2. Discutere la convergenza puntuale e la convergenza uniforme della serie di Fourier di f(x);

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1 ANALISI MATEMATICA II Prova di esame del 6 Giugno 1 ore 11, Cognome e Nome (in stampatello): Corso di Laurea: Matricola: Docente: Versione A Avvertenza. Gli studenti immatricolati nell A.A. 1/11 (codice corso ACI, esame da 6 crediti) devono svolgere gli Esercizi 1,,. Gli studenti immatricolati prima dell A.A. 1/11 (codice corso 19ACI, esame da 7,5 crediti) devono svolgere gli Esercizi 1,,. Esercizio 1. Utilizzando il teorema di Green, calcolare l integrale di linea del campo vettoriale ( ( x F (x, y) = e x y, + ey)) lungo la curva, dove è il bordo della regione {(x, y) R : 9x + y 9, x, y }, percorsa una volta in verso antiorario. Esercizio. Sia f(x) una funzione periodica di periodo π e regolarizzata, tale che 1. Calcolare i coefficienti di Fourier di f(x); se < x < π f(x) = se π < x < π se π < x < π.. Discutere la convergenza puntuale e la convergenza uniforme della serie di Fourier di f(x);. Determinare il valore a cui converge la serie di Fourier di f(x) per x = π ;. Calcolare la norma in media quadratica di f(x) sull intervallo [, π] Esercizio. (Domanda di teoria) 1. Enunciare le definizioni di convergenza puntuale e convergenza uniforme per le serie di funzioni.. Enunciare il Criterio di Weierstrass per la convergenza delle serie di funzioni. Esercizio. Determinare i punti di massimo e minimo assoluto della funzione f(x, y) = x + y, vincolati sulla frontiera dell insieme C = {(x, y) R : 1 y x, 1 y 1}

2 ANALISI MATEMATICA II Prova di esame del 6 Giugno 1 ore 11, Versione B Cognome e Nome (in stampatello): Corso di Laurea: Matricola: Docente: Avvertenza. Gli studenti immatricolati nell A.A. 1/11 (codice corso ACI, esame da 6 crediti) devono svolgere gli Esercizi 1,,. Gli studenti immatricolati prima dell A.A. 1/11 (codice corso 19ACI, esame da 7,5 crediti) devono svolgere gli Esercizi 1,,. Esercizio 1. Utilizzando il teorema di Green, calcolare l integrale di linea F (x, y) = ( e x y, xy + e y) lungo la curva, dove è il bordo della regione {(x, y) R : x + 9y 9, x, y }, percorsa una volta in verso antiorario. Esercizio. Sia f(x) una funzione periodica di periodo π e regolarizzata, tale che 1. Calcolare i coefficienti di Fourier di f(x); se < x < π se π < x < f(x) = se < x < π se π < x < π.. Discutere la convergenza puntuale e la convergenza uniforme della serie di Fourier di f(x);. Determinare il valore a cui converge la serie di Fourier di f(x) per x = π ;. Calcolare la norma in media quadratica di f(x) sull intervallo [, π] Esercizio. (Domanda di teoria) 1. Enunciare le definizioni di convergenza puntuale e convergenza uniforme per le serie di funzioni.. Enunciare il Criterio di Weierstrass per la convergenza delle serie di funzioni. Esercizio. Determinare i punti di massimo e minimo assoluto della funzione f(x, y) = x y, vincolati sulla frontiera dell insieme C = {(x, y) R : x 1 y, 1 y 1}

3 ANALISI MATEMATICA II Prova di esame del 6 Giugno 1 ore 11, Cognome e Nome (in stampatello): Corso di Laurea: Matricola: Docente: Versione C Avvertenza. Gli studenti immatricolati nell A.A. 1/11 (codice corso ACI, esame da 6 crediti) devono svolgere gli Esercizi 1,,. Gli studenti immatricolati prima dell A.A. 1/11 (codice corso 19ACI, esame da 7,5 crediti) devono svolgere gli Esercizi 1,,. Esercizio 1. Utilizzando il teorema di Green, calcolare l integrale di linea ( ) F (x, y) = e x yx, e y + x lungo la curva, dove è il bordo della regione {(x, y) R : 9x + y 9, x, y }, percorsa una volta in verso antiorario. Esercizio. Sia f(x) una funzione periodica di periodo π e regolarizzata, tale che 1. Calcolare i coefficienti di Fourier di f(x); se < x < π f(x) = se π < x < π se π < x < π.. Discutere la convergenza puntuale e la convergenza uniforme della serie di Fourier di f(x);. Determinare il valore a cui converge la serie di Fourier di f(x) per x = π ;. Calcolare la norma in media quadratica di f(x) sull intervallo [, π] Esercizio. (Domanda di teoria) 1. Enunciare le definizioni di convergenza puntuale e convergenza uniforme per le serie di funzioni.. Enunciare il Criterio di Weierstrass per la convergenza delle serie di funzioni. Esercizio. Determinare i punti di massimo e minimo assoluto della funzione f(x, y) = x + y, vincolati sulla frontiera dell insieme C = {(x, y) R : 1 y x, 1 y 1}

