ESERCIZI DI GEOMETRIA II

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1 ESERCIZI DI GEOMETRIA II 1 Dati in A (R) i punti A (1, 0, 1), B (, 0, 0), C (, 0, 1) ed il piano π : x + y z =, verificare che A, B, C sono affinemente indipendenti e trovare un equazione cartesiana del piano π passante per A, B, C Scrivere poi una rappresentazione cartesiana della retta r per P (1, 1, 1), parallela sia a π che a π Studiare la reciproca posizione del piano α : x + y + z + = 0 x = 1 + t e della retta y = t Scrivere, se possibile, l equazione di un z = 1 t piano contenente r e parallelo ad α Determinare gli eventuali valori del parametro k R per i quali le rette x + ky z = 1 x + y = 0 r k : s k : x + y + kz = 0 kx y = 0 sono complanari Per tali valori di k, trovare l equazione di un piano contenente r k e parallelo a s k 4 Determinare la reciproca posizione dei piani α : x + y z = 1 e x = 1 + t β : y = s z = 1 + t 5 Dati in A (R) i punti A (0, 0), B (1, 0), C (1, ), determinare D in modo tale che A, B, C, D} sia l insieme dei vertici di un parallelogramma 6 Determinare una rappresentazione cartesiana della retta parallela alla x = 1 + t retta x + y 1 = 0 e passante per il punto comune a s 1 : y = + t 1

2 e s : x = + t y = 1 + t 7 Dati la retta x + y z = 1 x + y + z = ed il piano π : αx + y z = α, discutere, al variare di α R, la reciproca posizione di r e π, determinandone, ove possibile, l intersezione x = 1 + t 8 Dati il punto P (1,, 0) e le rette y = 1 t e s : z = t x = + t y = t, verificare che r ed s sono incidenti z = + t Scrivere un equazione del piano π passante per l origine, per P e per il punto di intersezione tra r e s Scrivere inoltre una rappresentazione cartesiana della retta t passante per P = (1, 0, 1), parallela a π e incidente r 9 Determinare i valori di λ R per i quali il sistema lineare x 1 + x x + x 4 = 1 x 1 + x + x = x 1 + 4λx + λx 4 = λx 1 + x x + x 4 = λ rappresenta un piano di A 4 (R) 10 Date le rette di A (R) x 1 = y = z s : x y + z 1 = 0 x + y z = 0 verificare che sono sghembe Determinare le equazioni della retta t passante per P (,, ) ed incidente sia r che s

3 Determinare un equazione del piano π parallelo sia a r che a s e passante per P In A (R) sono dati i piani π 1 : αx + αy z = 1 π : x y + αz = 0 π : x + αy + z = π 4 : x y z = α 1 determinare gli eventuali valori di α R per i quali i quattro piani sono incidenti in uno stesso punto Determinare gli eventuali valori di α R per i quali i quattro piani sono tutti paralleli ad una stessa retta 1 Dati in E i punti A (1, ), B (, ) e C (4, 1), determinare, se esistono, i punti D tali che ABCD è un trapezio rettangolo 1 Determinare, in E, le equazioni della retta ortogonale al piano x = t s π : y = t per il punto P (, 0, 1) z = t + s 14 Determinare le equazioni della retta r di E, passante per il punto x + y 4 = 0 P (,, 1), ortogonale alla retta s : e complanare x z + 1 = 0 x y z = 0 alla retta t : x + 7y + z 6 = 0 15 Determinare le equazioni della retta s di E parallela al piano π : x + y z + = 0, passante per C ( 5, 0, 1) e incidente x y 1 = 0 z + = 0 4x y = 0 Calcolare la distanza tra la retta s e la retta t : y z = 0 16 Dati in E il piano π : x y + z + = 0 e la retta

