Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche I 15 gennaio 2004

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1 Esame di Istituzioni di Matematiche I 5 gennaio 2004 Monaco 02BJVa W De ngelis 02BJVb W Pieraccini 0BJU Biglio 03BJV Esame completo Prova intermedia Teoria: teoremi sulle funzioni continue. Esercizio. Dato il punto = (2,, 3) e il vettore u = (2,, 3): a) determinare la retta passante per e parallela ad u; b) determinare per quale valore di α tale retta risulta parallela al piano 5x+4y+αz+2 = 0. Esercizio 2. Dati i vettori u = i + 3j k e v = 2i 2j + 3k: a) calcolare il vettore w = (u v) v; b) determinare il versore di w. Esercizio 3. Determinare, al variare del parametro k R, il numero di soluzioni del sistema { x + kx 2 + 3x 3 = 0 x 2x 2 + kx 3 = 0 x + 2x 2 x 3 = 0 Esercizio 4. Calcolare la matrice ( 2B) con = 2 3 e B = 2. 2 e x x + Esercizio 5. Calcolare il seguente limite: lim x 0 x 2. x 2 Esercizio 6. Determinare il dominio della funzione f(x) =. x Esercizio 7. Studiare gli intervalli di monotonia e di concavità/convessità della funzione f(x) = x 3 3x 2 x + 3. Esercizio 8. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = e x x + nel punto di ascissa x = 0. Esercizio 9. Calcolare x 3 dx

2 mediante la sostituzione y = x 3. Esercizio 0. Determinare l area della figura piana individuata nel quarto quadrante di un sistema cartesiano dalle curve di equazione y = x 2, y = e x = 3. Esame di Istituzioni di Matematiche I 5 gennaio 2004 B Monaco 02BJVa W De ngelis 02BJVb W Pieraccini 0BJU Biglio 03BJV Esame completo Prova intermedia Teoria: teoremi sulle funzioni continue. Esercizio. Dato il punto = (,, 3) e il vettore u = (3,, ): a) determinare la retta passante per e parallela ad u; b) determinare per quale valore di α tale retta risulta parallela al piano 2x 3y 3αz 2 = 0. Esercizio 2. Dati i vettori u = i + 3j k e v = 2i 2j + 3k: a) calcolare il vettore w = (v u) u; b) determinare il versore di w. Esercizio 3. Determinare, al variare del parametro k R, il numero di soluzioni del sistema { 2x + kx 2 + x 3 = 0 2x x 2 + kx 3 = 0 2x + x 2 x 3 = 0 Esercizio 4. Calcolare la matrice (2 + B) con = 2 3 e B = 2. 2 log (x + ) x Esercizio 5. Calcolare il seguente limite: lim x 0 x 2. x 3 Esercizio 6. Determinare il dominio della funzione f(x) =. x Esercizio 7. Studiare gli intervalli di monotonia e di concavità/convessità della funzione f(x) = x 3 + 2x 2 3x +. Esercizio 8. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = cos x e x

3 nel punto di ascissa x = 0. Esercizio 9. Calcolare x 3 dx mediante la sostituzione y = x 3. Esercizio 0. Determinare l area della figura piana individuata nel quarto quadrante di un sistema cartesiano dalle curve di equazione y = x 2, y = e x = 3. Esame di Istituzioni di Matematiche I 22 gennaio 2004 Monaco 02BJVa W De ngelis 02BJVb W Pieraccini 0BJU Biglio 03BJV Esame completo Prova intermedia Teoria: teoremi sulle funzioni derivabili. Esercizio. Dato il punto = (3, 2, ) e il vettore u = (,, 3): a) determinare il piano passante per e perpendicolare ad u; b) determinare per quale valore di α tale piano risulta parallelo alla retta di equazione { x = 2 2t y = + 2t. z = 3 + αt Esercizio 2. Dati i punti = (2,, 2), B = (, 3, ) e C = (, 2, ), a) determinare i vettori B e C; b) determinare se l angolo tra i due vettori è maggiore o minore di π 2. Esercizio 3. Determinare, al variare del parametro k R, il numero di soluzioni del sistema { 2x 3x 2 = x + 5x 2 = k 3x 2x 2 = 3 Esercizio 4. Data la matrice =, 4 λ a) determinare per quale valore di λ non è invertibile; b) calcolare per λ =.

