Formulario di Matematica. Salvatore di Maggio

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1 Formulario di Matematica Salvatore di Maggio

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3 Indice 1 Disequazioni 5 Calcolo Combinatorio 7 3 Logaritmi 9 4 Trigonometria 11 5 Geometria Analitica Punti e rette La circonferenza La parabola L ellisse L iperbole Analisi Matematica Limiti Derivate Integrali Integrali avanzati Operazioni vettoriali 37 3

4 INDICE 4

5 Capitolo 1 Disequazioni Breve riepilogo Disequazione > 0 = 0 < 0 ax + bx + c > 0 Valori esterni alle radici Tutti i valori tranne x = b a Tutti i valori ax + bx + c < 0 Valori interni alle radici Impossibile Impossibile 5

6 CAPITOLO 1. DISEQUAZIONI 6

7 Capitolo Calcolo Combinatorio Disposizioni D n,k = n(n 1)(n )... (n k + 1) Permutazioni P n = D n,n = n! Combinazioni C n,k = ( ) n n! = k k! (n k)! Proprietà ( ) n = k 0! = 1 ( ) ( ) n n = k n k ( n 1 k ( ) n = k + 1 (a + b) n = n k=0 ) + ( ) n 1 n k ( ) n n k k k + 1 ( ) n a n k b k k (a + b) 0 1 (a + b) (a + b) 1 1 (a + b) (a + b) ( ) n = k ( ) n n k k k + 1

8 CAPITOLO. CALCOLO COMBINATORIO ( ) n + 1 ( ) ( ) n n ( ) ( ) n n = 3 5 ( ) ( n n ( ) n + 0 Somme delle potenze dei numeri naturali S 4 = S = n x=1 S 1 = n x = x=1 n x = x=1 S 3 = ) ( ) n + = n n 1 n ( ) ( ) n n = n 1 4 n (n + 1) n (n + 1) (n + 1) 6 n [ n (n + 1) x 3 = x=1 ] x 4 = n (n + 1) (n + 1) (3n + 3n 1) 30 8

9 Capitolo 3 Logaritmi log a b = x a x = b Proprietà log a b c = log a b + log a c log a b c = log a b log a c log a b n = n log a b Log10 n = n log a n b = 1 n log a b Cambiamento di base log b N = log a N log a b log b a = 1 log a b Numeri a mantissa costante Per log ( N 10 k) = c.m, m rimane costante per ogni k intero Il cologaritmo log N = cologn 9

10 CAPITOLO 3. LOGARITMI 10

11 Capitolo 4 Trigonometria Definizioni ρ = l r = π α 180 e inversamente α = 180 ρ π Funzioni goniometriche e loro variazioni Il seno e il coseno Variazione di sin α Variazione di cos α sin 0 = sin 0 = 0 cos 0 = cos 0 = 1 sin π = sin 90 = 1 cos π = cos 90 = 0 sin π = sin 180 = 0 sin 3 π = sin 70 = 1 sin π = sin 360 = 0 cos π = cos 180 = 1 cos 3 π = cos 70 = 0 cos π = cos 360 = 1 1 sin α 1 1 cos α 1 11

12 CAPITOLO 4. TRIGONOMETRIA La tangente Variazione di tan α ( tan 0 = tan 0 = 0 π ) tan ε = tan(90 ε) = + ( π ) tan + ε = tan(90 + ε) = ( tan π ) = tan 180 = 0 3 tan π ε = tan(70 ε) = + ( ) 3 tan π + ε = tan(70 + ε) = tan π = tan 360 = 0 tan α + La cotangente Variazione di cot α cot(0 + ε) = cot(0 + ε) = + cot(0 ε) = cot(0 ε) = cot π = cot 90 = 0 cot(π ε) = cot(180 ε) = cot(π + ε) = cot(180 + ε) = + cot 3 π = cot 70 = 0 cot( π ε) = cot(360 ε) = cot( π + ε) = cot(360 + ε) = + cot α + 1

