Esercizi di Matematica A.A. 2017/2018

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1 C.d.L. in Produzioni Animali - Scuola di Agraria e Medicina Veterinaria - Università di Bologna Cod. corso Esercizi di Matematica A.A. 2017/2018 Insiemistica Dati: A = {1, 2,, 4, 5} B = {1, 5, 7, 9} C = {1, 5, 7, 9} calcolare: 1. A B) c 2. A B) C. A B C 4. A B) C Dati: calcolare: A = {, 2, 0, 4, 5, 6, 7} B = { 4, 1, 2, 5, 6, 7, 8} C = { 5, 2, 4, 5, 6, 9} 5. A B C 6. B C) c A 7. A C) B 8. A C B) Trigonometria Determinare se il seno/coseno dei seguenti angoli è positivo, negativo o nullo: 9. sin57 ) 10. sin99 ) 11. sin184 ) 12. sin292 ) 1. sin80 ) 14. cos2 ) 15. cos44 ) 16. cos112 ) 17. cos229 ) 18. cos11 ) Calcolare: π ) 19. sin 2 α 1

2 20. sinπ α) 21. sin2π α) 22. ) sin 2 π α 2. sin α) 24. ) sin 2 π + α 25. cosπ α) 26. cosπ + α) 27. cos α) 28. ) cos 2 π α 29. cos2π α) Risolvere le seguenti equazioni goniometriche: 0. sin 2α) = 1. sin α + π ) = 1 2. cos α 26 ) 2 π = 2. sin α + π ) = sin α) = cos 2α) = 1 Matrici e trasformazioni lineari Calcolare il prodotto delle seguenti matrici: 1 2 [ ] 6. A = B = A = [ ] B = [ ]

3 [ ] A = A = [ 1/2 ] 1/ 1 0 B = B = [ 1/2 ] 0 2/ A = 2 1 B = A = [ ] π B = [ ] π 0 0 π Date le matrici T rappresentative di trasformazioni lineari in R 2, calcolare i trasformati dei vettori dati: [ ] T = v = 1, 2) T = 44. T = [ ] [ ] v = 2, ) v = 1, ) 45. T = v = 2, 0, 4) T = 47. T = [ ] [ ] v = 2, ) v = 2, 5) Sistemi di equazioni lineari Risolvere i seguenti sistemi di equazioni lineari: { 5x y 2) = x + y = { x + 9y = 5 y + 6x = 20

4 Risolvere le seguenti disequazioni di II grado: Disequazioni di II grado 50. 4x x 2) 11 + x 4) x 2 10x + 25 > x 1) x 2) x + 2) x 1) x 2 + x + 1 ) + x 1 + 2x) Regioni del piano cartesiano Disegnare le regioni del piano individuate dalle seguenti relazioni: x > 0 y > 0 5. x < 5 y < x 2 + y 2 9 y 0 x 0 x y2 4 < 1 x > 1 y > 0 Rette Scrivere le equazioni delle rette aventi le seguenti caratteristiche: 56. retta passante per i punti A = 1, 2) e per l origine 57. retta passante per i punti A = 4, 5) e B =, 6) 58. retta passante per i punti A =, 6) e B = 9, 2) 59. retta passante per l origine ed inclinata di 0 rispetto all asse delle ascisse 60. retta passante per l origine ed inclinata di 15 rispetto all asse delle ascisse 61. retta passante per il punto A = 0, 4/) ed inclinata di 60 rispetto all asse delle ascisse 4

5 Coniche Determinare il tipo di conica descritto da ognuna delle seguenti equazioni ed abbozzarne un disegno qualitativo sul piano cartesiano: 62. x 2 y 2 + 4y 4 = 0 6. xy 16 = x 2 49y = x 2 2 = y y 2 5y x = x x 6) = 2y 2 18 x + 1) 68. x 2 + y 2 = 4 2x + y) y 2 x 4) 2 = 8x 17 Funzioni Determinare il dominio naturale delle seguenti funzioni: 70. fx) = 5x 2x 2 + 5x fx) = x fx) = e 4x2 7. fx) = log x 2 + x ) 74. fx) = πe 4x 16x x log x ) 75. fx) = x ) fx) = log x 2 2x + 1 ) 77. fx) = log x 2 2x + 1) 5

6 Determinare il valore dei seguenti limiti di funzione: Limiti di funzione 78. lim x 1 5x x + 9 4x + 9x 79. lim x x + 5e x 80. lim x 7x x + 6x x 5 + 6x lim x 8x 4 + x x lim x 0 sin 2 7x) + 1 cos7x) 49x 2 8. lim x 0 7x x + 6x 2 91x 5 + 6x lim x e 4x2 + 8x 4 + 7x 2 64x Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni: Derivate 85. fx) = 5x + 2x fx) = x2 + 12x + 9 x 87. fx) = sinx) cosx) 88. fx) = sine 5x2 + ) 89. fx) = 5 cosx 9) 90. fx) = tanx) sinx) 91. fx) = log6x 2 + x) 6

7 Linearizzazioni Scrivere l equazione della retta che approssima la funzione fx) nell intorno del punto dato: 92. fx) = sin x + 5x, nell intorno di x 0 = 0 9. fx) = log x, nell intorno di x 0 = fx) = 2x x 2 +, nell intorno di x 0 = 2 Calcolare l integrale delle seguenti funzioni: Integrali x 7x ) dx 1 1 4x 4 + 6x 2) dx x cos4x 2 )dx x 1 + x 2 dx Suggerimento: risolvere l integrale con un cambiamento di variabile ed osservare che 1 xdx = logx)+c, c R) π π 2π 0 sinx)dx x ) 4 x1 + 1 dx x 2 e x + dx 7