4 ANALISI MATEMATICA II Prova di esame del 6 Giugno 1 ore 11, Cognome e Nome (in stampatello): Corso di Laurea: Matricola: Docente: Versione D Avvertenza. Gli studenti immatricolati nell A.A. 1/11 (codice corso ACI, esame da 6 crediti) devono svolgere gli Esercizi 1,,. Gli studenti immatricolati prima dell A.A. 1/11 (codice corso 19ACI, esame da 7,5 crediti) devono svolgere gli Esercizi 1,,. Esercizio 1. Utilizzando il teorema di Green, calcolare l integrale di linea F (x, y) = (e x y, e y + xy ) lungo la curva, dove è il bordo della regione {(x, y) R : x + 9y 9, x, y }, percorsa una volta in verso antiorario. Esercizio. Sia f(x) una funzione periodica di periodo π e regolarizzata, tale che 1. Calcolare i coefficienti di Fourier di f(x); se < x < π se π < x < f(x) = se < x < π se π < x < π.. Discutere la convergenza puntuale e la convergenza uniforme della serie di Fourier di f(x);. Determinare il valore a cui converge la serie di Fourier di f(x) per x = π ;. Calcolare la norma in media quadratica di f(x) sull intervallo [, π] Esercizio. (Domanda di teoria) 1. Enunciare le definizioni di convergenza puntuale e convergenza uniforme per le serie di funzioni.. Enunciare il Criterio di Weierstrass per la convergenza delle serie di funzioni. Esercizio. Determinare i punti di massimo e minimo assoluto della funzione f(x, y) = x y, vincolati sulla frontiera dell insieme C = {(x, y) R : x 1 y, 1 y 1}

5 ANALISI MATEMATICA II - 6 GIUGNO 1 SVOLGIMENTO VERSIONE A Svolgimento Esercizio 1. Si ha = D con D = {(x, y) R :9x + y 9, x, y } dato dall intersezione dei due insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni: 9x + y 9 interno dell ellisse x + y 9 =1 di semiassi a =1e b =, ellisse inclusa; x, y 1 quadrante, semiassi coordinati inclusi. Il verso antiorario (segnato in figura) è il verso di percorrenza positivo di D, quindiilteoremadigreen assicura che x F dp =+ D x + ey e x y dxdy = x +1 dxdy. y D Per calcolare l integrale doppio, esprimiamo il settore ellittico D in coordinate polari ellittiche con parametri a =1e b =:risulta D = (t cos θ, t sin θ) R : t 1, θ π e quindi F dp = x +1 π/ 1 dxdy = t cos θ +1 π/ 1 tdtdθ = t cos θ + t dtdθ D π/ 1 = t cos θ dtdθ + π/ = cos θ 1 sin θ t 5 dθ 5 = π + π/ cos θ dθ 5 = π = π 5 + 5, π/ 1 1 π/ tdtdθ = π/ π/ cos θ dθ 1 t dt + π/ + π t 1 = cos θ cos θ sin θ dθ + π 5 cos θ sin θ dθ = π + [sin θ] π/ sin π/ θ 5 dove la sostituzione dxdy =tdtdθ tiene conto del termine jacobiano e si è usata l identità cos θ = cos θ cos θ =cosθ 1 sin θ. dθ 1 tdt 1

