Esercizi sull integrazione

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1 ANALII MAMAICA -B (L-Z) (C.d.L. Ing. Gestionale) Università di Bologna - A.A Prof. G.Cupini sercizi sull integrazione (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali errori) sercizio. con t. i consideri la curva parametrizzata da (t) = t, y(t) = t (a) tabilire se è regolare. (b) Calcolare la lunghezza di. (c) Calcolare l ascissa del baricentro di. [ol.: (a) ì, dato che (, ). (b) (4/ / 7.] sercizio. [ol.: Usare la formula ottenendo come risultato finale Calcolare la lunghezza della curva di equazione polare ρ(θ) = θ, L() = ( ( π 4 + 4)/ 4 / ).] θ [, π/]. ρ (θ) + ρ (θ) dθ, sercizio. ia la curva di equazioni parametriche: (a) tudiare la regolarità di, (b) Calcolare ( + y)5 ds. (t) = e t + e t, y(t) = e t e t t [, ]. [ugg.: (a) (t) = (e t + e t ) (, ) per ogni t. unque è regolare. (b) Proseguire per sostituzione (e 4t = z).] ( + y) 5 ds = 5 e 5t (e t + e t ) dt = 5 e 4t (e 4t + ) dt

2 sercizio 4. i consideri la curva di equazioni parametriche { = cos t y = sin, t [, π]. t (a) imostrare che è regolare a tratti, semplice e chiusa. (b) racciare un grafico qualitativo del sostegno di. sercizio 5. Calcolare y ds è la circonferenza di centro l origine e raggio. [ugg.: sercizio 6. y ds = π (t) = (t, log t), t [, ]; π 6 cos t sin t 4 sin t + 4 cos t dt = 4 sin (t) dt =...] Calcolare i seguenti integrali curvilinei: y ds + l arco di parabola y =, [, ]. y ds sercizio 7. ia il triangolo di vertici (, ), (π/, π/) e (π, π/). [ol.: (a) Mostrare che è un dominio normale sia rispetto ad che rispetto ad y. (b) Calcolare l integrale sin d dy usando la normalità di sia rispetto ad che rispetto ad y. (a) La retta congiungente (, ) e (π/, π/) ha equazione y =. La retta congiungente (, ) e (π, π/) ha equazione y = /. Allora, se b : [, π] R, b() = se π/ e b() = π/ se π/ π, si ha (b) Normalità rispetto a. ( π sin d dy = sin = = {(, y) R : π, y b()} = {(, y) R : y π/, y y} b() / dy ) d = π sin d + sin (π/ /) d. π/ ( π ) π/ sin dy d + sin dy d / π/ /

3 Ora: b sin d = [ cos ] b a + b a a cos d = [ cos + sin ] b a. da cui sin d dy = [ cos + sin ]π/ π [cos ]π π/ [ cos + sin ]π π/ =. Normalità rispetto a y. sin d dy = = ( y y ) sin d dy = [cos ] y y ( cos(y) + cos y) dy = [ ] π/ sin(y) + sin y = dy sercizio 8. ia la regione del piano R delimitata dall intersezione del primo quadrante con un cerchio di centro l origine e raggio. Calcolare y d dy. [ol.: = {(, y) R :, y } da cui, per il eorema di riduzione y d dy = = y dy d = ( ) d = [ y [ 4 4 ] ] d = 4 8 = 8. Analogamente, essendo = {(, y) R : y, y } si poteva utilizzare l eguaglianza y d dy = y y d dy. sercizio 9. ia = {(, y) : ( ) + y, } {(, y) : ( ) + y, y + }. i) Calcolare il baricentro di. ii) Calcolare y( + ) d dy. sercizio. i considerino le seguenti funzioni f e domini. f(, y) =, = {(, y) R : y, + y }; f(, y) = ye, = {(, y) R : + y 4, + y +, + y, y }; f(, y) = y, = {(, y) R : y, y 4 }; f(, y) = y, = {(, y) R : y, y 4, 5 y }.

