ANALISI MATEMATICA PROVA SCRITTA. Libri, appunti e calcolatrici non ammessi

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1 Nome, Cognome... Matricola... ANALISI MATMATICA PROVA SCRITTA CORSO DI LAURA IN INGGNRIA MCCANICA A.A. 6/7 Libri, appunti e calcolatrici non ammessi Prima parte - Lo studente scriva solo la risposta, direttamente su questo foglio. - La seconda parte verrà corretta esclusivamente nel caso che lo studente risponda correttamente ad almeno 5 domande su della prima parte. - Ogni esercizio vale punti, in caso di risposta corretta. sercizio. Si calcoli la lunghezza della curva grafico di f(x) x [, ]. L sercizio. Si calcoli il seguente limite f (x) + dx x dx sin n lim n n ( x x ln ( x + x )) per [ x ] + [ x ] sercizio 3. Dire per quale a R il seguente campo vettoriale è conservativo su R. ( x e x +y + (a π) e y, y e x +y ) a ± π sercizio 4. Dire per quali α R l integrale seguente risulta convergente ( ) tan x α dx α > sercizio 5. Si trovi l insieme dei punti critici C della funzione f(x, y) e y x (x + y). Sicuramente i punti della retta x sono critici perché soddisfano il sistema f x e y x(3x + y), f y e y x ( + x + y). Per vedere se ci sono altri punti critici, assumiamo x e risolviamo il sistema 3x + y, x, + x + y, y 3. Dunque anche (, 3) è un punto critico. In conclusione C (} R) (, 3)}. sercizio 6. Si calcoli il limite seguente sin lim x + ( ) x x log + x6 x 6 6

2 CORSO DI LAURA IN INGGNRIA MCCANICA A.A. 6/7 sercizio 7. Dire quali tra i seguenti sottoinsiemi di R rappresentano una curva regolare (x, y) R : e y x (x + y) }, (x, y) R : x y + } y +, (x, y) R : x + y }. Pongo f(x, y) e y x (x + y) ed osservo che per l esercizio 5 f x, (x, y) (} R) (, 3)}. f y, Siccome f(, y) 4/e 3 f(, 3), la prima curva è regolare. Pongo f(x, y) x y+ y+ ed osservo che fx y y+, f y x (x, y) (, ). (y+), Siccome f(, ), la seconda curva non è regolare. Pongo f(x, y) x + y ed osservo che essa non è C nei punti (±, ), (, ±) che appartengono alla curva f(x, y), dunque la terza curva non è regolare. sercizio 8. Dire quali tra le seguenti serie numeriche risultano convergenti n n n + log n n n! n n sercizio 9. Si scriva l equazione del piano tangente al grafico della funzione f(x, y) x+ y + nel punto (,, ). z x + y + sercizio. Si trovi una primitiva F della funzione f(x) cos x + sin x. F (x) x n n

3 Seconda parte Lo studente scriva lo svolgimento di ogni esercizio su un foglio a parte. In questa parte non verranno ritenute valide risposte corrette, ma prive di giustificazione. sercizio (7 punti). Sia (x, y) R : x + 4 y }. Si calcolino gli integrali doppi x dx dy e y dx dy. Svolgimento. Si osservi innanzitutto che l insieme rappresenta un ellisse, avente semiassi di lunghezza (semiasse orizzontale) e / (semiasse verticale). Chiamiano (x, y) : x } e (x, y) : y }, allora si osserva che per simmetria si ha x dx dy x dx dy e y dx dy y dx dy. I due integrali da calcolare sono del tutto simili, limitiamoci a calcolare il primo. Si ha x x dx dy x dy dx x x dx x xsin t π π π π π sin t sin t cos t dt sin t cos t cos t dt sin t cos t dt (sin( t)) dt 4 cos(4 t) dt 8 [ t sin(4 t) 8 3 In conclusione si ottiene x dx dy x dx dy π 8. Il calcolo del secondo integrale è del tutto similie. ] π π 6. sercizio (7 punti). Verificare il teorema di Gauss per il campo vettoriale F (x, y, z) (x 3, y 3, ) e la regione Ω (x, y, z) R 3 : x + y, z }.

