Tema di Analisi I, 2 modulo, 07/02/2011

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1 Tema di Analisi I 2 modulo 07/02/20 ( ) Università di Udine Sede di Pordenone Esercizio Sono dati i punti P = (3 0 2) e Q = ( 4 0) e il piano α di equazione 3+2y+z = 0 Si chiede: di trovare l equazione in forma parametrica dell asse r del segmento P Q appartenente al piano α Il punto medio del segmento P Q è: M = (2 2 ) Questo punto appartiene al piano α Il vettore P Q ha componenti: ( 4 ) Il piano perpendicolare al segmento P Q e passante per M ha equazione: ( 2) + 4(y 2) 2(z ) = 0 ovvero 2y + z + = 0 L equazione cartesiana della retta r è allora { 2y + z + = y + z 3 = 0 Un vettore direttore della retta r si può trovare come prodotto vettoriale del due vettori normali ai due piani che individuano la retta r Si ottiene dopo semplificazione: v r = ( 4) L equazione parametrica () della retta r è allora: = 2 2t y = 2 + t z = + 4t 2 Di trovare l equazione in forma cartesiana dell asse s del segmento P Q perpendicolare a r Un vettore direttore v s di s si può ottenere come prodotto vettoriale di v r e del vettore P Q Dopo opportuna semplificazione si ottiene v s = (3 2 ) Le equazioni parametrica e cartesiana della retta s sono dunque: = 2 + 3t { 3z + = 0 y = 2 + 2t y 2z = 0 z = + t Esercizio 2 Data la funzione definita da f(t) = t + t + + t R si consideri la funzione integrale di punto iniziale definita da Si chiede: f(t) dt Naturalmente c erano anche altri modi per passare dall equazione cartesiana a quella parametrica

2 Analisi I 2 modulo - Soluzione del tema del 07/02/20 2 senza calcolare esplicitamente l integrale di dire se F () è derivabile due volte in tutto R e in caso affermativo di calcolare F () Poiché la funzione f è continua su tutto R la funzione F è derivabile su tutto R con derivata continua e data da F () = L unico possibile punto di non derivabilità per F è Applichiamo la definizione di derivata: F () F () lim = lim Di trovare l insieme di tutte le primitive di f(t) Poiché la funzione f è continua su tutto R (che è un intervallo) basta trovare una primitiva e poi aggiungere una costante Una primitiva è la funzione integrale F sopra considerata Si ha: ovvero f(t) dt = t + t + 2 t + t dt = t ln(t + 2) dt = t ln t { ln( + 2) + se ln( ) se < = se se < Esercizio 3 Sono dati la funzione f( y) = 2 y + cos y π + il punto P 0 = (0 0) e il vettore v = (2 ) Si chiede: di trovare usando la definizione la derivata di f( y) nel punto P 0 secondo la direzione orientata individuata dal vettore v Il versore u di v è u = ( 2 ) L equazione della retta di versore direttore u per P 0 è allora = 2 t y = t La funzione g(t) = f((t) y(t)) è data da g(t) = 4 t2 t + 2 t cos t π + La derivata in 0 fornisce il valore cercato della derivata direzionale: u (0 0) = g (0) = 2 2 Detto u il versore di v di verificare che vale la formula (0 0) = (f)(0 0) u u Il calcolo delle due derivate parziali nell origine è immediato e fornisce f(0 0) = ( 0) Questo basta per concludere che vale la formula indicata www batmath it

3 Analisi I 2 modulo - Soluzione del tema del 07/02/20 3 Esercizio Sono dati i punti P = ( 2 4) e Q = ( 3 6 2) e il piano α di equazione 3 + 2y + z = 0 Si chiede: di trovare l equazione in forma parametrica dell asse r del segmento P Q appartenente al piano α Il punto medio del segmento P Q è: M = ( 4 3) Questo punto appartiene al piano α Il vettore P Q ha componenti: ( 4 ) Il piano perpendicolare al segmento P Q e passante per M ha equazione: ( + 2) + 4(y 4) 2(z 3) = 0 ovvero 2y + z + = 0 L equazione cartesiana della retta r è allora { 2y + z + 7 = y + z = 0 Un vettore direttore della retta r si può trovare come prodotto vettoriale del due vettori normali ai due piani che individuano la retta r Si ottiene dopo semplificazione: v r = ( 4) L equazione parametrica (2) della retta r è allora: = 2t y = 4 + t z = 3 + 4t 2 Di trovare l equazione in forma cartesiana dell asse s del segmento P Q perpendicolare a r Un vettore direttore v s di s si può ottenere come prodotto vettoriale di v r e del vettore P Q Dopo opportuna semplificazione si ottiene v s = (3 2 ) Le equazioni parametrica e cartesiana della retta s sono dunque: = + 3t { 3z + = 0 y = 4 + 2t y 2z + 2 = 0 z = 3 + t Esercizio 2 Data la funzione definita da f(t) = t t + 2 t R si consideri la funzione integrale di punto iniziale definita da f(t) dt Si chiede: senza calcolare esplicitamente l integrale di dire se F () è derivabile due volte in tutto R e in caso affermativo di calcolare F () Poiché la funzione f è continua su tutto R la funzione F è derivabile su tutto R con derivata continua e data da F () = + 2 L unico possibile punto di non derivabilità per F è Applichiamo la definizione di derivata: F () F () lim = lim 2 Di trovare l insieme di tutte le primitive di f(t) = 2 2 Naturalmente c erano anche altri modi per passare dall equazione cartesiana a quella parametrica www batmath it