13 La secante e la cosecante Variazione di sec α Variazione di csc α sec 0 = sec 0 = 1 ( π ) sec ε = sec (90 ε) = + csc(0 ε) = csc(0 ε) = csc(0 + ε) = csc(0 + ε) = + ( π ) sec + ε = sec (90 + ε) = csc π = csc 90 = 1 sec π = sec 180 = 1 ( ) 3 sec π ε ( ) 3 sec π + ε = sec (70 ε) = = sec (70 + ε) = + sec π = sec 360 = 1 csc(π ε) = csc(180 ε) = + csc(π + ε) = csc(180 + ε) = csc 3 π = csc 70 = 1 csc( π ε) = csc(360 ε) = csc( π + ε) = csc(360 + ε) = + sec α 1 1 sec α + csc α 1 1 csc α + Relazioni fondamentali fra le sei funzioni goniometriche sin α + cos α = 1 tan α = sin α cos α cot α = cos α sin α = 1 tan α sec α = 1 cos α csc α = 1 sin α 13

14 CAPITOLO 4. TRIGONOMETRIA Valori delle funzioni goniometriche mediante una sola di esse Noto sin α cos α = ± 1 sin α tan α = sin α ± 1 sin α cot α = ± 1 sin α sin α 1 sec α = ± 1 sin α csc α = 1 sin α Noto cos α sin α = ± 1 cos α tan α = ± 1 cos α cos α cos α cot α = ± 1 cos α sec α = 1 cos α 1 csc α = ± 1 cos α Noto tan α tan α sin α = ± 1 + tan α cot α = 1 tan α sec α = ± 1 + tan α csc α = ± 1 + tan α tan α Noto cot α cot α cos α = ± 1 + cot α tan α = 1 cot α sec α = ± 1 + cot α cot α csc α = ± 1 + cot α 14

15 Archi associati 1 caso: 180 α sin(180 α) = sin α cos(180 α) = cos α tan(180 α) = tan α cot(180 α) = cot α caso: α sin(180 + α) = sin α cos(180 + α) = cos α tan(180 + α) = tan α cot(180 + α) = cot α 3 caso: α o 360 α sin( α) = sin α cos( α) = cos α tan( α) = tan α cot( α) = cot α Archi complementari 1 caso: 90 α sin(90 α) = cos α cos(90 α) = sin α tan(90 α) = cot α cot(90 α) = tan α caso: 90 + α sin(90 + α) = cos α cos(90 + α) = sin α tan(90 + α) = cot α cot(90 + α) = tan α 15

16 CAPITOLO 4. TRIGONOMETRIA Archi particolari 1 caso: 18 sin 18 = 1 4 ( 5 1) cos 18 = tan 18 = cot 18 = caso: 30 sin 30 = 1 cos 30 = tan 30 = cot 30 = 3 3 caso: 45 sin 45 = cos 45 = tan 45 = 1 cot 45 = 1 4 caso: 60 sin 60 = 3 cos 60 = 1 tan 60 = 3 cot 60 =

17 Formule di addizione e sottrazione cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tan(α ± β) = cot(α ± β) = tan α ± tan β 1 tan α tan β cot α cot β 1 cot β ± cot α Formule di duplicazione sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α = cos α 1 = 1 sin α tan α = tan α 1 tan α cot α = 1 tan α tan α Formule parametriche sin α = t 1 + t cos α = 1 t 1 + t Formule di bisezione cos α sin α tan α = ± = ± 1 + cos α 1 cos α 1 cos α = ± 1 + cos α = ±1 cos α sin α = ± sin α 1 + cos α Valori di particolari tangenti tan 15 = 3 tan 75 = + 3 tan 30 = 1 tan =

18 CAPITOLO 4. TRIGONOMETRIA Formule di prostaferesi sin p + sin q = sin p + q sin p sin q = cos p + q cos p + cos q = cos p + q cos p cos q = sin p + q cos p q sin p q cos p q sin p q sin p sin q = sin(p + q) sin(p q) cos p cos q = sin(p + q) sin(q p) Teorema fondamentale dei triangoli rettangoli b = a sin β c = a cos β b = c tan β b = c cot γ Teorema dei seni a sin α = b sin β = c sin γ = R dove R è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo. Teorema dei coseni a = c cos β + b cos γ Teorema di Carnot a = b + c b c cos α Teorema di Nepero 18 α β a b tan a + b = tan α + β