4 Esercizio 5. Calcolare la derivata della seguente funzione: B. Esercizio 6. Data la funzione f(x) = f(x) = log x 3 e sin x log x, a) determinarne il dominio ; b) calcolarne i limiti agli estremi del dominio. Esercizio 7. Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo della funzione f(x) = (x 2 3) e x. Esercizio 8. Determinare il polinomio di Taylor del secondo ordine della funzione f(x) = sin x e x nel punto x = π 2. Esercizio 9. Calcolare l integrale indefinito x 5 ( + x 4 5 ) dx mediante la sostituzione y = x 4 5. Esercizio 0. Calcolare l area della regione di piano individuata dalla curva di equazione y = 4 x e dalla retta y = 5 x. Esame di Istituzioni di Matematiche I 22 gennaio 2004 Monaco 02BJVa W De ngelis 02BJVb W Pieraccini 0BJU Biglio 03BJV Esame completo Prova intermedia Teoria: teoremi sulle funzioni derivabili.

5 Esercizio. Dato il punto = (2,, ) e il vettore u = (2, 2, ): a) determinare il piano passante per e perpendicolare ad u; b) determinare per quale valore di α tale piano risulta parallelo alla retta di equazione { x = 6t y = 2 + 6t. z = 3 + αt Esercizio 2. Dati i punti = (,, 2), B = (, 3, 4) e C = (2, 3, ), a) determinare i vettori B e C; b) determinare se l angolo tra i due vettori è maggiore o minore di π 2. Esercizio 3. Determinare, al variare del parametro k R, il numero di soluzioni del sistema { 4x x 2 = k x 5x 2 = 6 x + 2x 2 = 3 3 Esercizio 4. Data la matrice =, 5 λ a) determinare per quale valore di λ non è invertibile; b) calcolare per λ = 2. Esercizio 5. Calcolare la derivata della seguente funzione: f(x) = e x log x 2. Esercizio 6. Data la funzione f(x) = e x, a) determinarne il dominio ; b) calcolarne i limiti agli estremi del dominio. Esercizio 7. Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo della funzione f(x) = x2 8 e x. Esercizio 8. Determinare il polinomio di Taylor del secondo ordine della funzione nel punto x = 0. Esercizio 9. Calcolare l integrale indefinito f(x) = cos x e x x 5 ( + x 4 5 ) dx

6 mediante la sostituzione y = x 4 5. Esercizio 0. Calcolare l area della regione di piano individuata dalla curva di equazione y = 4 x e dalla retta y = 5 x. Esame di Istituzioni di Matematiche I 5 febbraio 2004 Monaco 02BJVa W De ngelis 02BJVb W Pieraccini 0BJU Biglio 03BJV Esame completo Prova intermedia Teoria. La formula di Taylor. Esercizio. Scrivere l equazione del piano π passante per i punti P 0 (, 2, 0), P (2, 0, 3) e P 2 (0,, 0). Esercizio 2. Dati i vettori u = ( 2, α, 8) e v = (, 2, α), a) determinare i valori di α per cui u e v sono perpendicolari; b) determinare i valori di α per cui u e v sono paralleli. Esercizio 3. Determinare, al variare di k R, il numero delle soluzioni del sistema { x + ky + z = 3 x y 2z = 0 3x y = 6. Esercizio 4. Si considerino le matrici = 0 3, B = ( determinare la matrice C = B 4I dove I è la matrice identità di ordine 3. Esercizio 5. Data la funzione f(x) = log(2x + ) x 2 + 5, scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa x = 0. ) ;

7 B g(x) = sin x cos x, con x [0, 2π], a) determinarne il dominio; b) determinarne i limiti agli estremi del dominio. Esercizio 7. Determinare la natura dei punti critici della funzione f(x) = (x 2 + )e x. Esercizio 8. Scrivere il polinomio di Taylor di ordine due centrato nel punto x 0 = π 2 per la funzione f(x) = x cos 2 x. Esercizio 9. Calcolare dx e x + mediante la sostituzione x = log y. Esercizio 0. Calcolare l area della regione finita di piano compresa tra le parabole di equazione y = x 2 + 4x e y = 8x 2x 2. Esame di Istituzioni di Matematiche I 5 febbraio 2004 Monaco 02BJVa W De ngelis 02BJVb W Pieraccini 0BJU Biglio 03BJV Esame completo Prova intermedia Teoria La formula di Taylor. Esercizio. Scrivere l equazione del piano π passante per i punti Q 0 (, 0, ), Q (2, 2, 0) e Q 2 (0, 3, 2). Risposta 5x 4y 7z + 2 = 0 Esercizio 2. Dati i vettori u = (α,, 2) e v = (, α, 2), a) determinare i valori di α per cui u e v sono perpendicolari; b) determinare i valori di α per cui u e v sono paralleli.