4 4 CORSO DI LAURA IN INGGNRIA MCCANICA A.A. 6/7 Svolgimento. Verifico la formula di Gauss (***) divf dx dy dz Ω F n dσ, dove b è il versore uscente. Osservo che Ω è il cilindro definito da x + y delimitato dai piani z e z, mentre x + y, z } è formato dalla superficie laterale del cilindro, unito ai due tappi. Calcoliamo l integrale a sinistra nella (***). Osservo che divf 3x + 3y. Per calcolare tale integrale, utilizziamo le coordinate cilindriche: x(ρ, θ, t) ρ cos θ, y(ρ, θ, t) ρ sin θ, z(ρ, θ, t) t. Lo jacobiano di tale cambio di coordinate è dato da: cos θ sin θ J(ρ, θ, t) det ρ sin θ ρ cos θ a ρ e la regione Ω nelle nuove coordinate è descritta dalle relazioni ρ [, ], θ [, π], t [, ]. Pertanto, l integrale triplo cercato è dato da π ( ) divf dx dy dz (3ρ cos θ + 3ρ sin θ)ρ dt dθ dρ 6π 4 ρ4 3 π. Ω Per calcolare il termine a destra nella (***), osserviamo che (****) F n dσ F n dσ + F n dσ + F n 3 dσ, S S S 3 dove n i sono i versori normali uscenti alle superfici S i, i,, 3, superfici definite rispettivamente da: x + y, z ; x + y, z ; x + y, z. Parametrizzo la superficie S x(θ, t) cos θ, Φ(θ, t) y(θ, t) sin θ, z(θ, t) t, θ [, π], t [, ]. La direzione normale a tale superficie è quella del vettore Φ θ Φ t, dove Φ θ ( sin θ, cos θ, ), Φ t (,, ). Pertanto i j k Φ θ Φ t det sin θ cos θ (cos θ, sin θ, ). Poiché la normale alla superficie deve essere orientata verso l esterno, il versore normale cercato è dato da (cos θ, sin θ, ). Φ θ Φ t Quindi, l integrale di superficie cercato è dato da π F n dσ (cos 3 θ, sin 3 θ, ) (cos θ, sin θ, ) dθ dt S π (cos 4 θ + sin 4 θ + ) dθ dt 3 π

5 avendo calcolato (per parti) gli integrali π cos 4 θ dθ Parametrizzo la superficie S x(θ, t) ρ cos θ, Φ(ρ, θ) y(θ, t) ρ sin θ, z(θ, t), CORRZION 5 π sin 4 θ dθ 3 4 π. θ [, π], ρ [, ]. La direzione normale a tale superficie è (,, ). Calcoliamo Φ θ Φ θ : Φ θ ( ρ sin θ, ρ cos θ, ), Φ ρ (cos θ, sin θ, ), pertanto i j k Φ ρ Φ θ det cos θ sin θ (,, ρ) ρ sin θ ρ cos θ e quindi Φ θ Φ θ ρ. Quindi, l integrale di superficie cercato è dato da π π F n dσ (ρ 3 cos 3 θ, ρ 3 sin 3 θ, ) (,, )ρ dθ dρ S ρ dθ dρ π. Parametrizzo la superficie S 3 x(θ, t) ρ cos θ, Φ(ρ, θ) y(θ, t) ρ sin θ, θ [, π], ρ [, ]. z(θ, t), La direzione normale a tale superficie è (,, ). Calcoliamo Φ θ Φ θ : Φ θ ( ρ sin θ, ρ cos θ, ), Φ ρ (cos θ, sin θ, ), pertanto i j k Φ ρ Φ θ det cos θ sin θ (,, ρ) ρ sin θ ρ cos θ e quindi Φ θ Φ θ ρ. Quindi, l integrale di superficie cercato è dato da π F n 3 dσ (ρ 3 cos 3 θ, ρ 3 sin 3 θ, ) (,, )ρ dθ dρ S Sostituendo i tre valori nella (****) si ha F n dσ 3 π π + π 3 π e pertanto la formula di Gauss è verificata. π ρ dθ dρ π.