6 S.ROLANDO Svolgimento Esercizio. In figura è rappresentato il grafico della funzione f sull intervallo [, π]. Si noti che f ègiàregolarizzataperipotesi,quindisiha f () = f () = lim x f (x) + lim x + f (x) = + f (/) = f (/) = lim x (/) f (x)+lim x (/) + f (x) f (π/) = f (π/) = lim x (π/) f (x) + lim x (π/) + f (x) = =, = + = 1, f (π) = f (π) = lim x π f (x)+lim x π + f (x) = + =. Analogamente per f (/+kπ), f (π/+kπ) e f (π +kπ), k Z. 1. Poiché f ha periodo T =π ed è chiaramente dispari (v. grafico),isuoicoefficienti di Fourier sono a = a n =, b n = f (x)sin(nx) dx. π Tenendo conto dell espressione di f (x) sull intervallo [, π], risulta b n = π = π π π π/ f (x)sin(nx) dx = π ( ) sin (nx) dx = π π/ π π/ π f (x)sin(nx) dx + π sin (nx) dx = π π π/ =1, f (x)sin(nx) dx cos (nx) n = cos (nπ) cos n π = ( 1) n cos n π. πn πn. Poiché f è periodica di periodo π ed è di classe C 1 atrattisu[, π] (è derivabile in ogni x = π, π, π ed f (x) è continua a tratti su [, π], dove vale per ogni x = π, π, π ), la serie di Fourier di f converge puntualmente su R alla funzione regolarizzata di f, che coincide con f stessa per ipotesi. Dunque (1) sin (nx) =f (x) per ogni x R. π n=1 ( 1) n cos (nπ/) n Inoltre, per lo stesso motivo di cui sopra, la serie di Fourier di f converge uniformemente ad f su ogni intervallo compatto [a, b] su cui f è continua, cioè che non contenga punti del tipo x = π + kπ o x = π +kπ, k Z.. Usando la (1) con x = π,siottiene π n=1 ( 1) n cos (nπ/) n sin n π π = f = 1, cioè per x = π la serie di Fourier di f converge al valore 1.. Si ha π / f,[,π] = [f (x)] dx = = / π dx + dx = π / +π =π π π/ π/ π [f (x)] dx + [f (x)] dx + [f (x)] dx / / e quindi la norma quadratica di f su [, π] è f,[,π] = π = π.

7 6 GIUGNO 1 Svolgimento Esercizio. Per comodità, rappresentiamo innanzitutto il vincolo Γ = C: sitratta della frontiera dell insieme C = {(x, y) R : 1 y x, 1 y 1}, dato dall intersezione degli insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni: 1 y x punti a destra della semicirconferenza x = 1 y, semicirconferenza inclusa; x semipiano a sinistra dell asse y, asse y incluso; 1 y 1 striscia delimitata dalle rette y =1 e y = 1, rette incluse. L insieme Γ = C è compatto (chiuso e limitato) e la funzione f (x, y) = x + y ècontinuasuγ, quindi f ammette almeno un punto di massimo assoluto ed un punto di minimo assoluto su Γ, perilteoremadi Weierstrass. Per determinarli, è allora sufficiente cercare i candidati estremanti assoluti di f su Γ epoi valutare il valore di f in tali punti. Il vincolo Γ è l unione della semicirconferenza Γ 1 : x = 1 y, 1 y 1, edelsegmentoγ che unisce i punti (, 1) e (, 1), i quali possono essere parametrizzati in modo standard come grafici 1 :siha x = 1 t x = Γ 1 :,t [ 1, 1], Γ y = t :,t [ 1, 1]. y = t Si tratta allora di determinare i possibili estremanti delle restrizioni ϕ 1 (t) =f 1 t,t = 1 t + t con t [ 1, 1], ϕ (t) =f (,t)=t con t [ 1, 1]. Si ha ϕ 1 (t) = t t + 1 t 1 t +1=, t ( 1, 1) 1 t e quindi ϕ 1 (t) =seesolose t + 1 t =,cioè 1 t = t, cont ( 1, 1). Ciò equivale a t ( 1, 1) t ( 1, 1) () t, cioè t, 1 t =t t =1 che ha l unica soluzione t = 1. Dunque i possibili estremanti di ϕ 1 sono i punti t = 1, 1, 1 (punti critici interni ed estremi dell intervallo) e ciò significa che gli eventuali estremanti di f su Γ 1 sono da ricercarsi tra i punti P 1 =(, 1), P = 1 1, 1 =, 1 e P =(, 1). ϕ (t) =t èovviamentecrescentesu[ 1, 1], quindi ϕ ha un minimo in t = 1 ed un massimo in t =1.Ciòsignifica che gli unici estremanti di f su Γ sono i punti P 1 e P, già considerati al punto precedente. Per determinare gli estremi assoluti di f su Γ (che esistono), basta ora confrontare i valori assunti da f nei tre candidati P 1,P,P rintracciati sulle due componenti in cui Γ è stato suddiviso. Si ha () f (P 1 )=f(, 1) = 1, f (P )=f, 1 = 1 =, f (P )=f (, 1) = 1, per cui risulta () min f = f (P )= e max f = f (P Γ )=1. Γ 1 per una parametrizzazione alternativa di Γ 1 in coordinate polari e per una risoluzione alternativa tramite il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, si veda al fondo dell esercizio

