Analisi Matematica II Integrali curvilinei (svolgimenti) 1 t 9t dt (a) = dt t 1 t 2 = 1 2. x dx (b) log y 1. dy.

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1 Analisi Matematica II Integrali curvilinei svolgimenti Svolgimento esercizio Si ha, successivamente, t t, t, t 9t 4 + 4t t 9t + 4, l t dt t 9t + 4 dt a 8 dove in a si è usata la sostituzione 9t + 4 8t dt d. Si ha, successivamente, t t l,, t t t + t t t, / [ log y t dt ] / dt t t tgπ/ log tg π, 4 π/ a π/6 d [ /] , d b sin tgπ/ y + y y + dy dove si è usato, in a la sostituzione t sin dt cos d, in b la sostituzione arctg y, per cui sin y, d dy. +y +y Si ha, successivamente, t e t, e t, t e t + 4e 4t e t + 4e t, l 8 t dt e+ 4e + + e t + 4e t dt a y + y + y dy 8 [ y e e 4e log e + 4e + +, + d b e+ 4e + + log y y ] e e + y + y + y y dy dove si è usato, in a la sostituzione e t e t dt d, in b la sostituzione + y, per cui y y, + y + y, d y + dy. y

2 4 Si ha, successivamente, t 6t +, 8t +, t 6t + + 8t + 4t + 8t +, l 6 t dt t + 8t + dt a 4 y + y + y dy d b y + y + y y dy [ y + log y ] 8+ 6 y log8 + 6, dove si è usato, in a la sostituzione 4t +, in b la sostituzione + y, per cui y y, + y + y, d y + dy. y Si ha, successivamente, t, t,, t t + t + t l t + t, t dt t + t dt 6 Si ha, successivamente, t sint, cos t sin t, sin t cos t, + [ ] dt t + log t + log. t t 4 sin t + 9 cos 4 t sin t + 9 sin 4 t cos t sin t, π/ l t π/ dt sint dt π/ sint dt π/ π/ 7 Si ha, successivamente, [ ] π/ cost. t 4 sin t + 4 sin 4t, 4 cos t 4 cos 4t, t 4 sin t + 4 sin 4t + 4 cos t 4 cos 4t cos t 64 sin t, π l t π π/ π dt 6 sin t dt 4 sin t dt a 6 sin d [ ] π 6 cos, dove in a si è usata la sostituzione t dt d. 8 Si ha, successivamente, t sinh t cos t cosh t sin t, sinh t sin t cosh t cos t,, t sinh t cos t cosh t sin t + sinh t sin t cosh t cos t + cosh t, l t dt cosh t dt [ ] sinh t sinh e e.

3 9 Si ha l a d 8 9 y dy [y ] , 7 dove in a si è usata la sostituzione y, per cui y 8 8, d 9 y dy. Si ha l π/ / π/ / + tg d a d cos y + [ dy log y + y y + y y + y dy ] / log + log +, dove in a si è usata la sostituzione arctg y, per cui cos y +y, d y + dy. Si ha / l + / + + d + b [ log y 4 y + y y + dove si è usato in a la sostituzione decomposizione Si ha l + y y 4 a y d / y dy ] / 4 log + 4 log + +, + + y, per cui y y, d y y dy, in b la y + y y+ + y d 6 y 4/ y dy 6 6 [ y + log y ] y + dove in a si è usata la sostituzione Si ha l 8 [ y 8 a d y 6 6 y 4/ 4/ 4/ 6 + log d a + y dy y + 4y y dy + log log +, 8 6 y, per cui 6y 8 y, d y + y + y 4y dy log , log y y ] y y dy. y + y + y dy dove in a si è usata la sostituzione + 4 y, per cui y 4y, d y + dy, + 4 4y y + y.