19 Formule di Briggs Nelle formule qui sotto p è il semiperimetro sin α = (p c) (p b) b c sin β = (p a) (p c) a c sin γ = (p a) (p b) a b cos α = p (p a) b c cos β = p (p b) a c cos γ = p (p c) a b tan α = (p c) (p b) p (p a) tan β = (p a) (p c) p (p b) tan γ = (p a) (p b) p (p c) Area di un triangolo Essendo p il semiperimetro: A = a c sin β A = 1 c sin α sin β sin(α + β) A = p (p a) (p b) (p c) A = p tan α tan β tan γ Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo r = (p a) tan α 19

20 CAPITOLO 4. TRIGONOMETRIA Raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo R = a b c 4 A Raggio della circonferenza exinscritta ad un triangolo r a = A p a r a = p tan α A = r r a r b r c Area di un quadrilatero mediante le sue diagonali A = 1 d 1 d sin α 0

21 Capitolo 5 Geometria Analitica 5.1 Punti e rette Punto medio di un segmento ( x + x 1 M = ; y ) + y 1 Equazione di una retta passante per un punto dato y y 0 = m (x x 0 ) Equazione di una retta passante per due punti dati Equazione segmentaria della retta x p + y q = 1 Distanza di un punto da una retta y y 1 x x 1 = y y 1 x x 1 d = a x 0 + b y 0 + c a + b Condizione di parallelismo m = m Condizione di perpendicolarità m = 1 m Il coefficiente angolare m = tan α tan φ = m m 1 + m m 1

22 CAPITOLO 5. GEOMETRIA ANALITICA Traslazione degli assi { x = X + a y = Y + b { X = x a Y = y b Rotazione degli assi { x = X cos φ Y sin φ y = X sin φ + Y cos φ { X = x cos φ + y sin φ Y = x sin φ + y cos φ 5. La circonferenza (x α) + (y β) = r α = a β = b x + y + a x + b y + c = 0 α + β c > 0 Casi particolari 1 caso: c = 0 x + y + a x + b y = 0 caso: a = 0 3 caso: b = 0 4 caso: a = 0, c = 0 5 caso: b = 0, c = 0 6 caso: a = 0, b = 0 x + y + b y + c = 0 x + y + a x + c = 0 x + y + b y = 0 x + y + a x = 0 x + y = c Formula di sdoppiamento Ricavare la tangente a una circonferenza per un punto appartenente ad essa. x 0 x + y 0 y + a x + x 0 + b y + y 0 + c = 0

23 5.3. LA PARABOLA Punti intersezione fra due circonferenze 5.3 La parabola x + y + a x + b y + c = 0 x + y + a x + b y + c = 0 y = a x 1 F (0; 4 a ) La direttrice ha per equazione y = 1 4 a x + y + a x + b y + c = 0 (a a ) x + (b b ) y + c c = 0 a > 0 a < 0 Concavità rivolta verso l alto. Concavità rivolta verso il basso. Tangente ad una parabola y + y 0 = a x 0 x Formula di sdoppiamento Parabola con il vertice su un punto V (x 0 ; y 0 ), con x 0 0; y 0 Elementi della parabola di equazione L equazione della direttrice sarà: V y = a x + b x + c ( b a ; ) ( ; F = b ) 4 a a ; 1 4 a y = a 5.4 L ellisse 5.5 L iperbole x a + y b = 1 dove a e b sono i semiassi. x a y b = 1 dove a è la distanza fra i due vertici. 3

24 CAPITOLO 5. GEOMETRIA ANALITICA 4

25 Capitolo 6 Analisi Matematica 6.1 Limiti Teorema del limite notevole sin x lim x x 0 x = 1 Limiti notevoli di Cavalieri x lim x x = x lim x x 3 = x 3 lim x x 4 = 1 4 Il numero e di Nepero Altri limiti notevoli ( lim x = e x x) log lim a (1 + x) = log x 0 x a e a x 1 lim = ln a x 0 x 5

26 CAPITOLO 6. ANALISI MATEMATICA 6

27 6.. DERIVATE 6. Derivate Rappresentazione grafica della derivata di una funzione y lim x 0 x = tan φ = m Teoremi sul calcolo delle derivate D [a f(x)] = a f (x) D [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) D [f(x) g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x) D [f 1 (x) f (x) f 3 (x)...] = f 1(x) f (x) f 3 (x)... + f 1 (x) f (x) f 3 (x)... + f 1 (x) f (x) f 3(x)... D [f(x)] n = n f (x) [f(x)] n 1 D f(x) g(x) = f (x) g(x) g (x) f(x) [g(x)] Df[g(x)] = f [g(x)] g (x) Funzioni invertibili y = f(x) x = F (y) F (y) = 1 f (x) 7

