Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 3 settembre 2009 Tema A

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1 Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 3 settembre 29 Tema A Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio di una pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Non saranno accettate risposte non giustificate. SOLUZIONI Esercizio 1. Si considerino i punti A( 2; 2; 3), B( 5; 2; 5), C( 3; 1; 3) e D( 3; ; 8). a) Scrivere l equazione del piano Π passante per i tre punti A, B e C. Abbiamo AB = ( 3; ; 2) AC = ( 1; 1; ) e, ponendo n = AB AC, n = (2; 2; 3) Il vettore n è normale al piano Π quindi un equazione del piano Π può essere ottenuta da 2(x + 2) 2(y 2) + 3(z 3) = ovvero 2x 2y + 3z 1 =. b) Calcolare la distanza dal punto D al piano Π. Si può calcolare questa distanza con (almeno) due metodi. Il primo è la formula classica che si può ritrovare negli appunti o in qualsiasi libro. Il secondo è di calcolare AD da cui si ricava la distanza come il valore assoluto di AD n n. 1

2 Abbiamo quindi D altra parte si calcola che AD = ( 1; 2; 5) AD n = 17. n n = 17 n = 17 e quindi la distanza tra D e Π è d = 17. c) Scrivere l equazione parametrica della retta ortogonale al piano Π e passante per D. Tale retta è diretta da n, quindi l equazione parametrica è x = 3 + 2t y = 2t z = 8 + 3t Esercizio 2. Si consideri il sistema dove a, b e c sono dei parametri. x + 2y 4z = a 3x + 6z = b 3x + y + 3z = c a) Calcolare il rango della matrice dei coefficienti del sistema. La matrice dei coefficienti è A = Si vede subito che A è di rango almeno 2 perché le due prime colonne non sono proporzionali. Anzi, il minore costituito dalle due prime righe e due prime colonne è = 6 quindi la sottomatrice corrispondente è di rango 2. Calcolando il determinante di A, si vede che è nullo per cui A ha rango 2. 2

3 b) Quale condizione devono verificare i parametri a, b e c perché il sistema ammetta soluzione? Dal teorema di Rouché Capelli, sappiamo che il sistema ammette soluzione se e solo se il rango della matrice completa, cioè la matrice a B = 3 6 b, c è 2. Abbiamo visto che la matrice 2 2 costituita dalle prime due righe e dalle prime due colonne è di rango 2 così come quella costituita dalle tre prime colonne (cioè la matrice A). Dal teorema di Kronecker, la matrice B è di rango 2 se e solo se la matrice costituita dalla prima, la seconda e la quarta colonna di B ha determinante. La condizione da verificare è quindi 1 2 a 3 b 3 1 c =. Calcoliamo 1 2 a 3 b 3 1 c = a b c = 3a + 5b 6c La condizione che devono verificare i coefficienti è quindi c) Risolvere il sistema nei casi seguenti. (a) (a; b; c) = (3; 5; 6). 3a + 5b 6c =. È ovvio che la condizione di cui alla domanda precedente non è verificata, quindi il sistema non ammette soluzione. (b) (a; b; c) = (16; 6; 3). In questo caso invece la condizione è verificata e quindi il sistema ammette soluzione. Dal rango del sistema, cioè 2, sappiamo che l insieme delle soluzioni è una retta. La soluzione effettiva del sistema è classica e non richiede nessuna tecnica particolare. Esercizio 3. Si calcoli T e x y dxdy, dove T è il triangolo di vertici O(, ), A(5, ) e B(, 5). 3