8 Risposta a)α = 2 b)α = B Esercizio 3. Determinare, al variare di k R, il numero delle soluzioni del sistema { x + y + 3z = 2 kx y z = x 2y = 0. Risposta Nessuna soluzione Esercizio 4. Si considerino le matrici = ( ) , B = 0 2 ; 0 3 determinare la matrice ( C ) = B 3I dove I è la matrice identità di ordine Risposta C = 6 Esercizio 5. Data la funzione f(x) = 4 x 2 + log(3x + ), scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa x = 0. Risposta y = 3x Esercizio 6. Data la funzione g(x) = cos x sin x, con x [0, 2π], a) determinarne il dominio; b) determinarne i limiti agli estremi del dominio. Risposta a) 0 < x < π 2 b) lim x 0 g(x) = lim x π 2 g(x) = 0 Esercizio 7. Determinare la natura dei punti critici della funzione Risposta Ho un flesso in x = 2 f(x) = (x 2 2x + 2)e x. Esercizio 8. Scrivere il polinomio di Taylor di ordine due centrato nel punto x 0 = π 2 per la funzione f(x) = x sin 2 x.

9 Risposta P 2 = π 2 + (x π 2 ) π 2 (x π 2 )2 + o((x π 2 )2 ) Esercizio 9. Calcolare mediante la sostituzione x = log y. Risposta dx e x + Esercizio 0. Calcolare l area della regione finita di piano compresa tra le parabole di equazione y = x 2 + 4x e y = 8x 2x 2. Risposta Esame di Istituzioni di Matematiche I 5 aprile 2004 Monaco 02BJVa W De ngelis 02BJVb W Pieraccini 0BJU Biglio 03BJV Esame completo Prova intermedia Teoria. Il Teorema di Lagrange. Esercizio. Sia π il piano di equazione 2x 3 y + 5z 4 = 0. Scrivere l equazione della 4 retta r perpendicolare a π e passante per il punto P (0, 4, 3). Risposta { x = 2t y = t z = 3 + 5t Esercizio 2. Dire per quali valori di α i vettori u = (3,, 0) v = ( 2, 2, ) e w = (4, α, 3) sono complanari. Risposta α = 6 3 Esercizio 3. Si consideri la matrice = k 3 ; 2

10 a) determinare per quale valore di k la matrice NON è invertibile; b) posto k = 8 determinare la matrice ( inversa ). 2 3 Risposta a) k = 3 2 b) = 39 8 B Esercizio 4. Determinare, al variare di h R, il numero delle soluzioni del sistema { 2x + hy + 2z = h 4x 4y + 4z = 3. Risposta Per h = 2 non ho soluzioni, per h = 3 2 ho soluzioni. Esercizio 5. Data la funzione f(x) = 2 x x + 3 e2x a) determinarne il dominio; b) determinarne i limiti agli estremi del dominio. Risposta a) x 3 b) lim x f(x) = 0, lim x 3 f(x) =, lim x + f(x) =, Esercizio 6.Determinare il dominio e calcolare la derivata prima della funzione g(x) = x 3 e 2+x x 2. Risposta Dominio: 3 x 4 g (x) = e ) 2+x x (3x 2 2 2x x x 2 Esercizio 7. Trovare gli intervalli di monotonia e le coordinate degli eventuali punti di massimo/minimo della funzione h(x) = 3x log 3x. Risposta (0, e 3 ) decrescente, ( e 3, + ) crescente. x = e 3 un punto di minimo. Esercizio 8. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = arctan(x 2 2x) + log (2x + 2) nel punto (0, f(0)). Risposta y = log2 x Esercizio 9. Calcolare x( + x) dx mediante la sostituzione y = x. Risposta I = 2 ln( + x)

11 Esercizio 0. Calcolare l area della regione di piano individuata dalle curve y = x(x + ) e y = x(x + ). Risposta L area vale 3 B Esame di Istituzioni di Matematiche I 5 aprile 2004 Monaco 02BJVa W De ngelis 02BJVb W Pieraccini 0BJU Biglio 03BJV Esame completo Prova intermedia Teoria Il Teorema di Lagrange. Esercizio. Sia π il piano di equazione 3x 3 y 5z + 4 = 0. Scrivere l equazione della 4 retta r perpendicolare a π e passante per il punto P ( 4, 0, 3). Risposta r = { x = 4 + 3t y = 3 4 t z = 3 5t Esercizio 2. Dire per quali valori di α i vettori u = (, 0, 3) v = ( 2,, 2) e w = ( 3, 4, α) sono complanari. Risposta α = 7 Esercizio 3. Si consideri la matrice = 2 k ; 3 a) determinare per quali valori di k la matrice è invertibile; b) posto k = 7 determinare la matrice ( inversa ). 7 Risposta a) k 3 2 b) =