28 CAPITOLO 6. ANALISI MATEMATICA Tabella sinottica delle derivate notevoli più comuni Funzione Derivata y = C y = 0 y = x y = 1 y = x n y = n x n 1 y = x 1 y = 1 x 1 y = sin x y = cos x y = cos x y = sin x y = tan x y = 1 cos x = 1 + tan x y = cot x y = 1 sin x = 1 cot x y = e x y = e x y = a x y = a x ln a y = ln x y = 1 x y = log a x y = 1 x ln a = 1 x log a e y = arcsin x y 1 = 1 x y = arccos x y 1 = 1 x y = arctan x y = x y = arccot x y = x Teorema di Lagrange o di Cavalieri o del valor medio f(b) f(a) = (b a) f (c) Teorema di Rolle f(b) = f(a) f (c) = 0 Regola di de l Hôpital ( 0 0, ) lim f(x) g(x) = lim f (x) g (x) 8

29 6.. DERIVATE Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti f (c) > 0 y = f(x) crescente f (c) < 0 y = f(x) decrescente Massimi e minimi { f (c) = 0 f (c) < 0 { f (c) = 0 f (c) > 0 esiste un massimo esiste un minimo Concavità e convessità f (c) < 0 la funzione è convessa f (c) > 0 la funzione è concava Flessi Asintoti f (n) (c) = 0 { f (n+1) (c) > 0 flesso ascendente f (n+1) (c) < 0 flesso discendente 1. Asintoti verticali. Asintoti orizzontali x = k Equazione dell asintoto verticale con lim x k f(x) = y = l Equazione dell asintoto orizzontale con lim x f(x) = l 3. Asintoti obliqui lim f(x) = x f(x) m = lim x x q = lim [f(x) m x] x Riassumendo Per studiare una funzione si trova: 1. Campo di esistenza: tutti i valori di x tranne quelli che annullano il denominatore;. Asintoti: verticali, orizzontali, obliqui; 3. Intersezioni con gli assi; 4. Positività della funzione: si pone y > 0 e si trovano le x; 5. Crescenza, decrescenza, massimi, minimi e flessi; 6. Concavità e convessità. 9

30 CAPITOLO 6. ANALISI MATEMATICA Serie di Taylor f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) 1! Sviluppi notevoli di Mac Laurin e x = sin x = cos x = (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + =! n x k k! = 1 + x + x! + n ( 1) k x k+1 (k + 1)! = x x3 3! + n ( 1) k xk (k)! = 1 x! + x4 4! + k=0 k=0 k=0 1 n 1 x = x k. k=0 n x = ( 1) k x k. ln(1 + x) = k=0 n ( 1) k=1 (1 + x) α = 1 + arctan x = n k=1 n ( 1) k k=0 arcsin x = x + n k=1 k+1 xk arccos x = π x n sinh x = cosh x = n k=0 n k=0 arcsinh x = x + k. α(α 1) (α k + 1) k! xk+1 k + 1. (k 1)!! (k)!!(k + 1) xk+1. k=1 x k+1 (k + 1)!. x k (k)!. (k 1)!! (k)!!(k + 1) xk+1. n ( 1) k (k 1)!! (k)!!(k + 1) xk+1. k=1 n k=0 x k = 1 + f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! n k=1 ( ) α x k. k 30

31 6.3. INTEGRALI 6.3 Integrali f 1 (x) + k f(x) dx = k f(x) dx f (x) +... = [f 1 (x) + f (x) +...] dx Integrazione per parti u (x) v(x) dx = u(x) v(x) u(x) v (x) dx Integrali notevoli 1. x n dx = xn+1 n C. dx = x + C 3. ln x dx = x ln x x + C dx = ln x + C x cos x dx = sin x + C sin x dx = cos x + C dx = tan x + C dx = cot x + C e x dx = e x + C f (x) dx = ln f(x) + C f(x) cos x cot x dx = dx = ln sin x + C sin x sin x tan x dx = dx = ln cos x + C cos x [f(x)] n f (x) dx = [f(x)]n+1 + C n + 1 f (x) sin f(x) dx = cos f(x) + C f (x) cos f(x) dx = sin f(x) + C f (x) sin dx = cot f(x) + C f(x) f (x) cos dx = tan f(x) + C f(x) 31