8 S.ROLANDO Parametrizzazione di Γ 1 in coordinate polari. La componente Γ 1 di Γ (semicirconferenza di raggio 1 e centro nell origine) può essere parametrizzata anche tramite coordinate polari: si ha x =cost π Γ 1 : y =sint, t, π. La restrizione di f a Γ 1 viene allora rappresentata dalla funzione ϕ 1 (t) =f (cos t, sin t) = cost +sint con t π, π, per la quale si ha ϕ 1 (t) = sint+cost, t [π/, π/]. Risultaϕ 1 (t) =se e solo se cos t = sint con t [π/, π/], ossiat =7π/6, e quindi i possibili estremanti di ϕ 1 sono i punti t = π/, 7π/6, π/ (punti critici interni ed estremi dell intervallo). Ciò significa che gli eventuali estremanti di f su Γ 1 sono =, 1 da ricercarsi tra i punti cos π, sin π =(, 1), cos 7π 6, sin 7π 6 Lo studio di Γ procede come sopra e si ritraggono le stesse conclusioni. e cos π, sin π =(, 1). Procedimento alternativo tramite moltiplicatori di Lagrange. Estremi (, 1) e (, 1) esclusi, le due componenti Γ 1 e Γ di Γ possono essere rappresentate in forma cartesiana come x = 1 y x = Γ 1 :, Γ :, cioè g1 (x, y) = Γ 1 : con g 1 (x, y) =x + 1 y g (x, y) =, Γ : con g (x, y) =x. Determiniamo allora i possibili estremanti di f su tali vincoli cartesiani tramite il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Si tratta di risolvere i sistemi f (x, y) λ g i (x, y) =(, ) g i (x, y) =, i =1,, nelle tre incognite x, y, λ, dove f (x, y) =, 1, g 1 (x, y) = 1, y e g 1 y (x, y) =(1, ). Per i =1,siottiene λ = λ = y 1+λ = 1 y + λ = y 1 y x + =, 1 y 1 y + y = 1 y = x =, 1 y x =. 1 y Le due condizioni 1 y + y =,, sono già state studiate nel sistema () ed equivalgono a y = 1. Si ottiene dunque l unica soluzione λ =, y = 1, x = 1 1 =, per cui l unico possibile estremante di f su Γ 1, estremi esclusi, è il punto Per i =,siottiene λ = 1=, x =, 1. dove la seconda equazione è impossibile e quindi f non ha estremanti sul segmento Γ,estremi esclusi. Gli estremanti assoluti di f su Γ (che esistono) sono ora da ricercarsi tra i punti, 1, (, 1) e (, 1) (candidati rintracciati col metodo di Lagrange ed estremi delle componenti Γ 1 e Γ di Γ). Confrontando i valori di f in tali punti, si giunge ai risultati trovati in ()-().

9 Versione B. 1 F dp = / 1 6 GIUGNO 1 5 ALTRI RISULTATI t sin θ +1 tdtdθ = π 5. π/ 1. a = a n =, b n = sin (nx) dx = cos nπ π πn 1.. La serie di Fourier di f converge: puntualmente ad f su R, uniformemente ad f su ogni intervallo non contenente punti del tipo x = π + kπ o x =kπ, k Z.. Per x = π, la serie di Fourier di f converge al valore 1.. π [f (x)] dx =π. min f = f (, 1) = 1, max f = f Γ Γ, 1 =. Versione C. 1 F dp = π/ 1 +t cos θ tdtdθ = π + 5. π 1. a = a n =, b n = sin (nx) dx = cos nπ π π/ πn ( 1)n.. La serie di Fourier di f converge: puntualmente ad f su R, uniformemente ad f su ogni intervallo non contenente punti del tipo x = π + kπ o x = π +kπ, k Z.. Per x = π, la serie di Fourier di f converge al valore 1.. π min f = f Γ [f (x)] dx =π. Versione D. 1 F dp = 1, / 1 =, max Γ f = f (, 1) =. t sin θ + tdtdθ = π 5. π/ 1. a = a n =, b n = sin (nx) dx = cos nπ π πn 1.. La serie di Fourier di f converge: puntualmente ad f su R, uniformemente ad f su ogni intervallo non contenente punti del tipo x = π + kπ o x =kπ, k Z.. Per x = π, la serie di Fourier di f converge al valore 1. π. [f (x)] dx =π. min f = f (, 1) =, max f = f 1 Γ Γ, =.