazionale in R 2 \{0} D) Il campo vettoriale F è conservativo in R 2 \{0} ma non irrotazionale

12 Analisi Matematica 2 settembre 204 Nome, Cognome, Matricola: Cognome del Docente: Risposte. (Giusta = 3, non data = 0, sbagliata = ) Esercizio. L insieme di convergenza puntuale della serie n=0 n+ n 2 +5n+6 (x 2)n è A) (,) B) (,3) C) [,3) D) [,) Esercizio 2. Sia D = {(x,y) R 2 x 2 +y 2 5, y 3 x }. L integrale A) 2π(cos5 )/6 B) πcos5 C) (cos5 )/6 D) π(cos5 )/6 D sin(x 2 +y 2 )dxdy vale Esercizio 3. La serie ( ) nlog3n 2n n=3 A) converge, ma non assolutamente B) converge assolutamente C) diverge D) è indeterminata

13 Esercizio 4. Il flusso del campo F : R 3 R 3, F(x,y,z) = (z 2 siny 3, cos x+log(z 2 +2), 2z 3 +cosy 2 ) uscente dall insieme Ω = {(x,y,z) R 3 x 2 +y 2 +z 2, y 0, z 0} vale A) π/5 B) π/0 C) 2π/5 D) π/5 Esercizio 5. Sia f : R R la funzione periodica di periodo 2π che sull intervallo ( π,π] vale { x+2 se x ( π,0] f(x) = x 2 se x (0,π]. Il coefficiente b della serie di Fourier di f vale A) 2 π 2 B) 8 π +2 C) 8 π 4 D) 2 π 4 Esercizio 6. Sia γ : [0,3] R 2 la curva definita da γ(t) = ( 2t,t 2 +3t ). La lunghezza del sostegno di γ è data da A) B) C) t 2 +2t+3dt 4t 2 +t 4 +6t 2 dt 2t 2 +4dt D) nessuna delle altre risposte Esercizio 7. Si dice che una successione di funzioni f n : R R converge uniformemente su R alla funzione f se A) per ogni ε > 0 esiste N N tale che per ogni n N, si ha f n (x) f(x) ε B) per ogni ε > 0 e per ogni x R esiste N N tale che per ogni n N, si ha f n (x) f(x) ε C) per ogni x R e per ogni ε > 0 esiste N N tale che per ogni n N, si ha f n (x) f(x) ε D) per ogni ε > 0 esiste N N tale che per ogni n N e ogni x R, si ha f n (x) f(x) ε

14 Esercizio 8 (9 punti). Sia F : R 3 R 3 il campo vettoriale F(x,y,z) = ( 2xy 3 sinz, 3x 2 y 2 sinz, x 2 y 3 cosz ). a) Trovare un potenziale di F. b) Calcolare il lavoro compiuto da F lungo la curva γ : [0,] R 3 definita da γ(t) = (t, t, π 2 t).

15 Analisi Matematica 2 3 febbraio 204 B D B D A C C Es. 8: α =2,β=6,U= xe y + ye z +2xy +3y 2 z +9,L=2e +5 Analisi Matematica 2 2 febbraio 204 D A D C B C B Es. 8: 8π Analisi Matematica 2 3 luglio 204 D C A C B D C Es. 8: 8π Analisi Matematica 2 7 luglio 204 D A C C B B A Analisi Matematica 2 settembre 204 C D A C B A D Es. 8: U(x, y, z) =x 2 y 3 sin z; L =