Analisi Matematica III

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1 Università di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Civile dell ambiente e territorio Analisi Matematica III Pisa, 7 gennaio 00 (Cognome) (Nome) (Numero di matricola) Esercizio Si consideri la successione di funzioni f n (x) = sulla semiretta x > 0. Trovare l insieme + n x di convergenza puntuale e la funzione limite. ire inoltre se la successione converge uniformemente sugli insiemi (0, + ) e [, + ). n x lim n n x + n x = x x > 0 l insieme di convergenza puntuale è x > 0 e la funzione limite è f(x) = x. f n (x) f(x) = n x + n x x = x( + n x ) sup f n (x) f(x) lim f n(x) f(x) = + x>0 x 0 + e la successione non converge uniformemente sulla semiretta x > 0. Per la convergenza su [, + ) osserviamo che f n (x) f(x) = è una funzione decrescente, dato che il denominatore x( + n x ) è crescente, il massimo viene assunto nell estremo sinistro della semiretta, cioè per x =. Quindi sup f n (x) f(x) = 0 per n x ( + n ) Ne segue che la successione converge uniformemente sulla semiretta x.

2 Esercizio x 0. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni (x + n)(x + + n) per La serie è a termini positivi e per ogni x 0 valgono le disuguaglianze: risulta: sup x 0 (x + n)(x + + n) n( + n) n (x + n)(x + + n) n = e l ultima serie è una serie numerica convergente, la serie data converge totalmente su tutta la semiretta [0, + ). In tale insieme si ha anche convergenza uniforme e puntuale. n

3 Esercizio Calcolare gli integrali curvilinei γ {(x, y) R : x + y =, y x }. x ds e γ y ds dove γ è la curva che ha per sostegno l insieme La curva è un arco di circonferenza di raggio, centro 0 e ampiezza. Possiamo parame- 0 trizzare γ nel seguente modo: γ(t) = cos t sin t t [, ]. Quindi Allora γ y ds = γ(t) = sin t cos t γ x ds = γ(t) = sin t + cos t =. [ ] cos t dt = sin t [ ] sin t dt = cos t = ( = 0 ) =.

4 Università di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Civile dell ambiente e territorio Analisi Matematica III Pisa, 7 gennaio 00 (Cognome) (Nome) (Numero di matricola) Esercizio Si calcoli l area della superficie Σ = {(x, y, z) R : x + z =, x + y }. La superficie è la porzione di un cilindro con base circolare unitaria nel piano y = 0 avente per asse l asse y, delimitata dal cilindro verticale x + y. Se poniamo = {(x, y) R : x + y }, Σ è l unione di due superfici cartesiane aventi come dominio di base: Σ = graph(f ), f (x, y) = x Σ = graph(f ), f (x, y) = x. ata la simmetria delle due superfici risulta Area(Σ) = Area(Σ ). Per il calcolo dell area di Σ utilizziamo la ben nota formula valida per le superfici cartesiane: Area(Σ ) = + f dx dy Calcoliamo il gradiente di f : Area(Σ ) = f x = x x, f y = 0 + x dx dy = x dx dy x Consideriamo ora come un dominio normale rispetto all asse y, cioè: = {(x, y) R : x, x y } x Quindi l integrale precedente risulta: dx dy = x x dx x x dy = x x dx =. Ne segue che l area di Σ è 8.

5 Esercizio 5 ire se la forma differenziale lineare ω = (cos y cos x + cos(z x)) dx + (sin(y + z) sin y sin x) dy + (sin(y + z) cos(z x) + log z) dz è esatta e, in caso affermativo, determinarne una primitiva. La forma differenziale ω = X dx + Y dy + Z dz è definita nel semispazio z > 0. Calcoliamo le derivate incrociate: X y = sin y cos x = Y x X z = sin(z x) = Z x Y z = cos(y + z) = Z y ω è chiusa e, dato che il suo insieme di definizione è semplicemente connesso, ω è anche esatta. Cerchiamo una primitiva: u(x, y, z) = cos y cos x + cos(z x) dx + ϕ(y, z) = cos y sin x sin(z x) + ϕ(y, z) con ϕ(y, z) funzione da determinare. erivando rispetto a y l equazione precedente si ottiene: u y = sin y sin x + ϕ y e, ponendo u y = Y si ha: ϕ(y, z) = ϕ y = sin(y + z) sin(y + z) dy + g(z) = cos(y + z) + g(z) con g funzione da determinare. deriviamo rispetto a z: Sostituiamo il risultato ottenuto nell equazione che definisce u e u(x, y, z) = cos y sin x sin(z x) + ϕ(y, z) = cos y sin x sin(z x) cos(y + z) + g(z) u z = cos(z x) + sin(y + z) + g (z). Sostituendo il risultato ottenuto nell equazione u z = Z si ha: g (z) = log z g(z) = log z dz + c = z + c, z > 0 con c costante arbitraria. Una primitiva di ω è la funzione u(x, y, z) = cos y sin x sin(z x) cos(y + z) + z + c.

6 Esercizio 6 Trovare l area del segmento ellittico E = {(x, y) R : x + y, x } facendo uso delle formule di Gauss Green. alle fornule di Gauss Green abbiamo: area(e) = dx dy = x dy E + E Parametrizziamo la frontiera di E che risulta formata da due curve regolari: un segmento di retta parallela all asse y e un arco di ellisse. Le due curve si intersecano nei punti dove l ellisse interseca la retta x =, ricaviamo la y dal sistema { x + y = x = = y = ± Parametrizziamo il segmento come una curva γ (t) che sarà percorsa verso il basso per orientare positivamente la frontiera, risulta [ ] γ (t) = t t, L ellisse invece ha una parametrizzazione data da cos t γ (t) = sin t ma resta da determinare l intervallo di variazione della t. Per fare questo basta osservare che nei punti iniziali e finali della curva la x vale. Basta risolvere l equazione cos t = che ha per soluzione i due valori t = ± [ ; abbiamo allora che t, ]. Calcoliamo ora le velocità delle due curve: 0 sin t γ (t) = γ (t) = cos t Possiamo ora determinare l area di E: area(e) = x dy = ( ) dt + cos t cos t dt = + + cos(t) dt = + E = + [ t + sin(t) ] =.