4 Alternativamente, si ha l + 4 d a arsinh 4 arsinh cosh y dy 4 arsinh 4 arsinh cosh y + dy 4 4 sinh arsinh 4 cosh arsinh 4 4 sinh arsinh cosh arsinh + 4 log log , dove in a si è usata la sostituzione sinh y, d cosh y dy. 4 Si ha l + + d a [z /] y y + dy b z + z + z dz + log z dz + [ z + log +, + [ sinh y + y ] arsinh 4 z + z + log z z ] + z + z dz dove si è usato in a la sostituzione + y, per cui y, d y dy, in b la sostituzione z y +, per cui dz y dy, nel primo integrale, e + y z y, per cui y z z, dy z + dz, + y z z + z, nel secondo integrale. Si ha 6 Si ha l l 9e 6ϑ + e 6ϑ dϑ 4 + 4ϑ dϑ + z + z + z dz e ϑ dϑ [e ϑ] + + ϑ dϑ a z + z [ z + log z ] + z z + z e. dz + + log +, dove in a si è usata la sostituzione + ϑ z ϑ, per cui ϑ z z, dϑ z + dz, + ϑ z z + z. arsinh Svolgimento esercizio Poiché f ds ft t dt, calcoliamo ft sinπt + cosπt, e t π. Quindi f ds π sinπt + cosπt dt π [ cosπt π + sinπt ] π. 4

5 Poiché f ds π ft t dt, calcoliamo ft sin t cos t, e t sin t + cos t. Quindi f ds π cos t dt π/ [ ] π/ cos t dt sin t. Poiché f ds π π/ ft t dt, calcoliamo ft cos t sin t 8 cos t sin t, e t sin t + cos t. Quindi π f ds 6 cos t sin t dt a 6 d 6 [ ] 6, π/ dove in a si è usata la sostituzione cos t, per cui d sin t dt. 4 Poiché f ds π/ ft t dt, calcoliamo ft cos t +sin t, e t sin t + cos t. Quindi π/ cos t a d [ ] f ds + sin dt t + arctg arctg π 4, dove in a si è usata la sostituzione sin t, per cui d cos t dt. Poiché f ds ft t dt, calcoliamo ft t + t 9t, e t + t 4 + 9t 4. Quindi f ds 9t 4 + 9t 4 dt a 4 4 d [ /] 6 8, 4 6 dove in a si è usata la sostituzione 4 + 9t 4, per cui d 6t dt. 6 Poiché f ds π ft t dt, calcoliamo ft 4t, e t. Quindi π f ds 4t dt [t ] π 4π. 7 Poiché f ds ft t dt, calcoliamo ft t, e t sin t + cos t + 4t + 4t. Quindi f ds t + 4t dt a 8 d [ /], dove in a si è usata la sostituzione + 4t, per cui d 8t dt. 8 Intanto le equazioni parametriche della curva sono t t, +t, 6 +t, +4t, t [, ]. Poiché f ds ft t dt, calcoliamo ft + t + + 4t + t, e t Quindi f ds + t dt a dove in a si è usata la sostituzione + t, per cui d dt. d [ /],

6 9 Intanto le equazioni parametriche della curva sono t t, log t, t [, ]. Poiché f ds ft t dt, calcoliamo ft t, e t +. Quindi t f ds t + t dt t t + dt a d [ /], dove in a si è usata la sostituzione t +, per cui d t dt. Intanto le equazioni parametriche della curva sono t t, e t, t [, log ]. Poiché f ds log ft t dt, calcoliamo ft e t, e t + e t. Quindi f ds log e t + e t dt a d [ /], dove in a si è usata la sostituzione + e t, per cui d e t dt. Intanto le equazioni parametriche della curva sono t t, + t, t [, ]. Poiché f ds ft t dt, calcoliamo ft + t, e t + t t + +t t +. Quindi f ds 4 t + dt a + + [ + log ] d 4 + log +, + + d dove in a si è usata la sostituzione t + t, per cui t, dt + d, + t +. Intanto le equazioni parametriche della curva sono t t cos t, t sin t, t [, ]. Poiché f ds ft t dt, calcoliamo ft t cos t + t sin t t, e t + t. Quindi f ds t + t dt a d [ /], dove in a si è usata la sostituzione + t, per cui d t dt. Svolgimento esercizio Una parametrizzazione del segmento è t + t, t, t [, ]. Si ha ω t + t [ t dt t 4 t/ 4 t/]. Una parametrizzazione del segmento è t + t, t, t [, ]. Si ha ω 4t + e t+ [ 4 dt t + e t+] 4 + ee. 6