4 y z + 5 = 0 x 6y + z 1 = 0, (a) determinare la mutua posizione di r e π e calcolarne la distanza; (b) determinare le equazioni della retta t parallela a π, ortogonale a r e passante per il punto A (0, 1, 0); (c) dato il punto B (, 1, 1), determinare, se esistono, i punti P t tali che l area del triangolo P AB sia 8 17 Date le rette di E, x y + z = 0 x + y z = 0 s : x 1 4 = y 1 5 = z verificare che sono sghembe, calcolarne la distanza e determinare le equazioni della perpendicolare comune 18 Dati in E il punto P (, 0, 1), il piano π : x + y = 0 e la x z = 0 retta s :, si determinino, se esistono, le rette ortogonali a y + z 1 = 0 s, contenute in π ed aventi distanza dal punto P 19 Date in E le rette x + ky z = 0 r k : x y = k 1 s k : x 6y kz + 1 = 0 x y kz + 1 = 0 (k 0, ) determinare gli eventuali valori di k R per i quali la distanza tra r k e s k è 5 0 Date in E le rette x = y = z e s : x + y = 4 z = (a) determinare un equazione del piano α che le contiene;, 4

5 (b) scrivere le equazioni delle rette contenute in α, che passano per l origine e formano un angolo di π con la retta s; (c) dette A e B le intersezioni di tali rette con s e dato il punto C (0, 0, 1), calcolare il volume del tetraedro OABC 1 Dato in E il quadrilatero di vertici A (0, 1), B (1, 1), C (, ) e D (0, ), determinare una retta r passante per l origine che lo sezioni in due parti di ugual area Dati in E i punti A (1, 1), B (4, ), C (1 +, 1 + ), determinare il centro della circonferenza inscritta nel triangolo di vertici A, B, C (= punto di intersezione delle bisettrici degli angoli interni) Determinare le equazioni della affinità α : A A che lascia fissi i punti P 1 (1, 1, 0) e P (1, 0, 0), che manda il punto P (0, 1, ) nel punto P (, 1, ) e tale che α manda il vettore v (0, 1, 5) nel vettore v (4, 1, ) Si trovino inoltre i punti fissi di α 4 Data l applicazione α : A A definita da x = x y + 5 y = 6x + y + 4z 8 z = y + z + 14 verificare che è una affinità e determinarne, se esistono, i punti fissi Determinare, se esistono, le rette r per il punto P (0, 1, 0) tali che α(r) è parallela a r 5 Data σ : E E la simmetria ortogonale rispetto al piano α di equazione x = z, trovare l immagine della retta r di equazioni x y + = 0 x + y z = SOLUZIONI Es 1 π : y = 0, x + y z = 0 y 1 = 0 5

6 Es r//α, x + y + z = 0 Es sono incidenti per k = 0; per k = 1 s k non é una retta Per k = 0 il piano ha equazione x + y = 0 Es 4 α e β sono incidenti Es 5 D 1 (0, ), D (0, ), D = (, ) Es 6 x + y + 5 = 0 Es 7 Per α sono incidenti in P (,, ); per α =, r π 5 5 x 1 Es 8 π : x y z = 0, t : = y = z Es 9 λ = 1 x y z + 1 = 0 Es 10 t : ; π : 5x + y 1z + 7 = 0 5x + 8y 9z + 1 = 0 Es stessa retta per α =, 1 Es 1 D (, ) Es 1 x = y = z + 1 sono incidenti in un punto per α = 0, ; sono paralleli ad una Es 14 x = y 5 = z 1 Es 15 s : x + 5 = y 4 = z 1 ; d(s, t) = 69 (rette parallele) Es 16 (a) sono paralleli, d(r, π) = x y + z + = 0 6; (b) t : y + z 1 = 0 (c) P 1 ( 40, , ), P ( 40, , 8 ) Es 17 d(r, s) = ; perpendicolare comune x 1 = 1 y = z x + y = 0 Es 18 r 1 : x y + z 8 6 ; = 0 x + y = 0 r : x y + z = 0 Es 19 k = 8, 4 Es 0 (a) α : x+y z = 0; (b) (c) V = 4 x 1+ = y 1 x = z ; 1 = y 1+ Es 1 y = mx con m = Es il centro della circonferenza è il punto H ( 1 ( 1), 1) ; = z; 6