4 Analisi I 2 modulo - Soluzione del tema del 07/02/20 4 Poiché la funzione f è continua su tutto R (che è un intervallo) basta trovare una primitiva e poi aggiungere una costante Una primitiva è la funzione integrale F sopra considerata Si ha: t dt = t 2 ln(t + ) t + se f(t) dt = t dt = t 2 ln t 3 t + 3 se < ovvero { 2 ln( + ) + 2 ln 2 se 2 ln ln 2 se < Esercizio 3 Sono dati la funzione f( y) = y 2 + y cos π + il punto P 0 = (0 π) e il vettore v = ( 2) Si chiede: di trovare usando la definizione la derivata di f( y) nel punto P 0 secondo la direzione orientata individuata dal vettore v Il versore u di v è u = ( ) 2 L equazione della retta di versore direttore u per P 0 è allora = t y = π + 2 t La funzione g(t) = f((t) y(t)) è data da g(t) = ( t π ( t) + π + 2 ) t cos t π + La derivata in 0 fornisce il valore cercato della derivata direzionale: u (0 π) = g (0) = π Detto u il versore di v di verificare che vale la formula (0 π) = (f)(0 π) u u Il calcolo delle due derivate parziali nell origine è immediato e fornisce f(0 π) = (π 2 ) Questo basta per concludere che vale la formula indicata www batmath it

5 Analisi I 2 modulo - Soluzione del tema del 07/02/20 Esercizio Sono dati i punti P = ( 6) e Q = ( 2 4) e il piano α di equazione 3 + 2y + z = 0 Si chiede: di trovare l equazione in forma parametrica dell asse r del segmento P Q appartenente al piano α Il punto medio del segmento P Q è: M = (0 0 ) Questo punto appartiene al piano α Il vettore P Q ha componenti: ( 4 ) Il piano perpendicolare al segmento P Q e passante per M ha equazione: ( 0) + 4(y 0) 2(z ) = 0 ovvero 2y + z = 0 L equazione cartesiana della retta r è allora { 2y + z = y + z = 0 Un vettore direttore della retta r si può trovare come prodotto vettoriale del due vettori normali ai due piani che individuano la retta r Si ottiene dopo semplificazione: v r = ( 4) L equazione parametrica (3) della retta r è allora: = t y = t z = + 4t 2 Di trovare l equazione in forma cartesiana dell asse s del segmento P Q perpendicolare a r Un vettore direttore v s di s si può ottenere come prodotto vettoriale di v r e del vettore P Q Dopo opportuna semplificazione si ottiene v s = (3 2 ) Le equazioni parametrica e cartesiana della retta s sono dunque: = 3t { 3z + = 0 y = 2t y 2z + 0 = 0 z = + t Esercizio 2 Data la funzione definita da f(t) = t + 2 t t R si consideri la funzione integrale di punto iniziale definita da f(t) dt Si chiede: senza calcolare esplicitamente l integrale di dire se F () è derivabile due volte in tutto R e in caso affermativo di calcolare F () Poiché la funzione f è continua su tutto R la funzione F è derivabile su tutto R con derivata continua e data da F () = L unico possibile punto di non derivabilità per F è Applichiamo la definizione di derivata: F () F () lim = lim Di trovare l insieme di tutte le primitive di f(t) = 3 Naturalmente c erano anche altri modi per passare dall equazione cartesiana a quella parametrica www batmath it

6 Analisi I 2 modulo - Soluzione del tema del 07/02/20 6 Poiché la funzione f è continua su tutto R (che è un intervallo) basta trovare una primitiva e poi aggiungere una costante Una primitiva è la funzione integrale F sopra considerata Si ha: t + 2 dt = t ln(t + 3) t + 3 se f(t) dt = t + 2 dt = t ln t + t se < ovvero { ln( + 3) + 2 se ln + 2 se < Esercizio 3 Sono dati la funzione f( y) = y 2 y cos + π + 3 il punto P 0 = (0 π) e il vettore v = ( 2) Si chiede: di trovare usando la definizione la derivata di f( y) nel punto P 0 secondo la direzione orientata individuata dal vettore v Il versore u di v è u = ( ) 2 L equazione della retta di versore direttore u per P 0 è allora = t y = π + 2 t La funzione g(t) = f((t) y(t)) è data da g(t) = ( 2 2 ( ) ( 2 t t + π) t + π cos ) t + π + 3 La derivata in 0 fornisce il valore cercato della derivata direzionale: u (0 π) = g (0) = π2 2 2 Detto u il versore di v di verificare che vale la formula (0 π) = (f)(0 π) u u Il calcolo delle due derivate parziali nell origine è immediato e fornisce f(0 π) = (π 2 ) Questo basta per concludere che vale la formula indicata www batmath it