7 Una parametrizzazione del segmento è t + t, + t, t [, ]. Si ha ω b + t log + t + t arctg + t dt a [ log arctg ] + π 4 arctg + 9 log, log arctg d d [ log arctg + + arctg dove{ si è usato in a la sostituzione t +, per cui dt d, e in b l integrazione per parti f log arctg f con +, g g. 4 Una parametrizzazione del segmento è t t, t, t [, ]. Si ha ω t / te t dt a [ t/ te t] + [ e t dt t/ + te t], { ft t f t, dove in a si è usata l integrazione per parti con g t e t gt e t. { t,, t [, ], Una parametrizzazione della spezzata è t Si ha, t, t [, ]. 6 Si ha 7 Si ha ω ω π π ω dt t + dt [ ] [ t t + ] t. π sin t cos t sin t + cos t cos t dt + cos t + cos t dt π 4 4 [ 4 t + sin t + ] π 8 sin 4t 8 π. π a cos 4 t dt + cos t + π sin te cos t sin t cos t sin t cos t dt e + d b [ + e ] π + cos t dt dt + cos 4t sin te cos t + cos sin t dt 4 e, dove si è usato in a la sostituzione cos t, per cui sin t dt d, e in b il risultato e d e e d + e + C. ] 7

8 8 Si ha ω π cos t π sin t sin t + cos t cos t dt a [ t + sin t ] π π, cos t dt π + cos t dt dove in a si è usata la disparità della funzione sin t cos t sin t rispetto all intervallo d integrazione. 9 Si ha ω b π t sin t + t sin t t dt π [ t + t cos t + 6t + sin t t + t sin t dt a [ ] π t + t cos t ] π π [ c t + t cos t + 6t + sin t + t cos t [ ] π t t cos t + 6t sin t dove si è usata l integrazione per parti, in a con { ft 6t + f t t, con g in c con t cos t gt sin t, Si ha ω π t sin t dt ] π π π π, cos t dt π + { ft t + t f t 6t +, g t sin t gt cos t, { ft t f t, g t sin t gt cos t. 6t + cos t dt in b t sin t + cos t cos t + dt a [t cos t sin t + t + ] π 4 sin t + t π + π π, dove in a si sono usati i risultati t sin t dt t cos t + cos t dt sin t t cos t + C, e cos t dt + cos t dt t + 4 sin t + C. Una parametrizzazione del segmento è t t, t, t, t [, ]. Si ha ω [ t + t t dt t t] 6.,, t, t [, ], Una parametrizzazione della spezzata è t, t,, t [, ], t,,, t [, ]. ω dt + dt + dt. Si ha 8

9 Svolgimento esercizio 4 Si ha +y +y Si ha log + y Si ha y y +y, per cui ω non è chiusa. +y +y y log + y y y 4y+ y 8 y + y + y 4 y +y, per cui ω non è chiusa. + y, per cui ω è chiusa in R, che è semplicemente connesso, e quindi ω è esatta. Determiniamo una funzione potenziale U. Si ha U U, y y d + ϕy + ϕy, e deve essere y + y + y + y per cui ϕ y, e possiamo scegliere ϕ. Quindi U, y. + y U y + y y + y + ϕ y, 4 Si ha ye e y e e y e e y, per cui ω è chiusa in R, che è semplicemente connesso, e quindi ω è esatta. Determiniamo una funzione potenziale U. Si ha U ye e y U, y ye e y d + ϕy ye e y + ϕy, e deve essere e e y U e e y + ϕ y, per cui ϕ y, e possiamo scegliere ϕ. Quindi U, y ye e y. Si ha y cos y sin sin y cos sin cos y cos cos y +, per cui ω è chiusa in R, che è semplicemente connesso, e quindi ω è esatta. Determiniamo una funzione potenziale U. Si ha U y cos y sin sin y U, y y cos y sin sin y d + ϕy y cos sin y + ϕy, e deve essere cos cos y + U cos cos y + ϕ y, per cui ϕ y, e possiamo scegliere ϕy y. Quindi U, y y cos sin y + y. 6 Si ha y y y y, per cui ω è chiusa in {, y R : y > }, che è semplicemente connesso, e quindi ω è esatta. Determiniamo una funzione potenziale U. Si ha U y y U, y y y d + ϕy y y + ϕy, e deve essere y U y + ϕ y, per cui ϕ y, e possiamo scegliere ϕ. Quindi U, y y y. 7 Si ha +y + + log +, per cui ω è chiusa in {, y R : > }, che è semplicemente connesso, e quindi ω è esatta. Determiniamo una funzione potenziale U. Si ha U +y + U, y +y U + d+ϕy +y log++ϕy, e deve essere log+ log++ϕ y, per cui ϕ y, e possiamo scegliere ϕ. Quindi U, y + y log +. 8 Si ha e/y e /y y y e /y, per cui ω è chiusa in {, y R : y }, che è semplicemente connesso cioè le sue componenti connesse lo sono, e quindi ω è esatta. Determiniamo una funzione potenziale U. Si ha U e/y U, y e /y d + ϕy ye /y + ϕy, e deve essere y e/y U y e /y + ϕ y, per cui ϕ y, e possiamo scegliere ϕ. Quindi U, y ye /y. y + 9 Si ha semplicemente connesso [cioè le sue componenti connesse lo sono], e quindi ω è esatta. Determiniamo y y, per cui ω è chiusa in {, y R : y > }, che è una funzione potenziale U. Si ha U y + U, y y + d + ϕy y + + ϕy, e deve essere y U y + ϕ y, per cui ϕ y, e possiamo scegliere ϕ. Quindi U, y y +. Si ha y y log+y log+y+ +y log+y, per cui ω è chiusa in {, y R : y > }, che è semplicemente connesso cioè le sue componenti connesse lo sono, e quindi ω è esatta. Determiniamo una funzione potenziale U. Si ha U y log+y U, y y log+y d+ϕy 9