12 Esercizio 4. Determinare, al variare di h R, il numero delle soluzioni del sistema { hx + 2y 2z = h 6x 6y + 6z = 5. Risposta h = 2 non ho soluzioni, per h = 5 3 ho soluzioni Esercizio 5. Data la funzione f(x) = x 7 x + 5 e 3x a) determinarne il dominio; b) determinarne i limiti agli estremi del dominio. Risposta a) x 5 b) lim x f(x) = +, lim x 5 ± f(x) =, lim x + f(x) = 0. Esercizio 6.Determinare il dominio e calcolare la derivata prima della funzione g(x) = x 2 e 9+8x x 2. Risposta Dominio: x 9. g (x) = 2xe 9+8x x 2 + e 9+8x x 2 2 (8 2x)x2 9+8x x2 Esercizio 7. Trovare gli intervalli di monotonia e le coordinate degli eventuali punti di massimo/minimo della funzione h(x) = 2x log 2x. Risposta (, e 2 ) decrescente, ( e 2, + ) crescente. Per x = e 2 ho un minimo e per x = 2 ho un flesso. Esercizio 8. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto (0, f(0)). Risposta y = log 2 3x Esercizio 9. Calcolare Risposta I = 2 ln( + x) f(x) = log(x 2 + 2) + arctan (2x 2 3x) x( + x) dx mediante la sostituzione y = x. Esercizio 0. Calcolare l area della regione di piano individuata dalle curve y = x(x + ) e y = x(x + ). Risposta L area vale 3

13 Esame di Istituzioni di Matematiche I 5 giugno 2004 Monaco 02BJVa W De ngelis 02BJVb W Pieraccini 0BJU Biglio 03BJV Esame completo Prova intermedia Teoria: Il Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio. Scrivere l equazione parametrica della retta passante per P 0 = (2,, ) e perpendicolare al piano passante per P 0, P = (, 2, ) e P 2 = (,, 2). Risposta { x = 2 + t r = y = + t z = + t Esercizio 2. Dati i vettori x = (, 0, ), y = (,, ), z = (λ, 0, ) e la matrice = a) calcolare w = x; b)determinare per quale valore di λ R i vettori y, z e w sono complanari. Risposta a) w = 2 b) λ = Esercizio 3. 2 a) Trovare l inversa della matrice = ; 5 b) controllare il risultato( verificando ) che = I. Risposta a) = Esercizio 4. Determinare, al variare del parametro k R, il numero di soluzioni del sistema { x + kx 2 + x 3 = 2x + 8x 2 + 2x 3 = 2 kx 2x 3 = 3

14 Risposta Per k = 4 ho soluzioni, per k = 2 non ho soluzioni Esercizio 5. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = sin x nel punto (0, f(0)). x π Risposta y = π x Esercizio 6. Trovare il dominio della funzione f(x) = log(x + ) x + 3 e calcolarne i limiti agli estremi del dominio. Risposta Dominio x 0. lim x 0 f(x) = 0, lim x + f(x) = 0 Esercizio 7. Individuare gli intervalli di monotonia ed eventuali massimi e minimi della funzione f(x) = x x Risposta (, 0) (0, 2) decrescente, (2, + ) crescente. minimo. Per x = 2 ho un punto di Esercizio 8. Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 2 centrato in x 0 = π della funzione f(x) = cos 3 (x). Risposta P 2 = (x π)2 + o((x π) 2 ) Esercizio 9. Calcolare l area della regione di piano individuata dai grafici delle funzioni y = x 2 e y = 3x 2 8x. Risposta L area vale 6 3 Esercizio 0. Calcolare l integrale indefinito mediante la sostituzione y = sin x. Risposta I = sin x + 2 log sin x Φ (sin x + 2) cos x dx, sin x