4 Poiché T = {(x, y) R 2 x 5, y 5 x}, l integrale richiesto è dato da 5 ( 5 x ) 5 ( 5 x ) e x y dxdy = e x y dy dx = e x e y dy dx T = 5 e x [ e y] 5 x dx = 5 ( e x e 5) dx = 1 6e 5. Esercizio 4. Si consideri la funzione f(x, y) = 2x 3 3y 2 6xy 18(x + y) 27. a) Dopo aver verificato che il grafico di f passa per il punto P (2, 3, 16), scrivere l equazione del piano tangente in tale punto. Poiché f(2, 3) = 16, il punto P appartiene al grafico di f. Per determinare il piano tangente, calcoliamo f x = 6x 2 6y 18 e f y = 6y 6x 18. L equazione cercata è ossia 24x 12y z 68 =. b) Trovare gli estremi relativi di f. z = f(2, 3) + f x (2, 3)(x 2) + f y (2, 3)(y + 3) Bisogna anzitutto determinare i punti critici di f, ossia le soluzioni del sistema { x 2 y 3 = y x 3 = I punti critici di f sono quindi A(, 3) e B( 1, 2). Dobbiamo ora studiarne la natura. Le derivate seconde sono f xx = 12x, f xy = 6 e f yy = 6; pertanto la matrice hessiana di f è ( ) 12x 6 Hf(x, y) =. 6 6 Essa è indefinita in A e definita negativa in B. Quindi A è un punto di sella, mentre B è un punto di massimo relativo. c) (Facoltativo) Trovare gli estremi assoluti di f. Dobbiamo capire se B è un punto di massimo assoluto. Basta osservare che per concludere che non è così. lim f(x, ) = + x + Esercizio 5. Si consideri l arco di elica x = cos t y = sin t z = t t [, π] e si indichi con γ il suo sostegno. 4

5 a) Determinare i punti della curva in cui la retta tangente è perpendicolare all asse y. Posto r(t) = (cos t, sin t, t), abbiamo che r (t) = ( sin t, cos t, 1). La condizione di perpendicolarità all asse y è ( sin t, cos t, 1) (, 1, ) =, ossia cos t =. Poiché t [, π], l unica soluzione è t = π 2, corrispondente al punto (, 1, π 2 ). b) Calcolare l intregrale di linea γ f ds, dove f(x, y, z) = 2y cos z. Poiché r (t) = 2, abbiamo che π f ds = f(r(t)) r (t) dt = γ π 2 2 cos t sin t dt =. 5

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7 Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 3 settembre 29 Tema B Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio di una pagina. Vanno consegnati solo questo foglio e la bella. Non saranno accettate risposte non giustificate. SOLUZIONI Esercizio 1. Si considerino i punti A( 2; 2; 1), B(; 1; 4), C( 4; 4; 2) e D(3; 1; 2). a) Scrivere l equazione del piano Π passante per i tre punti A, B e C. Abbiamo AB = (2; 3; 3) AC = ( 2; 2; 3) e, ponendo n = AB AC, n = (3; ; 2) Il vettore n è normale al piano Π quindi un equazione del piano Π può essere ottenuta da 3(x + 2) + 2(z + 1) = ovvero 3x + 2z + 8 =. b) Calcolare la distanza dal punto D al piano Π. Si può calcolare questa distanza con (almeno) due metodi. Il primo è la formula classica che si può ritrovare negli appunti o in qualsiasi libro. Il secondo è di calcolare AD da cui si ricava la distanza come il valore assoluto di AD n n. 1

8 Abbiamo quindi D altra parte si calcola che AD = (5; 3; 1) AD n = 13. n n = 13 n = 13 e quindi la distanza tra D e Π è d = 13. c) Scrivere l equazione parametrica della retta ortogonale al piano Π e passante per D. Tale retta è diretta da n, quindi l equazione parametrica è x = 3 + 3t y = 1 z = 2 + 2t Esercizio 2. Si consideri il sistema dove a, b e c sono dei parametri. x + 2y 4z = a 3x y + 9z = b x + 3y 11z = c a) Calcolare il rango della matrice dei coefficienti del sistema. La matrice dei coefficienti è A = Si vede subito che A è di rango almeno 2 perché le due prime colonne non sono proporzionali. Anzi, il minore costituito dalle due prime righe e due prime colonne è 1 ( 1) 3 2 = 7 quindi la sottomatrice corrispondente è di rango 2. Calcolando il determinante di A, si vede che è nullo per cui A ha rango 2. 2

