sin(x + y) dx dy. Soluzione: Il dominio di integrazione S assegnato é un rettangolo: quindi esistono due formule di riduzione

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1 4.1. Esercizio. Assegnato l insieme calcolare R 2 : ANALII VETTORIALE oluzione esercizi x π/2, y π sin(x + y) dx dy. 19 novembre 21 oluzione: Il dominio di integrazione assegnato é un rettangolo: quindi esistono due formule di riduzione π/2 dx sin(x + y)dy sin(x + y) dx dy = dy sin(x + y)dx Prima formula: = dx econda formula: = dy sin(x + y)dy = { ( cos(x + π) + cos(x)) dx = 2 sin(x + y)dx = { cos(y + π/2) + cos(y)} dy = { } cos(x + y) y=π y= dx = cos(x)dx = 2 } cos(x + y) x=π/2 x= dy = { sin(y) + cos(y)} dy = 2 Le due formule danno naturalmente lo stesso valore, 2 per l integrale doppio che esprimono. Geometricamente, vedi Figura 1, il valore trovato NON corrisponde al volume del solido, tenuto presente che la funzione integranda sin(x + y) non é positiva su tutti i punti di. 1

2 2 Figura 1. Il grafico di z = sin(x + y) e del piano z = 4.2. Esercizio. etto il solido di R 3 definito da z 1 (x 2 + y 2 ) esprimere il suo volume come un opportuno integrale doppio. oluzione: Le condizioni z 1 (x 2 + y 2 ) che determinano implicano anche 1 (x 2 + y 2 ) e quindi x 2 + y 2 1 Il solido assegnato é pertanto l insieme dei punti P = (x, y, z) le cui coordinate soddisfano le condizioni { x 2 + y 2 1 z 1 (x 2 + y 2 ) Il volume di é pertanto V = C ( 1 (x 2 + y 2 ) ) dx dy

3 avendo indicato con C il cerchio x 2 + y 2 1. Tenuto presente che il cerchio C é un dominio normale sia rispetto all asse x che rispetto all asse y 1 x 1 1 x 2 y 1 x 2 C := 1 y 1 1 y 2 x 1 y 2 3 Figura 2. z 1 (x 2 + y 2 ) l integrale doppio é calcolabile con due diverse formule di riduzione ( 1 (x 2 + y 2 ) ) dx dy = 1 dx 1 x 2 1 x 2 (1 (x 2 + y 2 )) dy C dy 1 y y (1 (x2 + y 2 )) dx 2

4 4 che conducono, entrambe, allo stesso integrale 4 t 3 1(1 2 ) 1 t 2 dt = 8 3 che, con la sostituzione si traduce in x = sin(ξ), ξ π/2 (1 t 2 ) 1 t 2 dt Tenuto conto che cos 4 (ξ) dξ = si riconosce che 8 3 cos 4 (ξ) dξ cos 2 (ξ)(1 sin 2 (ξ))dξ = cos 4 (ξ) dξ = 3 16 π cos 2 (ξ)dξ 1 2 da cui ( V = 1 (x 2 + y 2 ) ) dx dy = 8 3 C 3 16 π = 1 2 π Il numero trovato corrisponde al volume del solido a forma di cupola rotonda in Figura 2. Osservazione 4.1. Il volume richiesto puó essere calcolato anche immaginando di suddividere verticalmente la cupola con una somma di cilindri, vedi Figura 3, calcolare il volume di ciascuno di essi, sommare... Ad ogni quota z il cilindro corrispondente ha quindi raggio quindi area di base x 2 + y 2 = 1 z ρ(z) = 1 z πρ 2 (z) = π(1 z) detta z lo spessore, in altezza, di ciascun cilindro i volumi saranno π(1 z) z e quindi la loro somma zπ(1 z) z sin 2 (2ξ)dξ

5 5 Figura 3. approssimato con somme di cilindri. evidentemente tende, al diminuire dello spessore z scelto, al limite π(1 z) dz = 1 2 π Valore perfettamente in accordo con quanto precedentemente trovato. Il procedimento illustrato rientra, in parte, in una serie di osservazioni genericamente indicate con il nome di Principio di Cavalieri : incontreremo tale tecnica in particolare su tutti i solidi ottenuti per rotazione Esercizio. isegnare l insieme R 2 : 3 x 5, e calcolare l integrale doppio I = oluzione: 1 x y x x 2 dx dy. y2 L integrale doppio si calcola secondo la formula di riduzione 1