32 CAPITOLO 6. ANALISI MATEMATICA dx = arcsin x + C 1 x 1 dx = arctan x + C 1 + x Integrali definiti a a f(x) dx = 0 b a b a f(x) dx = Volume di un solido di rotazione 6.4 Integrali avanzati Integrali vettoriali v ˆn ds = S chiusa v d l = l l S τ v dτ v ˆn ds f(x) dx = c a V (x) = π P (x, y) dx + Q(x, y) dy = a b f(x) dx + b a f(x) dx b c [f(x)] dx f(x) dx (Teorema di Gauss o della divergenza) S (Teorema di Stokes o del rotore) ( Q x P ) ds y (Teorema di Green) Integrale di Gauss Trasformata di Fourier + e a x = F (ω) = F[f(t)] = R π a f(t) e iωt dt Antitrasformata di Fourier f(t) = F 1 [F (ω)] = F (ω) e iωt dω R 3

33 6.4. INTEGRALI AVANZATI Trasformate di Fourier notevoli g(t) = f(t a) G(ω) = e iωa F (ω) g(t) = e iω0t G(ω) = F (ω ω 0 ) g(t) = f(a t) G(ω) = 1 ( ω ) a F a g(t) = t f(t) G(ω) = i df (ω) dω g(t) = f (t) G(ω) = i ω F (ω) f(t) = t F (ω) = π e ω f(t) = 1 a + t f(t) = e t F (ω) = F (ω) = π a e a ω 1 + ω f(t) = e a t F (ω) = a a + ω f(t) = e t F (ω) = π e ω 4 π f(t) = e at, a > 0 F (ω) = a e ω 4a f(t) = χ [ a,a] (t) f(t) = (a + t) χ [ a,0] (t) + (a t) χ [0,a] (t) F (ω) = sin a ω ω F (ω) = 1 cos a ω ω f(t) = sin a t t, a > 0 F (ω) = π (a + ω ) χ [ a,0](ω) + π (a ω ) χ [0,a](ω) f(t) = χ [ a,0] (t) + χ [0,a] (t), a > 0 F (ω) = i 1 cos a ω ω f(t) = 1 (a + t ) (b + t ), a b F (ω) = π (b 1 e b ω a 1 e a ω ) a b 1 f(t) = (a + t ) F (ω) = π (a ω + 1) e a ω a3 f(t) = 1 a 4 + t 4 f(t) = sin t t e t F (ω) = arctan ω F (ω) = π ( π a 3 e a ω / sin 4 + a ω ) h(t) = f(t) g(t) H(ω) = F (ω) G(ω) h(t) = f(t) g(t) F (ω) = 1 F (ω) G(ω) π 33

34 CAPITOLO 6. ANALISI MATEMATICA 34

35 Capitolo 7 Operazioni vettoriali ( a b) c = ( b c) a = ( c a) b ( a b) c = ( a c) b ( b c) a ( a b) ( c d) = ( a c) ( b d) ( a d) ( b c) ( a b) ( c d) = [( a b) d] c [( a b) c] d L operatore (Nabla) = x î + y ĵ + z ˆk Il Gradiente di una funzione f = f x î + f y ĵ + f z ˆk La Divergenza di un vettore Il Rotore di un vettore î ĵ ˆk v = x y z = v x v y v z v x v = x + v y y + v z z ( vz y v ) ( y vx î + z z v ) ( z vy ĵ + x x v ) x ˆk y 35

36 CAPITOLO 7. OPERAZIONI VETTORIALI Proprietà del (f + g) = f + g (fg) = f g + g f ( a b) = ( a ) b + ( b ) a + a ( b) + b ( a) ( a ) b = ( a b x )î + ( a b y )ĵ + ( a b z )ˆk (f a) = a f + f a ( a b) = b ( a) a ( b) (f a) = f ( a) + f a ( a b) = ( b) a ( a) b ( a ) b + ( b ) a f = 0 v = 0 Il Laplaciano f = f = f x + f y + f z Il Laplaciano vettoriale v = v = v x î + v y ĵ + v zˆk v = v v La Derivata direzionale f n = ( f) ˆn 36