15 Esame di Istituzioni di Matematiche I 22 giugno 2004 Monaco 02BJVa W De ngelis 02BJVb W Pieraccini 0BJU Biglio 03BJV Esame completo Prova intermedia Teoria: Proprietà della matrice inversa Esercizio. Scrivere l equazione parametrica della retta passante per P 0 = (2,, 3) e perpendicolare al piano 2x + 3y z = 0. Determinare per { quale valore del parametro λ la retta è parallela al piano λx+2λy 5z = 0. x = 2 + 2t Risposta r = y = + 3t. λ = 5 8 z = 3 t Esercizio 2. Dati il vettore x = (0,, 0) la matrice = 0 0 a) calcolare w = x ; b)determinare per quale valore di λ R i vettori y = ( 2, λ, 2), e w sono paralleli. Rispostaw =. λ = 2 Esercizio 3. a) Trovare l inversa della matrice = b) calcolare T. Risposta a) = 5 2 ; 3 3 ; b) 2 T = I Esercizio 4. Determinare le soluzioni del sistema { 2x 3x 2 + x 3 = 0 x 5x 2 + 4x 3 = 0 x 7x 2 = 6

16 Risposta Esiste un unica soluzione Esercizio 5. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione cos x f(x) = nel punto (0, f(0)). + x + x2 Risposta y = x Esercizio 6. Trovare il dominio della funzione f(x) = x 2 sin x e calcolarne i limiti agli estremi del dominio. Risposta Dominio: x. lim x f(x) = 0, lim x f(x) = 0 Esercizio 7. Individuare gli intervalli di monotonia ed eventuali massimi e minimi della funzione f(x) = x x 2 +. Risposta f monotona crescente lungo tutto il dominio Esercizio 8. Calcolare il limite (x + sin x) sin x lim x 0 x(cos 2 x ) Risposta lim x 0 (x+sin x) sin x x(cos 2 x ) = + Esercizio 9. Calcolare l area della regione di piano individuata dai grafici delle funzioni y = 2x 2 e y = x + 2. Risposta L area vale Esercizio 0. Calcolare, per sostituzione, l integrale indefinito Risposta I = ln(e x 2) e x e x 2 dx.

17 Esame di Istituzioni di Matematiche I 7 luglio 2004 Monaco : 02BJVa W De ngelis : 02BJVb W Pieraccini : 0BJU Biglio : 03BJV W0035 Teoria: Il Teorema di De L Hopital. Esercizio. Determinare l equazione del piano contenente i punti = (2,, 3), B = (, 2, 3) e il vettore u = (2,, 2). Risposta 6x + 2y + 7z 3 = 0 Esercizio 2. Determinare per quale valore di k il vettore v = (, k, 3) è parallelo al piano 2x y + 6z = 5 e per quale valore è perpendicolare. Risposta Per k = 20 parallelo. Per k = 2 Esercizio 3. Data la matrice = a) calcolare, se possibile, la matrice ( T ) ; b) senza fare calcoli espliciti, dire (motivando brevemente la risposta) se è possibile che si abbia ( T ) ( T ). 8 0 Risposta a)( T ) = 88 b) Non possibile 0 Esercizio 4. Calcolare la soluzione del sistema lineare Risposta x = y = z = { x + 2y = 3x + z = 4 x + z = 0 Esercizio 5. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = nel punto (π, f(π)). x + sin(x)

18 Risposta y = π Esercizio 6. Trovare il dominio della funzione f(x) = x log( + e x ) e calcolarne i limiti agli estremi del dominio. Risposta Dominio: x. lim x f(x) = 0, lim x f(x) = 0. Esercizio 7. Individuare gli intervalli di monotonia ed eventuali massimi e minimi della funzione f(x) = x 2 e x2. Risposta f crescente in (, ) e (0, ). f decrescente in (, 0) e (, + ). Ho dei massimi per x = e x =. Ho un minimo per x = 0. Esercizio 8. Calcolare il limite cos 2 x lim x 0 x 2 log x Risposta lim x 0 cos 2 x x 2 log x = 0 Esercizio 9. Calcolare l area della regione di piano individuata dai grafici delle funzioni y = x 2 4 e y = x + 2. Risposta L area vale 37 6 Esercizio 0. Calcolare l integrale indefinito 3 (log x) 2 x log x dx usando la sostituzione t = log x. Risposta 3 ln(ln x) 2 (ln x)2 Esame di Istituzioni di Matematiche I 2 settembre 2004 Monaco 02BJV W De ngelis 02BJV W