9 b) Quale condizione devono verificare i parametri a, b e c perché il sistema ammetta soluzione? Dal teorema di Rouché Capelli, sappiamo che il sistema ammette soluzione se e solo se il rango della matrice completa, cioè la matrice a B = b, c è 2. Abbiamo visto che la matrice 2 2 costituita dalle prime due righe e dalle prime due colonne è di rango 2 così come quella costituita dalle tre prime colonne (cioè la matrice A). Dal teorema di Kronecker, la matrice B è di rango 2 se e solo se la matrice costituita dalla prima, la seconda e la quarta colonna di B ha determinante. La condizione da verificare è quindi 1 2 a 3 1 b 1 3 c =. Calcoliamo 1 2 a 3 1 b 1 3 c = a b c = 8a 5b 7c La condizione che devono verificare i coefficienti è quindi c) Risolvere il sistema nei casi seguenti. (a) (a; b; c) = (8; 5; 7). 8a 5b 7c =. È ovvio che la condizione di cui alla domanda precedente non è verificata, quindi il sistema non ammette soluzione. (b) (a; b; c) = ( 3; 16; 8). In questo caso invece la condizione è verificata e quindi il sistema ammette soluzione. Dal rango del sistema, cioè 2, sappiamo che l insieme delle soluzioni è una retta. La soluzione effettiva del sistema è classica e non richiede nessuna tecnica particolare. Esercizio 3. Si calcoli T e x y dxdy, dove T è il triangolo di vertici O(, ), A(3, ) e B(, 3). 3

10 Poiché T = {(x, y) R 2 x 3, y 3 x}, l integrale richiesto è dato da 3 ( 3 x ) 3 ( 3 x ) e x y dxdy = e x y dy dx = e x e y dy dx T = 3 e x [ e y] 3 x dx = 3 ( e x e 3) dx = 1 4e 3. Esercizio 4. Si consideri la funzione f(x, y) = 2x 3 3y 2 6xy + 18(x + y) 27. a) Dopo aver verificato che il grafico di f passa per il punto P (2, 3, 16), scrivere l equazione del piano tangente in tale punto. Poiché f(2, 3) = 16, il punto P appartiene al grafico di f. Per determinare il piano tangente, calcoliamo f x = 6x 2 6y + 18 e f y = 6y 6x L equazione cercata è ossia 24x 12y z + 4 =. b) Trovare gli estremi relativi di f. z = f(2, 3) + f x (2, 3)(x 2) + f y (2, 3)(y 3) Bisogna anzitutto determinare i punti critici di f, ossia le soluzioni del sistema { x 2 y + 3 = y x + 3 = I punti critici di f sono quindi A(, 3) e B( 1, 4). Dobbiamo ora studiarne la natura. Le derivate seconde sono f xx = 12x, f xy = 6 e f yy = 6; pertanto la matrice hessiana di f è ( ) 12x 6 Hf(x, y) =. 6 6 Essa è indefinita in A e definita negativa in B. Quindi A è un punto di sella, mentre B è un punto di massimo relativo. c) (Facoltativo) Trovare gli estremi assoluti di f. Dobbiamo capire se B è un punto di massimo assoluto. Basta osservare che per concludere che non è così. lim f(x, ) = + x + Esercizio 5. Si consideri l arco di elica x = cos t y = sin t z = t t [, π] e si indichi con γ il suo sostegno. 4

11 a) Determinare i punti della curva in cui la retta tangente è perpendicolare all asse y. Posto r(t) = (cos t, sin t, t), abbiamo che r (t) = ( sin t, cos t, 1). La condizione di perpendicolarità all asse y è ( sin t, cos t, 1) (, 1, ) =, ossia cos t =. Poiché t [, π], l unica soluzione è t = π 2, corrispondente al punto (, 1, π 2 ). b) Calcolare l intregrale di linea γ f ds, dove f(x, y, z) = 2x sin z. Poiché r (t) = 2, abbiamo che π f ds = f(r(t)) r (t) dt = γ π 2 2 cos t sin t dt =.