6 6 Figura 4. : 3 x 5, 1 x y x = I = 5 3 x 2 ( x 1 x x 2 5 x dx dy = dx y2 3 1/x ( x 4 ) dx = 4 x2 2 x 2 y dy = 2 ) x=5 = 128 Il valore trovato é il volume del solido costruito su e coperto dal grafico della funzione z = x 2 /y Esercizio. isegnare l insieme dei punti del piano (ϑ, r) tali che π ϑ π, sin(ϑ) r 1 e calcolare I = r dr dϑ. oluzione: I nomi attribuiti alle due variabili, (ϑ, r) non obbligano ad alcuna interpretazione polare o altra: le lettere scelte per le coordinate dei punti del piano, anche se tradizionalmente utilizzano pochi caratteri standard (x, y, u, v, ecc.) possono essere qualsiasi. x=3

7 7 Figura 5. : π ϑ π, sin(ϑ) r 1 É del resto abitudine comune, allorché si prepara un programma per computer, nominare le variabili con nomi spesso lunghi e comunque non usuali: sotto quest punto di vista i caratteri (ϑ, r) sono del tutto legittimi. Il dominio assegnato é naturalmente quindi un dominio normale rispetto all asse ϑ: se avessimo usato i caratteri tradizionali (x, y) avremmo scritto : π x π, sin(x) y 1 I = r dr dϑ = π dϑ rdr = π sin(ϑ) Esercizio. ia = {2x 2 y x 2 + 1} disegnare l insieme e calcolarne l area A(), calcolare le coordinate del baricentro x G = 1 x dx dy, y G = 1 y dx dy A() A()

8 8 calcolare il momento d inerzia rispetto all asse y I = x 2 dx dy oluzione: Figura 6. = {2x 2 y x 2 + 1} +x 2 A() = 1 dx dy = dx 1dy = x 1 2x 1(1 2 )dx = x 2 x dx dy = dx x dy = x(1 x 2 )dx = 1 2x 2 1 +x 2 y dx dy = dx y dy = 1 (1 3x 4 + 2x 2 ) dx = x a cui seguono le coordinate del baricentro x G =, y G = 4 5 punto interno a, in una posizione di evidente simmetria...!

9 9 I = x 2 dx dy = 1 dx +x 2 2x 2 x 2 dy = 1 x 2 (1 x 2 )dx = 4 15 Osservazione 4.2. Il valore 4/15 trovato per l ultimo integrale puó essere interpretato in modi diversi: puó essere letto come il volume del capannone costruito sul dominio e coperto dal grafico della funzione z = x 2, puó essere letto come la massa della lamina supposta di densitá δ non costante δ(x, y) = x 2, puó essere letta come il momento di inerzia della lamina di densitá costante δ = 1 relativo all asse y Esercizio. ia : { x 1, x y 1} disegnare calcolare l integrale doppio e y2 dx dy oluzione: Il dominio é il triangolo di vertici (, ), (1, 1), (, 1) e come tale riesce normale rispetto ad entrambi gli assi { { x 1 y 1 = x y 1, = x y Pertanto l integrale doppio é calcolabile con due diverse formule di riduzione 1 dx x e y2 dy e y2 dx dy = dy y e y2 dx La prima delle due formule di riduzione non offre vantaggio, stante la difficoltá nel calcolare il primo dei due integrali semplici x e y2 dy =??? La seconda invece produce un ottimo vantaggio, infatti y e y2 dx = y e y2 e y2 dx dy = y e y2 dy = = 1 2 e y2 1 = 1 2 ( 1 1 ) e

10 1 Il valore trovato 1 ( 1 1 ) rappresenta il volume del capannone costruito sul triangolo e coperto con il grafico della funzione non negativa 2 e z = e y Esercizio. etta [a] la funzione parte intera calcolare l integrale doppio della funzione a scala ϕ(x, y) = [x] [y] esteso al quadrato Q := [, 3] [, 3]. oluzione: Figura 7. ϕ(x, y) = [x] [y], Q := [, 3] [, 3]. L interpretazione di volume che l integrale doppio delle funzioni non negative offre permette immediatamente, vedi Figura 7 di riconoscere che [x] [y] dx dy = = 9 Q