10 + ylog + y + ϕy, e deve essere log + y U log + y + ϕ y, per cui ϕ y, e possiamo scegliere ϕ. Quindi U, y + ylog + y. Svolgimento esercizio Indichiamo con ω f, y d+g, y dy la forma differenziale da integrare. Poiché f log y, ω è chiusa in A {, y R : >, y > }, che è convesso e quindi semplicemente connesso; quindi ω è esatta in A, e il suo integrale dipende solo dai punti iniziale e finale di. Poiché,, e,, per calcolare l integrale possiamo usare il cammino t + e t,, t [, ]. Si ha allora, ω ω log + e t e dt e log e e log + e t dt a e log e e log d b e log e [ log ] e e log e, dove in a si è usata la sostituzione + e t d e dt, e in b il risultato log d log d log + C. Indichiamo con ω f, y d + g, y dy la forma differenziale da integrare. Poiché f, ω è chiusa in A R, che è convesso e quindi semplicemente connesso; quindi ω è esatta in A, e il suo integrale dipende solo dai punti iniziale e finale di{. Poiché,, t,, t [, ],,, per calcolare l integrale possiamo usare il cammino t Si, t, t [, ]. ha allora, ω ω t6t + dt + t dt [ 4t 4 + t ] + [ t t ]. Indichiamo con ω f, y, z d + g, y, z dy + h, y, z dz la forma differenziale da integrare. Poiché f y, f h z 4z, h z y, ω è chiusa in A R, che è convesso e quindi semplicemente connesso; quindi ω è esatta in A, e il suo integrale dipende solo dai punti iniziale e finale di. Poiché {,,, e,,, per calcolare l integrale possiamo,, t, t [, ], usare il cammino t e t. Si ha allora, ω ω + t dt +,,, t [, ]. e t ++8e t e t dt a [ t+t ] e d 4+ [ +4 + ] e e +4e, dove in a si è usata la sostituzione e t d e t dt. 4 Indichiamo con ω f, y d + g, y dy la forma differenziale da integrare. Poiché f 4 y + y +y, ω è chiusa in A R \{, }, che non è semplicemente connesso. Osserviamo, però, che ω ω + ω è la somma di una forma esatta ω y 4 d + 4 y dy [perché chiusa in R, che è semplicemente connesso], e di una forma chiusa non necessariamente esatta ω π y d + dy. Si ha allora, ω ω +y +y + ω ω cos t sin t dt π. Indichiamo con ω f, y d + g, y dy la forma differenziale da integrare. Poiché f y +y + y semplicemente connesso., ω è chiusa in A {, y R : y > } \ {, }, che non è Osserviamo, però, che ω ω + ω è la somma di una forma esatta