4 Per ciascun dire se sono normali rispetto a e/o a y. e sono normali rispetto a determinare [a, b] (intervallo in cui varia la ) e le funzioni α, β : [a, b] R i cui grafici determinano il bordo inferiore e superiore di ; analogamente, se sono normali rispetto a y determinare [c, d] e le funzioni, δ : [c, d] R (v.notazioni introdotte a lezione). Infine, calcolare gli integrali doppi sercizio. Calcolare f(, y) ddy. e y ddy, è la regione del piano y limitata dalla parabola di equazione y = e dalle rette di equazioni = e y =. sercizio. Usando il Primo eorema di Guldino, calcolare il volume del solido di rotazione ottenuto facendo ruotare attorno all asse y il triangolo di vertici (, ), (, ) e (, ). [ugg.: si tratta di usare la formula vol = π d dy.] sercizio. ia = {(, y) R : ( ) < y < }. isegnare e calcolare d dy. [ol.: Perrtanto ( ) ( d dy = dy d = ( ) ( ) ) d. ( ) d dy = ( + ) ] d = [ + log = log.] sercizio 4. Calcolare ( + + y) d dy è la regione limitata del piano y delimitata dalle curve di equazione y =, = y e y =. 44 [ol.: 5 + ] sercizio 5. Calcolare le coordinate del baricentro dell insieme: = {(, y) : y, e y }.

5 [ol.: m() = (e ), Il baricentro ha coordinate: (, e + e ).] sercizio 6. Calcolare il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando di un angolo π/4 attorno all asse il dominio [ol.: vol = π 4 y d dy = π] = {(, y) : + y 5} {(, y) : y }. sercizio 7. Calcolare y d dy, = {(, y) : + y, y }. d dy, sercizio 8. Usando un opportuno cambio di variabili, calcolare Ω ( y) sin( + y) d dy Ω è la regione racchiusa dal quadrilatero del piano y di vertici (, ), (, ), (, ) e ( 4, ). [ugg.: i consiglia il cambio y = u, + y = v.] sercizio 9. Calcolare Q yze +z d dy dz Q = {(, y, z) :, y, z }. sercizio. Calcolare integrando per strati e per fili. y d dy dz = {(, y, z) : + y + z 5, z ( + y + )}, [ol.: l intersezione tra + y + z = 5 e z = ( + y + ) è una circonferenza del piano z = di centro (,, ) e raggio. Per fili: 5 y ( y dz) d dy = (y 5 y y ( +y +) ( + y + )) d dy = {(, y) : + y } e poi usare le coordinate polari. Per strati: ( y d dy) dz + z 5 ( y d dy) dz z

6 z = {(, y) : + y z } e z = {(, y) : + y 5 z } poi usare le coordinate polari. Ad esempio: π z ( y d dy) dz = ( ( ρ sin θ dρ)dθ)dz. z sercizio. Usando le coordinate polari, calcolare y d dy = {(, y) : + y 4, y } [ol.: =, = {(, y) : + y 4,, y } = {(, y) : + y 4,, y }. Uso le ccordinate polari: Φ :, Φ :, Φ i (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ), i =,, = {(ρ, θ) : ρ 4, θ π }, = {(ρ, θ) : ρ 4, π θ π }. unque: (y + z) d dy = ρ cos θ(ρ sin θ) ρ dρ dθ + ρ cos θ(ρ sin θ) ρ dρ dθ =... sercizio. Calcolare ia il solido = { (, y, z) R : + y, z + y }. y sin z d dy dz. sercizio. Calcolare ia il solido = { (, y, z) R :, y, z + y }. ( y)z d dy dz. sercizio 4. ia il solido = { (, y, z) R : + y + z 6, z + y }. Calcolarne il volume.

7 sercizio 5. Calcolare ( + y + z) d dy dz Ω Ω = {(, y, z) : + y, z }. sercizio 6. Calcolare (per fili, per strati e usando le coordinate cilindriche) yz d dy dz Ω Ω = {(, y, z) : + y z, z }. [ugg.: + y = z è un cono ottenuto per rotazione attorno all asse z della retta z =. Usando il cambio di variabili cilindriche, Φ :, Φ(ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sin θ, z) e = {(ρ, θ, z) : θ π, z, ρ z} si ha: yz d dy dz = (ρ sin(θ)z)ρ dρ dθ dz =...] sercizio 7. Calcolare Ω ( + yz) d dy dz Ω = [, ] [, ] [, ] per fili e per strati. sercizio 8. Calcolare in tre modi (fili, strati, coordinate sferiche) y d dy dz = {(, y, z) : + y + z, z ( + y ), z }. [ugg.: z = ( + y ) è un cono ottenuto per rotazione attorno all asse z della retta z =. L intersezione tra + y + z = e z = ( + y ), con z, è una circonferenza del piano z = di centro (,, ) e raggio. Usando il cambio di variabili sferiche, Φ :, e si ha: Φ(ρ, θ, φ) = (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ) = {(ρ, θ, φ) : ρ, θ π, φ π } y d dy dz = ρ sin φ sin θρ sin φ dρ dθ dφ =...]