19 Pieraccini 0BJU Biglio 03BJV W003 Teoria: Enunciare i teoremi delle funzioni continue Esercizio. Si consideri il piano π: 3x + 7y 5z + 4 = 0. a) Determinare un vettore u perpendicolare al { piano π. x = αt b) Determinare per quale valore di α la retta y = 2 + t z = 3 t Risposta a) u = (3, 7, 5) b) α = 4 è parallela al piano π. Esercizio 2. Si considerino i piani π: x+y +z = 5 e π : 2x αy +2z 3 = 0. Determinare i valori di α per cui i due piani risultano o paralleli o perpendicolari. Risposta Per α 2 i piani sono paralleli. Per α = 4 sono perpendicolari. Esercizio 3. Siano date le matrici = ( 2 ), B =. Deter- minare B T C. Risposta B T C = 3 ( 3 0 ) 2 Esercizio 4. Determinare il numero di soluzioni del sistema lineare { 2x + y = 3 x + 2y = 3 3x y = 2 e darne un interpretazione geometrica. Risposta Non ho soluzioni e C = Esercizio 5. Studiare il dominio e l andamento per x ± della funzione f(x) = e x x 2 4. Risposta lim x + f(x) = +, lim x f(x) = 0 Esercizio 6. Determinare il dominio e calcolare la derivata della funzione f(x) = sin 2 [3 + log(x 2 )]. Risposta Dominio: R\(, ). f (x) = 2 sin[3 + log(x 2 + )] cos[3 + log(x 2 + )] x 2 2x Esercizio 7. Studiare gli intervalli di monotonia della funzione f(x) = x 3 + 2x 2 8x

20 determinando anche gli (eventuali) punti di massimo o minimo. Risposta Crescente in (, ) e ( , + ). Decrescente in ( , ). Ho un massimo in ed un minimo in Esercizio 8. Scrivere il polinomio di Taylor del secondo ordine della funzione f(x) = sin x + cos x nell intorno del punto x 0 = π. Risposta P 2 = (x π) + 2 (x π)2 + o((x π) 2 ) log x Esercizio 9. Calcolare, per parti, x dx. Risposta I = log2 (x) 2 Esercizio 0. Calcolare l area della regione finita di piano compresa tra la parabola di equazione y = x(x ) e la retta y = 2x. Risposta L area vale 9 2

21 Esame di Istituzioni di Matematiche I 7 settembre 2004 Monaco 02BJV W De ngelis 02BJV W Pieraccini 0BJU Biglio 03BJV W003 Teoria: Enunciare i teoremi delle funzioni derivabili Esercizio. Si consideri il piano π: 3x 2 5 y z + 5 = 0. a) Determinare un vettore { u perpendicolare al piano π. x = t b) Determinare se la retta y = 5t z = 5 + t è parallela, incidente o contenuta nel piano π. Risposta a) u = (3, 2 5, ) b) La retta parallela al piano Esercizio 2. Si consideri il piano π: x + z = 0. Determinare i valori di β per cui il vettore u = ( 3, 0, β) è a) parallelo al piano π; b) perpendicolare al piano π. Risposta a) β = 3 b) β = 3. Deter- 3 0 Esercizio 3. Siano date le matrici = ( 2 α ), B = e C = α minare il valore di α per cui si ottiene B C = 0. Risposta Per α = e per α = 2 Esercizio 4. Determinare il numero di soluzioni del sistema lineare { 2x + y = x + 2y = 3x y = 4 e darne un interpretazione geometrica. Risposta Non ho soluzioni Esercizio 5. Studiare il dominio e l andamento per x ± della funzione f(x) = e x x.

22 Risposta lim x + f(x) = 0, lim x f(x) = + Esercizio 6. Determinare il dominio e calcolare la derivata della funzione g(x) = log 2 (3 + 5x 2 + ). Risposta Dominio: tutto R. g (x) = 2 log(3 + 5x 2 + ) 3+ 5x x 5x 2 + Esercizio 7. Studiare gli intervalli di concavità/convessità della funzione f(x) = x 4 + 6x 3 2x 2 22x determinando anche gli (eventuali) punti di flesso. Risposta Per x (, 2) la funzione convessa. Per x (, ) e per x (2, + ) la funzione concava Esercizio 8. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = sin x + arctan x nel punto (, f()). Risposta y = sin() + π 4 + [cos() + 2 ](x ) Esercizio 9. Calcolare, per parti, 3x 2 log x dx. Risposta I = x 3 (log x 3 ) Esercizio 0. Calcolare l area della regione finita di piano compresa tra la parabola di equazione y = 8x x 2 e la retta y = 2x. Risposta L area vale 36