11 ω y y d + y dy [perché chiusa in {, y R : y > }, che è semplicemente y connesso], e di una forma chiusa non necessariamente esatta ω d dy. +y +y Usando l invarianza omotopica dell integrale di una forma chiusa, possiamo introdurre la curva π t cos t, + sin t, t [, π], e ottenere ω ω + ω ω ω sin t + cos t dt π. 6 Indichiamo con ω f, y d + g, y dy la forma differenziale da integrare. Poiché f y, ω è chiusa in A {, y R : >, y > } \ {, }, che y + 9 +y non è semplicemente connesso. Osserviamo, però, che ω ω + ω è la somma di una forma esatta ω y + d+ y dy [perché chiusa in {, y R : >, y > }, che è semplicemente connesso], e di una forma chiusa non necessariamente esatta ω d dy. +y +y Usando l invarianza omotopica dell integrale di una forma chiusa, possiamo introdurre la curva t + cos t, + sin t, t [, π], e ottenere ω ω + ω ω ω π sin t + cos t dt π. 7 Indichiamo con ω f, y d + g, y dy la forma differenziale da integrare. Poiché f y + y +y +y y + e e y, ω è chiusa in A R \ {,,, }, che non è semplicemente connesso. Osserviamo, però, che ω ω + ω + ω è la somma di una forma esatta ω ye e y d + e e y dy [perché chiusa in {, y R : >, y > }, che è semplicemente connesso], e di due forme chiuse non necessariamente esatte ω y d dy, e +y +y y ω d dy. Osserviamo anche che la forma ω +y +y è esatta in una regione semplicemente connessa contenente D, ad esempio in {, y R : < }. Usando l invarianza omotopica dell integrale di una forma chiusa, possiamo introdurre la curva t cos t, sin t, π t [, π], e ottenere ω ω + ω + ω ω ω sin t + cos t dt π. 8 Indichiamo con ω f, y d + g, y dy la forma differenziale da integrare. Poiché f, ω non è chiusa. Applichiamo la formula di Gauss-Green, ottenendo ω + D D f ddy [ d + y y dy + y y] y d [ y d ] Indichiamo con ω f, y d + g, y dy la forma differenziale da integrare. Poiché f, ω non è chiusa. Applichiamo la formula di Gauss-Green, ottenendo ω D D f ddy d y+ [ + y dy y +arctg y] d arctg arctg d a [ ] arctg t dt t arctg t t t + dt π [ ] log + t π log, dove in a si è usata la sostituzione t. Indichiamo con ω f, y d+g, y dy la forma differenziale da integrare. Poiché f, ω

12 non è chiusa. Applichiamo la formula di Gauss-Green, ottenendo π/ + y ddy dϑ ϱ dϱ π [ 4 ϱ4] π 8. D + D ω D f ddy Indichiamo con ω f, y d + g, y dy la forma differenziale da integrare. Poiché f y y +y +y, ω è chiusa in A R \{,,, }, che non è semplicemente connesso. Osserviamo che ω ω + ω è la somma di due forme chiuse ω y ω d + +y y +y d +y dy. Calcoliamo i periodi di ω relativi alle due lacune, e,. +y dy, e Il periodo relativo alla lacuna, si calcola, ad esempio, usando la curva t cos t, sin t, t [ π, π], e vale ω a ω π π sin t + cos t dt 4π, dove in a si è usato il fatto che ω è esatta in {, y R : < }. Il periodo relativo alla lacuna, si calcola, ad esempio, usando la curva t + cos t, sin t, t [ π, π], e vale ω b ω π π sin t + cos t dt π, dove in b si è usato il fatto che ω è esatta in {, y R : > }. Quindi ω 4π + π π. Indichiamo con ω f, y d + g, y dy la forma differenziale da integrare. Poiché f y y + y +y +y +y, ω è chiusa in A R \{,,, }, che non è semplicemente y connesso. Osserviamo che ω ω + ω + ω è la somma di tre forme chiuse ω d +y dy, ω +y y d + dy, e ω +y +y d y dy. Calcoliamo i periodi di ω +y +y relativi alle due lacune, e,. Il periodo relativo alla lacuna, si calcola, ad esempio, usando la curva t cos t, sin t, t [ π, π], e vale ω a ω + ω π π sin t + cos t dt π, dove in a si è usato il fatto che ω è esatta in {, y R : < }. Il periodo relativo alla lacuna, si calcola, ad esempio, usando la curva t + cos t, sin t, t [ π, π], e vale ω b ω π π sin t + cos t dt 4π, dove in b si è usato il fatto che ω e ω sono esatte in {, y R : > }. Quindi ω π + 4π π.