8 Soluzioni Insiemistica 1. {2,, 4, 7, 9} 2. {1, 5, 10, 11, 12}. {1, 2,, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12} {5, 6} 6. {4, 7} 7. {2, 5, 6, 7} 8. {, 2, 0, 2, 5, 6, 7} Trigonometria 9. sin57 ) > sin99 ) > sin184 ) < sin292 ) < 0 1. sin80 ) > cos2 ) > cos44 ) > cos112 ) < cos229 ) > cos11 ) > cosα) 20. sinα) 21. sin α) = sinα) 22. cosα) 2. sinα) 24. cosα) 25. sinα) 26. sinα)

9 27. cosα) 28. sinα) 29. cosα) Indicando con Z l insieme dei numeri relativi, il procedimento per risolvere la prima equazione è il seguente: π ) ) 2 2α = + 2kπ π + 2kπ = α = 1 π ) 2 + 2kπ 1 ) 2 2 π + 2kπ da cui: 0. α = π ) π ) 6 + kπ + kπ, k Z Analogamente si calcolano le soluzioni delle altre equazioni: 1. α = π 6 + 2kπ, k Z 2. α = ) 7 π ) 12 π + 2kπ kπ, k Z. α = π 6 + kπ, k Z 4. α = π ) 5 kπ 18 π + 2 ) kπ, k Z 5. α = kπ, k Z [ 19 ] [ 6 6 ] [ 1/6 ] 0 1/ Matrici e trasformazioni lineari

10 [ ] π π w =, 10) 4. w = 12, 5) 44. w = 7 1, 1) 45. w = w = 7 v 47. w = 5 v { x = 0 y = 5 { x = 11/ y = 2/ Sistemi di equazioni lineari Disequazioni di II grado 50. x, oppure x [, ] 51. x R 52. x 2 ) x 1), oppure, 2 ] [1, + ) Regioni del piano cartesiano 5. La regione è l interno del rettangolo di vertici V 1 = 0, 0), V 2 = 5, 0), V = 5, ), V 4 = 0, ) il perimetro non è compreso). 54. La prima equazione delimita la regione interna al cerchio di raggio unità centrato sull origine ed il suo perimetro. La regione soluzione dell esercizio è il quarto di tale cerchio che sta nel primo quadrante del piano cartesiano il perimetro è compreso). 55. La prima equazione delimita la regione interna ad un ellisse centrata sull origine ed il suo perimetro. La regione soluzione è la parte dell ellisse che sta nel primo quadrante del piano cartesiano più la parte che sta nel secondo quadrante ma i cui punti hanno ascissa maggiore di 1 il perimetro non è compreso).

11 Rette 56. 2x + y = y = x y = 2 x x y = x + y = x y = 4 Coniche 62. Usando proprietà note quadrato perfetto e differenza di quadrati) si osserva che l equazione data è equivalente a x y + 2) x + y 2) = 0. Questa equazione rappresenta l unione di due rette incidenti: y = x + 2) y = x + 2). 6. Iperbole equilatera con traccia nel primo e nel terzo quadrante. 64. Ellisse. Per il disegno qualitativo, si osservi che la curva interseca l asse delle ascisse nei punti di coordinate 1, 0) e 1, 0) e l asse delle ordinate nei punti di coordinate 0, 1/ 7 ) e 0, 1/ 7 ), per cui è sufficiente tracciare una curva che collega i quattro punti. 65. Circonferenza di centro l origine e raggio 7 unità. 66. Parabola. Per il disegno qualitativo, osservare che l asse della parabola è orizzontale e che la curva interseca l asse delle ordinate nei punti di coordinate 0, 1) e 0, 4); la concavità della parabola è diretta verso sinistra. 67. Iperbole. Per il disegno qualitativo, si osservi che la curva interseca l asse delle ordinate nei punti di coordinate 0, ) e 0, ), per cui è sufficiente tracciare due curve le cui forme richiamino due rami di iperbole, ciascuna passante per uno dei due punti sopra elencati. 68. Dopo opportune manipolazioni, si osserva che l equazione data è equivalente a x 4) 2 + y 2) 2 = 25. Questa equazione descrive una circonferenza avente centro di coordinate 4, 2) e raggio 5 unità. 69. Iperbole. Per suggerimenti circa il suo disegno qualitativo, riferirsi ai casi precedenti. 70. x ) x 1) 2 Funzioni

12 71. x 2) x 2), oppure, 2] [2, + ) 72. x R 7. x < ) x > 0), oppure, ) 0, + ) 74. x x >, oppure x, + ) 76. x x 0) x 2), oppure, 0] [2, + ) Limiti di funzione , poiché sin7x) 7x e 1 cos7x) 1 2 7x)2 per 7x Derivate 85. f x) = 15x 2 + 4x 86. f x) = 1 + 8x x f x) = cos 2 x) sin 2 x) 88. f x) = 10 x e 5x2 + cose 5x2 + ) 89. f x) = 15 sinx 9)

13 90. f x) = tanx) cosx) 91. f x) = 4x + 1 2x 2 + x Linearizzazioni 92. y = x 9. y = 1 x + log y = 12x 17 Integrali 95. 0, perché la funzione integranda è dispari Si consiglia di sfruttare la proprietà di parità della funzione per calcolare questo integrale più 5 velocemente. 1 8 sin4x2 ) + c, c R 1 6 log1 + x2 ) + c, c R 99. 0, perché si sta integrando la funzione seno su un intervallo lungo quanto il suo periodo I primi tre termini dell integranda sono dispari, quindi danno contributo nullo all integrale. L ultimo termine è pari. Il calcolo si riduce quindi a 2 π 1dx = 2π e